Лакунарная функция - Lacunary function

В анализе , A лакунарная функция , также известная как лакунарный ряд , является аналитической функцией , которая не может быть аналитический продолжена в любом месте за пределами радиуса сходимости , в которой она определена с помощью степенного ряда . Слово « лакунарный» происходит от слова « лакуна» ( мн. Lacunae), что означает «пробел» или «пустота».

Первые известные примеры лакунарных функций включали ряды Тейлора с большими промежутками или лакунами между ненулевыми коэффициентами их разложений. Более поздние исследования также сосредоточили внимание на рядах Фурье с аналогичными промежутками между ненулевыми коэффициентами. Существует небольшая двусмысленность в современном использовании термина лакунарный ряд , который может относиться либо к рядам Тейлора, либо к рядам Фурье.

Простой пример

Пусть . Рассмотрим следующую функцию, определяемую простым степенным рядом: ${\ Displaystyle а \ в \ mathbb {Z} \ cap \ left [2, \ infty \ right)}$

${\ Displaystyle е (г) = \ сумма _ {п = 0} ^ {\ infty} г ^ {а ^ {п}} = г + г ^ {а} + г ^ {а ^ {2}} + г ^ {a ^ {3}} + z ^ {a ^ {4}} + \ cdots \,}$

Степенный ряд сходится равномерно в любой открытой области | z | <1. Это можно доказать, сравнивая f с геометрическим рядом , который абсолютно сходится при | z | <1. Значит, f аналитична на открытом единичном круге. Тем не менее, f имеет особенность в каждой точке единичной окружности и не может быть аналитически продолжена за пределы открытого единичного круга, как демонстрирует следующий аргумент.

Ясно, что f имеет особенность в точке z = 1, поскольку

${\ Displaystyle е (1) = 1 + 1 + 1 + \ cdots \,}$

расходящийся ряд. Но если разрешить z не быть реальным, возникнут проблемы, так как

${\ Displaystyle е \ влево (z ^ {a} \ right) = f (z) -z \ qquad f \ left (z ^ {a ^ {2}} \ right) = f (z ^ {a}) - z ^ {a} \ qquad f \ left (z ^ {a ^ {3}} \ right) = f \ left (z ^ {a ^ {2}} \ right) -z ^ {a ^ {2}} \ qquad \ cdots \ qquad f \ left (z ^ {a ^ {n + 1}} \ right) = f \ left (z ^ {a ^ {n}} \ right) -z ^ {a ^ {n} }}$

мы можем видеть, что f имеет особенность в точке z, когда z ^a = 1, а также когда z ^{a 2} = 1. По индукции, предложенной приведенными выше уравнениями, f должен иметь особенность в каждом из корней a ⁿ -й степени. единицы для всех натуральных чисел n. Множество всех таких точек плотно на единичной окружности, поэтому при непрерывном расширении каждая точка на единичной окружности должна быть особенностью f.

Элементарный результат

Очевидно, аргументация, приведенная в простом примере, показывает, что можно построить определенные ряды для определения лакунарных функций. Что не так очевидно, так это то, что промежутки между степенями z могут увеличиваться гораздо медленнее, и результирующий ряд по-прежнему будет определять лакунарную функцию. Чтобы уточнить это понятие, необходимы дополнительные обозначения.

Мы пишем

${\ displaystyle f (z) = \ sum _ {k = 1} ^ {\ infty} a_ {k} z ^ {\ lambda _ {k}} = \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} b_ {п} г ^ {п} \,}$

где b _n = a _k, когда n = λ _k , и b _n  = 0 в противном случае. Участки, на которых коэффициенты b _n во втором ряду равны нулю, представляют собой пробелы в коэффициентах. Монотонно возрастающая последовательность положительных натуральных чисел {λ _k } задает степени z, которые входят в степенной ряд для f ( z ).

Теперь можно сформулировать теорему Адамара . Если

${\ displaystyle \ liminf _ {k \ to \ infty} {\ frac {\ lambda _ {k}} {\ lambda _ {k-1}}}> 1+ \ delta \,}$

где δ > 0 - произвольная положительная постоянная, то f ( z ) - лакунарная функция, которая не может быть продолжена за пределы круга сходимости. Другими словами, последовательность {λ _k } не должна расти так же быстро, как 2 ^k, чтобы f ( z ) была лакунарной функцией - она ​​просто должна расти так же быстро, как некоторая геометрическая прогрессия (1 + δ) ^k . Говорят, что серия, для которой λ _k так быстро растет, содержит лакуны Адамара . См. Теорему Островского – Адамара о щели .

Лакунарный тригонометрический ряд

Математики также исследовали свойства лакунарных тригонометрических рядов.

${\ Displaystyle S ((\ lambda _ {k}) _ {k}, \ theta) = \ sum _ {k = 1} ^ {\ infty} a_ {k} \ cos (\ lambda _ {k} \ theta ) \ qquad S ((\ lambda _ {k}) _ {k}, \ theta, \ omega) = \ sum _ {k = 1} ^ {\ infty} a_ {k} \ cos (\ lambda _ {k } \ theta + \ omega) \,}$

для которых λ _k находятся далеко друг от друга. Здесь коэффициенты a _k - действительные числа. В этом контексте внимание было сосредоточено на критериях, достаточных для того, чтобы гарантировать сходимость тригонометрического ряда почти везде (то есть почти для любого значения угла θ и коэффициента искажения ω ).

• Колмогоров показал, что если последовательность { λ _k } содержит лакуны Адамара, то ряд S ( λ _k ,  θ ,  ω ) сходится (расходится) почти всюду, когда

${\ Displaystyle \ сумма _ {к = 1} ^ {\ infty} а_ {к} ^ {2}}$

сходится (расходится).

• Зигмунд показал при том же условии, что S ( λ _k ,  θ ,  ω ) не является рядом Фурье, представляющим интегрируемую функцию, когда эта сумма квадратов a _k является расходящимся рядом.

Единый взгляд

Более глубокое понимание основного вопроса, который мотивирует исследование лакунарных степенных рядов и лакунарных тригонометрических рядов, может быть получено при повторном рассмотрении простого примера, приведенного выше. В этом примере мы использовали геометрический ряд

${\ Displaystyle г (г) = \ сумма _ {п = 1} ^ {\ infty} г ^ {п} \,}$

и M-тест Вейерштрасса, чтобы продемонстрировать, что простой пример определяет аналитическую функцию на открытом единичном круге.

Сам геометрический ряд определяет аналитическую функцию, которая сходится всюду на замкнутом единичном круге, кроме случая z = 1, где g ( z ) имеет простой полюс. И, поскольку z  =  e ^iθ для точек на единичной окружности, геометрический ряд принимает вид

${\ displaystyle g (z) = \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} e ^ {in \ theta} = \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} \ left (\ cos n \ theta + i \ sin n \ theta \ right) \,}$

при конкретном z , | z | = 1. Таким образом, с этой точки зрения математики, изучающие лакунарные ряды, задаются вопросом: насколько геометрический ряд должен быть искажен - путем вырезания больших участков и введения коэффициентов a _k  ≠ 1 - перед полученным математическим объектом превращается из красивой гладкой мероморфной функции в нечто, демонстрирующее примитивную форму хаотического поведения?

Смотрите также

• Аналитическое продолжение
• Солем Мандельбройт
• Бенуа Мандельброт
• Набор Мандельброта
• Теорема Фабри о разрыве
• Теорема Островского – Адамара о щели

Заметки

Рекомендации

• Катуси Фукуяма и Сигеру Такахаси, Труды Американского математического общества , т. 127 № 2 стр. 599–608 (1999), "Центральная предельная теорема для лакунарных рядов".
• Солем Мандельбройт и Эдвард Рой Сесил Майлз, Брошюра Института риса , т. 14 № 4, стр. 261–284 (1927), «Лакунарные функции».
• Е. Т. Уиттакер и Г. Н. Уотсон , Курс современного анализа , четвертое издание, Cambridge University Press, 1927.

Внешние ссылки

• Фукуяма и Такахаши, 1999 г. Статья (PDF), озаглавленная «Центральная предельная теорема для лакунарных рядов» , из AMS.
• Мандельбройт и Майлз, 1927 г. Статья (PDF), озаглавленная « Лакунарные функции» , из Университета Райса.
• Статья MathWorld о лакунарных функциях