Срок исполнения заказа - Leading-order term

Члены первого порядка (или поправки ) в математическом уравнении , выражении или модели - это члены с наибольшим порядком величины . Размеры различных членов в уравнении (ах) будут меняться по мере изменения переменных , и, следовательно, члены в ведущем порядке также могут измениться.

Распространенный и эффективный способ упрощения и понимания большого количества сложных математических моделей - исследовать, какие члены являются наибольшими (и, следовательно, наиболее важными) для конкретных размеров переменных и параметров, и анализировать поведение, производимое только этими терминами ( считая другие более мелкие условия незначительными). Это дает основное поведение - истинное поведение лишь незначительно отклоняется от него. Это основное поведение может быть достаточно хорошо охвачено только терминами строго ведущего порядка, или может быть решено, что следует также включить несколько меньшие термины. В этом случае словосочетание « ведущие термины» можно неформально использовать для обозначения всей этой группы терминов. Поведение, производимое только группой терминов ведущего порядка, называется поведением модели ведущего порядка .

Базовый пример

Размеры отдельных членов в y  =  x 3  + 5 x  + 0,1. (Начальные термины выделены розовым цветом.)
Икс 0,001 0,1 0,5 2 10
х 3 0,000000001 0,001 0,125 8 1000
5 х 0,005 0,5 2,5 10 50
0,1 0,1 0,1 0,1 0,1 0,1
у 0.105000001 0,601 2,725 18,1 1050,1

Рассмотрим уравнение y  =  x 3  + 5 x  + 0,1. Для пяти различных значений x в таблице показаны размеры четырех членов в этом уравнении и какие члены являются ведущими. При дальнейшем увеличении x члены ведущего порядка остаются как x 3 и y , но по мере того, как x уменьшается и затем становится все более и более отрицательным, какие члены ведущего порядка снова меняются.

Не существует строгого ограничения, когда два члена должны или не должны рассматриваться как примерно одинаковые по порядку или величине. Одно из возможных практических правил состоит в том, что два члена, которые находятся в пределах 10 раз (один порядок) друг от друга, должны рассматриваться как примерно одного порядка, а два члена, которые не находятся в пределах 100 раз (два порядка величина) друг друга не должны. Однако между ними находится серая область, поэтому нет фиксированных границ, где термины должны рассматриваться как приблизительно ведущие, а где нет. Вместо этого термины появляются и исчезают по мере изменения переменных. Решение о том, являются ли термины в модели ведущими (или приблизительно ведущими), а если нет, достаточно ли они малы, чтобы считаться незначительными (два разных вопроса), часто является вопросом исследования и суждения, и будет зависят от контекста.

Ведущее поведение

Уравнения только с одним старшим членом возможны, но редко. Например, уравнение 100 = 1 + 1 + 1 + ... + 1 (где правая часть состоит из ста единиц). Для любой конкретной комбинации значений переменных и параметров уравнение обычно будет содержать по крайней мере два члена старшего порядка и другие члены более низкого порядка . В этом случае, если предположить, что члены более низкого порядка и части членов высшего порядка, которые имеют тот же размер, что и члены более низкого порядка (возможно, вторая или третья значимая цифра и далее), пренебрежимо малы, новое уравнение можно сформировать, отбросив все эти члены более низкого порядка и части членов высшего порядка. Остальные члены обеспечивают уравнения ведущего порядка , или ведущий заказ баланс , или доминирующий баланс , и создание нового уравнения только с участием этих терминов известны , как принимая уравнение для ведущего порядка . Решения этого нового уравнения называются решениями первого порядка исходного уравнения. Анализ поведения, задаваемого этим новым уравнением, дает поведение модели для этих значений переменных и параметров в главном порядке. Размер ошибки при построении этого приближения обычно примерно равен размеру наибольшего игнорируемого члена.

График y  =  x 3  + 5 x  + 0,1. Ведущий порядок или основное поведение при x  = 0,001 - это постоянство y , а при x  = 10 - кубическое увеличение y с увеличением x .

Предположим, мы хотим понять поведение ведущего порядка в приведенном выше примере.

  • Когда x  = 0,001, члены x 3 и 5 x можно рассматривать как незначительные и опускать вместе с любыми значениями в третьем десятичном разряде и далее в двух оставшихся членах. Это дает баланс старшего порядка y  = 0,1. Таким образом, поведение этого уравнения в главном порядке при x = 0,001 состоит в том, что y является постоянным.
  • Точно так же, когда x  = 10, члены 5 x и 0,1 могут рассматриваться как незначительные и опускаться вместе с любыми значениями в третьей значащей цифре и далее в двух оставшихся членах. Это дает баланс старшего порядка y  =  x 3 . Таким образом, поведение этого уравнения в главном порядке при x = 10 состоит в том, что y кубически увеличивается с увеличением x .

Таким образом, основное поведение y можно исследовать при любом значении x . Поведение при начальном порядке усложняется, когда в ведущем порядке больше терминов. При x = 2 существует баланс первого порядка между кубической и линейной зависимостями y от x .

Обратите внимание, что это описание поиска балансов и поведения ведущего порядка дает только общее описание процесса - оно не является математически строгим.

Следующий за лидером заказ

Конечно, y на самом деле не является полностью постоянным при x  = 0,001 - это только его основное поведение в окрестности этой точки. Может случиться так, что сохранение только членов первого порядка (или приблизительно ведущего порядка) и рассмотрение всех других более мелких членов как незначительных является недостаточным (например, при использовании модели для будущего прогнозирования), и поэтому может потребоваться также сохранить набор следующих по величине условий. Их можно назвать условиями или исправлениями следующего порядка (NLO). Следующий набор терминов после этого может называться терминами или исправлениями порядка следующего за ведущим (NNLO).

использование

Согласованные асимптотические разложения

Методы упрощения ведущего порядка используются вместе с методом согласованных асимптотических разложений , когда точное приближенное решение в каждой подобласти является решением ведущего порядка.

Упрощение уравнений Навье – Стокса.

Для конкретных сценариев течения жидкости (очень общие) уравнения Навье – Стокса можно значительно упростить, рассматривая только компоненты старшего порядка. Например, уравнения Стокса . А также тонкопленочные уравнения теории смазки .

Смотрите также

  • Оценка , алгебраическое обобщение "ведущего порядка"

использованная литература

  1. ^ JKHunter, Асимптотический анализ и теория сингулярных возмущений , 2004. http://www.math.ucdavis.edu/~hunter/notes/asy.pdf
  2. ^ Примечания к курсу NYU
  3. ^ а б Митчелл, MJ; и другие. (2010). «Модель растворения углекислого газа и кинетики карбонизации минералов» . Труды Королевского общества А . 466 (2117): 1265–1290. Bibcode : 2010RSPSA.466.1265M . DOI : 10.1098 / rspa.2009.0349 .
  4. ^ Woollard, HF; и другие. (2008). «Многомасштабная модель переноса растворенных веществ в канале с волнистыми стенками» (PDF) . Журнал инженерной математики . 64 (1): 25–48. Bibcode : 2009JEnMa..64 ... 25W . DOI : 10.1007 / s10665-008-9239-х .
  5. ^ Sternberg, P .; Бернофф, AJ (1998). «Возникновение сверхпроводимости в убывающих полях для общих областей» . Журнал математической физики . 39 (3): 1272–1284. Bibcode : 1998JMP .... 39.1272B . DOI : 10.1063 / 1.532379 .
  6. ^ Саламон, TR; и другие. (1995). «Роль поверхностного натяжения в доминирующем балансе в сингулярности выступа штампа» . Физика жидкостей . 7 (10): 2328–2344. Bibcode : 1995PhFl .... 7.2328S . DOI : 10.1063 / 1.868746 . Архивировано из оригинала на 2013-07-08.
  7. ^ Горшков, А.В.; и другие. (2008). «Когерентный квантово-оптический контроль с субволновым разрешением». Письма с физическим обзором . 100 (9): 93005. arXiv : 0706.3879 . Bibcode : 2008PhRvL.100i3005G . DOI : 10.1103 / PhysRevLett.100.093005 . PMID  18352706 .
  8. ^ Линденберг, К .; и другие. (1994). «Ограниченные диффузией двоичные реакции: иерархия неклассических режимов для коррелированных начальных условий» (PDF) . Журнал физической химии . 98 (13): 3389–3397. DOI : 10.1021 / j100064a020 .
  9. ^ Żenczykowski, P. (1988). "Матрица Кобаяши – Маскавы из решения первого порядка модели Фрича n- поколения". Physical Review D . 38 (1): 332–336. Bibcode : 1988PhRvD..38..332Z . DOI : 10.1103 / PhysRevD.38.332 .
  10. ^ Горовиц, GT; Цейтлин А.А. (1994). «Экстремальные черные дыры как точные струнные решения». Письма с физическим обзором . 73 (25): 3351–3354. arXiv : hep-th / 9408040 . Bibcode : 1994PhRvL..73.3351H . DOI : 10.1103 / PhysRevLett.73.3351 . PMID  10057359 .
  11. Перейти ↑ Hüseyin, A. (1980). «Ведущее поведение амплитуд двухфотонного рассеяния в КХД». Ядерная физика Б . 163 : 453–460. Bibcode : 1980NuPhB.163..453A . DOI : 10.1016 / 0550-3213 (80) 90411-3 .
  12. ^ Kruczenski, M .; Oxman, LE; Залдарриага, М. (1999). «Большое сжатие при генерации космологической энтропии». Классическая и квантовая гравитация . 11 (9): 2317–2329. arXiv : gr-qc / 9403024 . Bibcode : 1994CQGra..11.2317K . DOI : 10.1088 / 0264-9381 / 11/9/013 .
  13. ^ Кэмпбелл, Дж .; Эллис, РК (2002). «Поправки следующего за лидером порядка к образованию струй W + 2 и Z + 2 на адронных коллайдерах». Physical Review D . 65 (11): 113007. arXiv : hep-ph / 0202176 . Bibcode : 2002PhRvD..65k3007C . DOI : 10.1103 / PhysRevD.65.113007 .
  14. ^ Catani, S .; Сеймур, MH (1996). «Дипольный формализм для расчета сечений струй КХД в ближайшем порядке». Физика Письма Б . 378 (1): 287–301. arXiv : hep-ph / 9602277 . Bibcode : 1996PhLB..378..287C . DOI : 10.1016 / 0370-2693 (96) 00425-X .
  15. ^ Kidonakis, N .; Фогт, Р. (2003). «Мягкие глюонные поправки следующего за ведущим порядком в адророждении топ-кварка». Physical Review D . 68 (11): 114014. arXiv : hep-ph / 0308222 . Bibcode : 2003PhRvD..68k4014K . DOI : 10.1103 / PhysRevD.68.114014 .
  16. ^ Рубинштейн, BY; Письмен Л. М. (1994). «Вихревое движение в пространственно неоднородной консервативной модели Гинзбурга – Ландау» (PDF) . Physica D: нелинейные явления . 78 (1): 1–10. Bibcode : 1994PhyD ... 78 .... 1R . DOI : 10.1016 / 0167-2789 (94) 00119-7 .
  17. ^ Кившар Ю.С.; и другие. (1998). «Динамика оптических вихревых солитонов» (PDF) . Оптика Коммуникации . 152 (1): 198–206. Bibcode : 1998OptCo.152..198K . DOI : 10.1016 / S0030-4018 (98) 00149-7 . Архивировано из оригинального (PDF) 21 апреля 2013 года . Проверено 31 октября 2012 .
  18. ^ Заметки Корнельского университета