Третья теорема Ли - Lie's third theorem

В математике в теории Ли , третьей теоремы Ли гласит , что всякая конечномерная алгебра Ли над вещественными числами , связанными с группой Ли G . Теорема является частью соответствия группа Ли – алгебра Ли . ${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$

Исторически третья теорема относилась к другому, но связанному результату. Две предыдущие теоремы Софуса Ли , переформулированные современным языком, относятся к бесконечно малым преобразованиям действия группы на гладком многообразии . Третья теорема из списка устанавливает тождество Якоби для инфинитезимальных преобразований локальной группы Ли . Наоборот, при наличии алгебры Ли векторных полей интегрирование дает локальное действие группы Ли . Результат, теперь известный как третья теорема, обеспечивает внутреннее и глобальное обращение к исходной теореме.

Теорема Картана

Эквивалентность категории односвязных вещественных групп Ли и конечномерных вещественных алгебр Ли обычно называют (в литературе второй половины XX века) теоремой Картана или теоремой Картана-Ли, как это было доказано Эли Картаном . Софус Ли ранее доказал инфинитезимальную версию: локальную разрешимость уравнения Маурера-Картана или эквивалентность категории конечномерных алгебр Ли и категории локальных групп Ли.

Ли перечислил свои результаты как три прямые и три обратные теоремы. Бесконечно малый вариант теоремы Картана был, по сути, третьей обратной теоремой Ли. Во влиятельной книге Жан-Пьер Серр назвал ее третьей теоремой Ли . Исторически это название вводит в заблуждение, но часто используется в связи с обобщениями.

Серр представил в своей книге два доказательства: одно основано на теореме Адо, а другое - на основе доказательства Эли Картана.

Смотрите также

• Интегратор групп Ли

Ссылки

• Картан, Эли (1930), "Теория конечных групп и непрерывный и др. Анализ Situs ", Mémorial Sc. Математика. , XLII , стр. 1–61
• Холл, Брайан К. (2015), Группы Ли, алгебры Ли и представления: элементарное введение , Тексты для выпускников по математике, 222 (2-е изд.), Springer, DOI : 10.1007 / 978-3-319-13467-3 , ISBN 978-3319134666
• Хельгасон, Сигурдур (2001), Дифференциальная геометрия, группы Ли и симметрические пространства , Исследования в области математики , 34 , Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество , ISBN 978-0-8218-2848-9, Руководство по ремонту  1834454

внешние ссылки

• Энциклопедия математики (EoM) статья