Местное время (математика) - Local time (mathematics)

Примерная траектория процесса Itō вместе с его поверхностью местного времени.

В математической теории стохастических процессов , по местному времени представляет собой случайный процесс , связанный с семимартингальных процессами , такими как броуновское движение , которое характеризует количество времени частица провел на заданном уровне. Местное время появляется в различных формулах стохастического интегрирования , таких как формула Танаки , если подынтегральное выражение недостаточно гладкое. Это также изучается в статистической механике в контексте случайных полей .

Формальное определение

Для непрерывного семимартингала с действительными значениями местное время в точке является случайным процессом, который неформально определяется формулой ${\ displaystyle (B_ {s}) _ {s \ geq 0}}$${\ displaystyle B}$${\ displaystyle x}$

${\ displaystyle L ^ {x} (t) = \ int _ {0} ^ {t} \ delta (x-B_ {s}) \, d [B] _ {s},}$

где есть дельта - функция Дирака и является квадратичной вариацией . Это понятие придумал Поль Леви . Основная идея заключается в том, что это (соответствующим образом масштабируемый и параметризованный по времени) показатель того, сколько времени было потрачено на текущее время . Более строго, это можно записать как почти верный предел ${\ displaystyle \ delta}$${\ displaystyle [B]}$${\ Displaystyle L ^ {х} (т)}$${\ displaystyle B_ {s}}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle t}$

${\ displaystyle L ^ {x} (t) = \ lim _ {\ varepsilon \ downarrow 0} {\ frac {1} {2 \ varepsilon}} \ int _ {0} ^ {t} 1 _ {\ {x- \ varepsilon <B_ {s} <x + \ varepsilon \}} \, d [B] _ {s},}$

которые можно показать, чтобы существовать всегда. Обратите внимание, что в частном случае броуновского движения (или, в более общем смысле, диффузии с действительными значениями формы, где - броуновское движение), термин просто сводится к , что объясняет, почему оно называется местным временем at . Для дискретного процесса в пространстве состояний местное время можно выразить проще как ${\ Displaystyle дБ = Ь (т, В) \, dt + dW}$${\ displaystyle W}$${\ displaystyle d [B] _ {s}}$${\ displaystyle ds}$${\ displaystyle B}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle (X_ {s}) _ {s \ geq 0}}$

${\ displaystyle L ^ {x} (t) = \ int _ {0} ^ {t} 1 _ {\ {x \}} (X_ {s}) \, ds.}$

Формула Танаки

Формула Танаки также дает определение местного времени для произвольного непрерывного семимартингала на${\ displaystyle (X_ {s}) _ {s \ geq 0}}$${\ displaystyle \ mathbb {R}:}$

${\ displaystyle L ^ {x} (t) = | X_ {t} -x | - | X_ {0} -x | - \ int _ {0} ^ {t} \ left (1 _ {(0, \ infty )} (X_ {s} -x) -1 _ {(- \ infty, 0]} (X_ {s} -x) \ right) \, dX_ {s}, \ qquad t \ geq 0.}$

Более общая форма была независимо доказана Мейером и Вангом; формула расширяет лемму Ито для дважды дифференцируемых функций на более общий класс функций. Если абсолютно непрерывна с производной ограниченной вариации, то ${\ Displaystyle F: \ mathbb {R} \ rightarrow \ mathbb {R}}$${\ displaystyle F ',}$

${\ Displaystyle F (X_ {t}) = F (X_ {0}) + \ int _ {0} ^ {t} F '_ {-} (X_ {s}) \, dX_ {s} + {\ frac {1} {2}} \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} L ^ {x} (t) \, dF '_ {-} (x),}$

где - левая производная. ${\ displaystyle F '_ {-}}$

Если - броуновское движение, то для любого поля локальных времен существует модификация, которая является как непрерывной по Гёльдеру с показателем , так и равномерно для ограниченных и . В общем, имеет модификацию, которая , как непрерывна в и càdlàg в . ${\ displaystyle X}$${\ Displaystyle \ альфа \ в (0,1 / 2)}$${\ displaystyle L = (L ^ {x} (t)) _ {x \ in \ mathbb {R}, t \ geq 0}}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle \ alpha}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle t}$${\ displaystyle L}$${\ displaystyle t}$${\ displaystyle x}$

Формула Танаки обеспечивает явное разложение Дуба-Мейер для одномерного отражающего броуновского движения, . ${\ displaystyle (| B_ {s} |) _ {s \ geq 0}}$

Теоремы Рэя – Найта

Поле локальных времен, связанных со случайным процессом в пространстве, является хорошо изученной темой в области случайных полей. Теоремы типа Рэя – Найта связывают поле L _t с ассоциированным гауссовским процессом . ${\ displaystyle L_ {t} = (L_ {t} ^ {x}) _ {x \ in E}}$${\ displaystyle E}$

В общем, теоремы типа Рэя – Найта первого типа рассматривают поле L _t в момент достижения основного процесса, в то время как теоремы второго типа относятся к моменту остановки, при котором поле локальных времен сначала превышает заданное значение .

Первая теорема Рэя – Найта.

Пусть ( B _t ) _{t ≥ 0} - одномерное броуновское движение, начавшееся с B ₀ = a > 0, и ( W _t ) _{t ≥0} - стандартное двумерное броуновское движение W ₀ = 0 ∈ R ² . Определите время остановки, в которое B впервые попадает в начало координат . Рэй и Найт (независимо) показали, что ${\ displaystyle T = \ inf \ {t \ geq 0 \ двоеточие B_ {t} = 0 \}}$

${\ Displaystyle \ left \ {L ^ {x} (T) \ двоеточие x \ in [0, a] \ right \} {\ stackrel {\ mathcal {D}} {=}} \ left \ {| W_ { x} | ^ {2} \ двоеточие x \ in [0, a] \ right \} \,}$

( 1 )

где ( L _t ) _{t ≥ 0} - поле локальных времен ( B _t ) _{t ≥ 0} , а равенство находится в распределении на C [0, a ]. Процесс | W _x | ² известен как процесс Бесселя в квадрате .

Вторая теорема Рэя – Найта.

Пусть ( B _t ) _{t ≥ 0} - стандартное одномерное броуновское движение B ₀ = 0 ∈ R , и пусть ( L _t ) _{t ≥ 0} - ассоциированное поле локальных времен. Пусть T _a будет первым моментом, когда местное время в ноль превышает a > 0.

${\ displaystyle T_ {a} = \ inf \ {t \ geq 0 \ двоеточие L_ {t} ^ {0}> a \}.}$

Пусть ( W _t ) _{t ≥ 0} - независимое одномерное броуновское движение, начавшееся с W ₀ = 0, тогда

${\ displaystyle \ left \ {L_ {T_ {a}} ^ {x} + W_ {x} ^ {2} \ двоеточие x \ geq 0 \ right \} {\ stackrel {\ mathcal {D}} {=} } \ left \ {(W_ {x} + {\ sqrt {a}}) ^ {2} \ двоеточие x \ geq 0 \ right \}. \,}$

( 2 )

Эквивалентно, процесс (который является процессом в пространственной переменной ) равен по распределению квадрату 0-мерного бесселевского процесса, в котором начался , и, как таковой, является марковским. ${\ displaystyle (L_ {T_ {a}} ^ {x}) _ {x \ geq 0}}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle a}$

Обобщенные теоремы Рэя – Найта.

Результаты типа Рэя – Найта для более общих случайных процессов интенсивно изучаются, и аналогичные утверждения как ( 1 ), так и ( 2 ) известны для сильно симметричных марковских процессов.

Смотрите также

• Формула Танаки
• Броуновское движение
• Случайное поле

Примечания

использованная литература

• К.Л. Чанг и Р.Дж. Уильямс, Введение в стохастическую интеграцию , 2-е издание, 1990 г., Birkhäuser, ISBN  978-0-8176-3386-8 .
• М. Маркус и Дж. Розен, Марковские процессы, гауссовские процессы и местное время , 1-е издание, 2006 г., Cambridge University Press ISBN  978-0-521-86300-1
• П. Мортс и Ю. Перес, Brownian Motion , 1-е издание, 2010 г., Cambridge University Press, ISBN  978-0-521-76018-8 .