Бесконечно малое преобразование - Infinitesimal transformation

В математике , бесконечно малое преобразование является ограничивающей формой малого преобразования . Например, можно говорить о вращении бесконечно малом о наличии твердого тела , в трехмерном пространстве. Это условно представлено кососимметричной матрицей A 3 × 3 . Это не матрица реального вращения в пространстве; но при малых реальных значениях параметра ε преобразование

${\ displaystyle T = I + \ varepsilon A}$

- малое вращение с точностью до величин порядка ε ² .

История

Всестороннюю теорию инфинитезимальных преобразований впервые предложил Софус Ли . Это было в основе его работы над тем, что сейчас называется группами Ли и сопровождающими их алгебрами Ли ; и определение их роли в геометрии и особенно в теории дифференциальных уравнений . Свойства абстрактной алгебры Ли являются в точности определяющими для инфинитезимальных преобразований, так же как аксиомы теории групп воплощают симметрию . Термин «алгебра Ли» был введен в 1934 году Германом Вейлем для обозначения того , что до этого было известно как алгебра инфинитезимальных преобразований группы Ли.

Примеры

Например, в случае бесконечно малых вращений структура алгебры Ли обеспечивается перекрестным произведением после того, как кососимметричная матрица была идентифицирована с 3- вектором . Это равносильно выбору вектора оси для вращения; определяющее тождество Якоби - хорошо известное свойство перекрестных произведений.

Самый ранний пример бесконечно малого преобразования, которое могло быть признано таковым, был в теореме Эйлера об однородных функциях . Здесь утверждается, что функция F от n переменных x ₁ , ..., x _n , однородная степени r , удовлетворяет

${\ Displaystyle \ Theta F = rF \,}$

с участием

${\ displaystyle \ Theta = \ sum _ {i} x_ {i} {\ partial \ over \ partial x_ {i}},}$

оператор Theta . То есть из собственности

${\ Displaystyle F (\ lambda x_ {1}, \ dots, \ lambda x_ {n}) = \ lambda ^ {r} F (x_ {1}, \ dots, x_ {n}) \,}$

можно дифференцировать по λ, а затем установить λ равным 1. Это становится необходимым условием для гладкой функции F, чтобы иметь свойство однородности; этого также достаточно (используя распределения Шварца, здесь можно сократить рассмотрение математического анализа ). Этот параметр является типичным, в том , что существует один параметр группа из скейлингов работающих; и информация кодируется в бесконечно малом преобразовании, которое является дифференциальным оператором первого порядка .

Операторная версия теоремы Тейлора

Операторное уравнение

${\ Displaystyle е ^ {tD} е (х) = е (х + т) \,}$

где

${\ displaystyle D = {d \ over dx}}$

является операторной версией теоремы Тейлора - и поэтому действительна только с оговорками о том, что f является аналитической функцией . Сосредоточившись на операторной части, он показывает, что D - бесконечно малое преобразование, генерирующее перевод вещественной прямой через экспоненту . В теории Ли это очень обобщено. Любая связная группа Ли может быть построена с помощью ее инфинитезимальных образующих (основы алгебры Ли группы); с явной, но не всегда полезной информацией, содержащейся в формуле Бейкера – Кэмпбелла – Хаусдорфа .

Ссылки

• "Алгебра Ли" , Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]
• Sophus Lie (1893) Vorlesungen über Continuierliche Gruppen , английский перевод Д.Х. Дельфениха, §8, ссылка из неоклассической физики.