Радиус схождения - Radius of convergence

В математике , то радиус сходимости в виде степенного ряда является радиус наибольшего диска , в котором серия сходится . Это либо неотрицательное действительное число, либо . Когда она положительна, то степенной ряд сходится абсолютно и равномерно на компактах внутри открытого круга с радиусом , равным радиусу сходимости, и это ряд Тейлора в аналитической функции , к которой он сходится. ${\ displaystyle \ infty}$

Определение

Для степенного ряда f, определяемого как:

${\ displaystyle f (z) = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} c_ {n} (za) ^ {n},}$

куда

• a - комплексная постоянная, центр круга сходимости,
• c _n - n-й комплексный коэффициент, а
• z - комплексная переменная.

Радиус сходимости r - неотрицательное действительное число или такое, что ряд сходится, если ${\ displaystyle \ infty}$

${\ displaystyle | za | <r}$

и расходится, если

${\ displaystyle | za |> r.}$

Некоторые могут предпочесть альтернативное определение, поскольку существование очевидно:

${\ Displaystyle г = \ sup \ left \ {| za | \ \ left | \ \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} c_ {n} (za) ^ {n} \ {\ text {сходится} }\верно-верно\}}$

На границе, то есть где | г  -  а | = r , поведение степенного ряда может быть сложным, и ряд может сходиться для одних значений z и расходиться для других. Радиус сходимости бесконечен, если ряд сходится для всех комплексных чисел z .

Нахождение радиуса сходимости

Возникают два случая. Первый случай теоретический: когда вы знаете все коэффициенты, вы берете определенные пределы и находите точный радиус сходимости. Второй случай практичен: когда вы строите решение сложной задачи в виде степенного ряда, вы, как правило, будете знать только конечное число членов в степенном ряду, от пары до ста членов. Во втором случае экстраполяция графика позволяет оценить радиус сходимости. ${\ displaystyle c_ {n}}$

Теоретический радиус

Радиус сходимости можно найти, применив критерий корня к членам ряда. Корневой тест использует число

${\ displaystyle C = \ limsup _ {n \ to \ infty} {\ sqrt [{n}] {| c_ {n} (za) ^ {n} |}} = \ limsup _ {n \ to \ infty} \ left ({\ sqrt [{n}] {| c_ {n} |}} \ right) | za |}$

«lim sup» обозначает верхний предел . Корневой тест утверждает, что ряд сходится, если C  <1, и расходится, если  C  > 1. Отсюда следует, что степенной ряд сходится, если расстояние от z до центра a меньше, чем

${\ displaystyle r = {\ frac {1} {\ limsup _ {n \ to \ infty} {\ sqrt [{n}] {| c_ {n} |}}}}}$

и расходится, если расстояние превышает это число; это утверждение является теоремой Коши – Адамара . Обратите внимание, что r  = 1/0 интерпретируется как бесконечный радиус, что означает, что f - целая функция .

Предел, связанный с проверкой отношения, обычно легче вычислить, и когда этот предел существует, он показывает, что радиус сходимости конечен.

${\ displaystyle r = \ lim _ {n \ to \ infty} \ left | {\ frac {c_ {n}} {c_ {n + 1}}} \ right |.}$

Это показано следующим образом. Тест отношения говорит, что ряд сходится, если

${\ displaystyle \ lim _ {n \ to \ infty} {\ frac {| c_ {n + 1} (za) ^ {n + 1} |} {| c_ {n} (za) ^ {n} |} } <1.}$

Это эквивалентно

${\ displaystyle | za | <{\ frac {1} {\ lim _ {n \ to \ infty} {\ frac {| c_ {n + 1} |} {| c_ {n} |}}}} = \ lim _ {n \ to \ infty} \ left | {\ frac {c_ {n}} {c_ {n + 1}}} \ right |.}$

Практическая оценка радиуса в случае реальных коэффициентов

Обычно в научных приложениях известно лишь конечное число коэффициентов . Обычно при увеличении эти коэффициенты принимают регулярное поведение, определяемое ближайшей сингулярностью, ограничивающей радиус. В этом случае были разработаны два основных метода, основанных на том факте, что коэффициенты ряда Тейлора примерно экспоненциальны с отношением, где r - радиус сходимости. ${\ displaystyle c_ {n}}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle 1 / r}$

• Базовый случай - это когда коэффициенты в конечном итоге имеют общий знак или чередуются по знаку. Как указывалось ранее в статье, во многих случаях ограничение существует, и в этом случае . Отрицательный означает, что сингулярность, ограничивающая сходимость, находится на отрицательной оси. Оцените этот предел, построив график зависимости , и графически экстраполируйте (эффективно ) с помощью линейной аппроксимации. Отрезок с оценками обратной величины радиуса сходимости . Этот сюжет называется сюжетом Домба – Сайкса .${\ textstyle \ lim _ {п \ к \ infty} {c_ {n} / c_ {n-1}}}$${\ textstyle 1 / r = \ lim _ {n \ to \ infty} {c_ {n} / c_ {n-1}}}$${\ displaystyle r}$${\ displaystyle c_ {n} / c_ {n-1}}$${\ displaystyle 1 / n}$${\ displaystyle 1 / n = 0}$${\ Displaystyle п = \ infty}$${\ displaystyle 1 / n = 0}$${\ displaystyle 1 / r}$
• Более сложный случай, когда знаки коэффициентов имеют более сложный узор. Мерсер и Робертс предложили следующую процедуру. Определите связанную последовательность
  $${\ displaystyle b_ {n} ^ {2} = {\ frac {c_ {n + 1} c_ {n-1} -c_ {n} ^ {2}} {c_ {n} c_ {n-2} - c_ {n-1} ^ {2}}} \ quad n = 3,4,5, \ ldots.}$$

  
  Постройте график сравнения конечного числа известных и графически экстраполируйте их с помощью линейной аппроксимации. Отрезок с оценками обратной величины радиуса сходимости .${\ displaystyle b_ {n}}$${\ displaystyle 1 / n}$${\ displaystyle 1 / n = 0}$${\ displaystyle 1 / n = 0}$${\ displaystyle 1 / r}$
  Эта процедура также оценивает две другие характеристики особенности, предельной сходимости. Предположим, что ближайшая сингулярность имеет градус и угол к действительной оси. Тогда наклон приведенной выше линейной аппроксимации равен . Далее, график в зависимости от , затем линейная аппроксимация, экстраполированная на точку пересечения .${\ displaystyle p}$${\ displaystyle \ pm \ theta}$${\ displaystyle - (p + 1) / r}$${\ textstyle {\ frac {1} {2}} \ left ({\ frac {c_ {n-1} b_ {n}} {c_ {n}}} + {\ frac {c_ {n + 1}}) {c_ {n} b_ {n}}} \ right)}$${\ textstyle 1 / п ^ {2}}$${\ textstyle 1 / n ^ {2} = 0}$${\ displaystyle \ cos \ theta}$

Радиус сходимости в комплексном анализе

Степенный ряд с положительным радиусом сходимости может быть преобразован в голоморфную функцию, если принять его аргумент как комплексную переменную. Радиус сходимости можно охарактеризовать следующей теоремой:

Радиус сходимости степенного ряда f с центром в точке a равен расстоянию от a до ближайшей точки, где f не может быть определено таким образом, чтобы сделать его голоморфным.

Множество всех точек, расстояние до строго меньше радиуса сходимости называется диском сходимости .

Ближайшая точка означает ближайшую точку на комплексной плоскости , не обязательно на действительной прямой, даже если центр и все коэффициенты действительны. Например, функция

${\ displaystyle f (z) = {\ frac {1} {1 + z ^ {2}}}}$

не имеет особенностей на действительной прямой, так как не имеет реальных корней. Его ряд Тейлора около 0 определяется выражением ${\ displaystyle 1 + z ^ {2}}$

${\ displaystyle \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} (- 1) ^ {n} z ^ {2n}.}$

Корневой тест показывает, что ее радиус сходимости равен 1. В соответствии с этим функция f ( z ) имеет особенности в ± i , которые находятся на расстоянии 1 от 0.

Для доказательства этой теоремы см аналитичность голоморфных функций .

Простой пример

Функция арктангенса тригонометрии может быть расширена в степенной ряд:

${\ displaystyle \ arctan (z) = z - {\ frac {z ^ {3}} {3}} + {\ frac {z ^ {5}} {5}} - {\ frac {z ^ {7} } {7}} + \ cdots.}$

В этом случае легко применить корневой тест, чтобы найти, что радиус сходимости равен 1.

Более сложный пример

Рассмотрим этот степенной ряд:

${\ displaystyle {\ frac {z} {e ^ {z} -1}} = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ frac {B_ {n}} {n!}} z ^ { n}}$

где рациональные числа B _n - числа Бернулли . Может оказаться обременительным попытаться применить тест отношения, чтобы найти радиус сходимости этого ряда. Но сформулированная выше теорема комплексного анализа быстро решает проблему. При z = 0 особенность фактически отсутствует, поскольку особенность устранима . Таким образом, единственные неустранимые особенности находятся в других точках, где знаменатель равен нулю. Мы решаем

${\ displaystyle e ^ {z} -1 = 0}$

напоминая, что если z = x + iy и e ^iy = cos ( y ) + i sin ( y ), то

${\ Displaystyle е ^ {z} = е ^ {х} е ^ {iy} = е ^ {х} (\ соз (у) + я \ грех (у)),}$

а затем возьмем x и y за реальные. Поскольку y является действительным, абсолютное значение cos ( y ) + i sin ( y ) обязательно равно 1. Следовательно, абсолютное значение e ^z может быть 1, только если e ^x равно 1; поскольку x действительный, это происходит только в том случае, если x = 0. Следовательно, z чисто мнимое и cos ( y ) + i sin ( y ) = 1 . Поскольку y является вещественным, это происходит только в том случае, если cos ( y ) = 1 и sin ( y ) = 0, так что y является целым числом, кратным 2 π . Следовательно, особые точки этой функции находятся в точках

z = ненулевое целое число, кратное 2 π i .

Ближайшие к 0 особенности, являющиеся центром разложения в степенной ряд, находятся в точках ± 2 π i . Расстояние от центра до любой из этих точек составляет 2 π , поэтому радиус сходимости равен 2 π .

Сходимость на границе

Если степенной ряд разложен вокруг точки a и радиус сходимости равен r , то множество всех точек z таких, что | г - а | = r - окружность, называемая границей диска сходимости. Степенный ряд может расходиться в каждой точке на границе, или расходиться в некоторых точках и сходиться в других точках, или сходиться во всех точках на границе. Более того, даже если ряд сходится всюду на границе (даже равномерно), он не обязательно сходится абсолютно.

Пример 1: степенной ряд для функции f ( z ) = 1 / (1 - z ) , разложенный вокруг z = 0 , что просто

${\ Displaystyle \ сумма _ {п = 0} ^ {\ infty} г ^ {п},}$

имеет радиус сходимости 1 и расходится в каждой точке границы.

Пример 2: степенной ряд для g ( z ) = −ln (1 - z ) , разложенный вокруг z = 0 , который равен

${\ displaystyle \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {1} {n}} z ^ {n},}$

имеет радиус сходимости 1 и расходится при z = 1, но сходится для всех остальных точек на границе. Функция f ( z ) из примера 1 является производной от g ( z ) .

Пример 3: степенной ряд

${\ displaystyle \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {1} {n ^ {2}}} z ^ {n}}$

имеет радиус сходимости 1 и абсолютно сходится всюду на границе. Если h - функция, представленная этим рядом на единичном круге, то производная h ( z ) равна g ( z ) / z с g из примера 2. Оказывается, h ( z ) - функция дилогарифма .

Пример 4: степенной ряд

${\ displaystyle \ sum _ {i = 1} ^ {\ infty} a_ {i} z ^ {i} {\ text {where}} a_ {i} = {\ frac {(-1) ^ {n-1 }} {2 ^ {n} n}} {\ text {for}} n = \ lfloor \ log _ {2} (i) \ rfloor +1 {\ text {, уникальное целое число с}} 2 ^ {n -1} \ leq i <2 ^ {n},}$

имеет радиус сходимости 1 и сходится равномерно на всей границе | z | = 1 , но не сходится абсолютно на границе.

Скорость сходимости

Если мы расширим функцию

${\ displaystyle \ sin x = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ frac {(-1) ^ {n}} {(2n + 1)!}} x ^ {2n + 1} = x - {\ frac {x ^ {3}} {3!}} + {\ frac {x ^ {5}} {5!}} - \ cdots {\ text {для всех}} x}$

вокруг точки x = 0, мы обнаруживаем, что радиус сходимости этого ряда означает, что этот ряд сходится для всех комплексных чисел. Однако в приложениях часто интересует точность числового ответа . И количество членов, и значение, при котором должна оцениваться серия, влияют на точность ответа. Например, если мы хотим вычислить sin (0.1) с точностью до пяти десятичных знаков, нам нужны только первые два члена ряда. Однако, если нам нужна такая же точность для x = 1, мы должны оценить и просуммировать первые пять членов ряда. Для sin (10) требуются первые 18 членов ряда, а для sin (100) нам нужно вычислить первые 141 член. ${\ displaystyle \ infty}$

Таким образом, для этих конкретных значений самая быстрая сходимость разложения степенного ряда находится в центре, и по мере удаления от центра сходимости скорость сходимости замедляется до тех пор, пока вы не достигнете границы (если она существует) и не пересечетесь, в в этом случае серии разойдутся.

Абсцисса сходимости ряда Дирихле.

Аналогичное понятие - абсцисса сходимости ряда Дирихле

${\ displaystyle \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {a_ {n}} {n ^ {s}}}.}$

Такой ряд сходится, если действительная часть s больше определенного числа в зависимости от коэффициентов a _n : абсцисс сходимости.

Примечания

использованная литература

• Браун, Джеймс; Черчилль, Руэль (1989), Комплексные переменные и приложения , Нью-Йорк: McGraw-Hill , ISBN 978-0-07-010905-6
• Штейн, Элиас ; Шакарчи, Рами (2003), Комплексный анализ , Принстон, Нью-Джерси: Princeton University Press , ISBN 0-691-11385-8

Смотрите также

• Тесты сходимости
• Корневой тест

внешние ссылки

• Что такое радиус конвергенции?