Теория Ивасавы - Iwasawa theory

В теории чисел , теории Ивасава является изучением объектов арифметических интересов над бесконечными башнями из числовых полей . Она началась как теория модулей Галуа групп идеальных классов , начатая Кенкичи Ивасава ( 1959 ) (岩澤健吉), как часть теории круговых полей . В начале 1970-х Барри Мазур рассмотрел обобщения теории Ивасавы на абелевы многообразия . Совсем недавно (начало 1990-х) Ральф Гринберг предложил теорию мотивов Ивасавы .

Формулировка

Ивасава работал с так называемыми -расширениями: бесконечными расширениями числового поля с группой Галуа, изоморфной аддитивной группе целых p-адических чисел для некоторого простого p . ( В ранних работах они назывались -расширениями.) Каждая замкнутая подгруппа в имеет вид, поэтому по теории Галуа -расширение - это то же самое, что и башня полей. ${\ Displaystyle \ mathbb {Z} _ {p}}$ ${\ displaystyle F}$ ${\ displaystyle \ Gamma}$ ${\ displaystyle \ Gamma}$ ${\ displaystyle \ Gamma}$ ${\ displaystyle \ Gamma ^ {p ^ {n}},}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {Z} _ {p}}$ ${\ Displaystyle F _ {\ infty} / F}$

{\ displaystyle F = F_ {0} \ subset F_ {1} \ subset F_ {2} \ subset \ cdots \ subset F _ {\ infty}}

такие, что Ивасава изучал классические модули Галуа , задавая вопросы о структуре модулей над ${\ displaystyle \ operatorname {Gal} (F_ {n} / F) \ cong \ mathbb {Z} / p ^ {n} \ mathbb {Z}.}$ ${\ displaystyle F_ {n}}$ ${\ displaystyle F _ {\ infty}.}$

В более общем плане теория Ивасавы задает вопросы о структуре модулей Галуа над расширениями с группой Галуа как p-адической группой Ли .

Пример

Пусть простое число , и пусть будет поле , порожденное над по - й корни из единицы. Ивасава рассмотрел следующую башню числовых полей: ${\ displaystyle p}$ ${\ Displaystyle К = \ mathbb {Q} (\ mu _ {p})}$ ${\ displaystyle \ mathbb {Q}}$ ${\ displaystyle p}$

{\ Displaystyle К = К_ {0} \ подмножество К_ {1} \ подмножество \ cdots \ подмножество К _ {\ infty},}

где это поле , генерируемое присоединением к к р ^п^{+ 1} -sT корни из единицы и ${\ displaystyle K_ {n}}$ ${\ displaystyle K}$

{\ displaystyle K _ {\ infty} = \ bigcup K_ {n}.}

Тот факт, что согласно бесконечной теории Галуа, следует, что для того, чтобы получить интересный модуль Галуа, Ивасава взял группу идеальных классов , и пусть будет ее частью p -кручения. Есть норма карты всякий раз , когда , и это дает нам данные о качестве обратной системы . Если мы установим ${\ displaystyle \ operatorname {Gal} (K_ {n} / K) \ simeq \ mathbb {Z} / p ^ {n} \ mathbb {Z}}$ ${\ displaystyle \ operatorname {Gal} (K _ {\ infty} / K) \ simeq \ varprojlim _ {n} \ mathbb {Z} / p ^ {n} \ mathbb {Z} = \ mathbb {Z} _ {p }.}$ ${\ displaystyle K_ {n}}$ ${\ displaystyle I_ {n}}$ ${\ displaystyle I_ {m} \ to I_ {n}}$ ${\ displaystyle m> n}$

{\ displaystyle I = \ varprojlim I_ {n},}

то это не трудно понять из предельной конструкции обратного , что является модулем над В самом деле, представляет собой модуль над алгеброй Ивасава . Это 2-мерное , регулярное локальное кольцо , и это позволяет описывать модули над ним. Из этого описания можно восстановить информацию о p -части группы классов ${\ displaystyle I}$ ${\ displaystyle \ mathbb {Z} _ {p}.}$ ${\ displaystyle I}$ ${\ Displaystyle \ Lambda = \ mathbb {Z} _ {p} [[\ Gamma]]}$ ${\ displaystyle K.}$

Мотивация здесь заключается в том, что p- кручение в группе классов идеалов уже было определено Куммером как главное препятствие к прямому доказательству Великой теоремы Ферма . ${\ displaystyle K}$

Связь с p-адическим анализом

С этого начала в 1950-х годах была создана основательная теория. Была замечена фундаментальная связь между теорией модулей и p-адическими L-функциями, которые были определены в 1960-х годах Куботой и Леопольдтом. Последние начинаются с чисел Бернулли и используют интерполяцию для определения p-адических аналогов L-функций Дирихле . Стало ясно, что у теории есть шансы на окончательное развитие результатов вековой давности Куммера о регулярных простых числах .

Ивасава сформулировал основную гипотезу теории Ивасавы как утверждение, что два метода определения p-адических L-функций (теорией модулей и интерполяцией) должны совпадать, поскольку это было четко определено. Это было доказано Мазур и Уайлс (1984) для и для всех вполне вещественных числовых полей по Уайлс (1990) . Эти доказательства были построены по образцу доказательства Кена Рибета, обратного теореме Хербрана (так называемая теорема Хербрана – Рибета ). ${\ displaystyle \ mathbb {Q}}$

Карл Рубин нашел более элементарное доказательство теоремы Мазура-Уайлса, используя системы Эйлера Колывагина , описанные у Лэнга (1990) и Вашингтона (1997) , а позже доказал другие обобщения основной гипотезы для мнимых квадратичных полей.

Обобщения

Группа Галуа бесконечной башни, начальное поле и вид изучаемого арифметического модуля могут быть различными. В каждом случае существует основная гипотеза, связывающая башню с p -адической L-функцией.

В 2002 году Кристофер Скиннер и Эрик Урбан потребовали доказательства основной гипотезы для GL (2). В 2010 году они опубликовали препринт ( Skinner & Urban 2010 ).

Смотрите также

использованная литература

Источники

Коутс, Дж .; Суджата, Р. (2006), Циклотомические поля и дзета-значения , Монографии Springer по математике, Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-33068-4, Zbl 1100,11002
Гринберг, Ральф (2001), «Теория Ивасавы - прошлое и настоящее» , в Мияке, Кацуя (ред.), Теория поля классов - ее столетие и перспективы (Токио, 1998) , Adv. Stud. Чистая математика, 30 , Токио: Математика. Soc. Япония, стр. 335–385, ISBN. 978-4-931469-11-2, Руководство по ремонту 1846466 , Zbl 0998.11054
Ивасава, Kenkichi (1959), "О Г-расширений полей алгебраических чисел", Бюллетень Американского математического общества , 65 (4): 183-226, DOI : 10,1090 / S0002-9904-1959-10317-7 , ISSN 0002 -9904 , Руководство по ремонту 0124316 , Zbl 0089.02402
Като, Казуя (2007), "Теория Ивасавы и обобщения" (PDF) , в Санз-Соле, Марта ; Сория, Хавьер; Варона, Хуан Луис; и другие. (ред.), Международный конгресс математиков. Vol. I , Eur. Математика. Soc, Цюрих, стр 335-357,.. DOI : 10,4171 / 022-1 / 14 , ISBN 978-3-03719-022-7, Руководство по ремонту 2334196
Ланг, Серж (1990), Циклотомические поля I и II , Тексты для выпускников по математике , 121 , С приложением Карла Рубина (объединенное 2-е изд.), Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-96671-7, Zbl 0704,11038
Мазур, Барри ; Уайлс, Эндрю (1984), "Поле классов абелевых расширений Q ", Inventiones Mathematicae , 76 (2): 179-330, DOI : 10.1007 / BF01388599 , ISSN 0020-9910 , МР 0742853 , Zbl +0545,12005
Нойкирх, Юрген ; Шмидт, Александр; Вингберг, Кей (2008), Когомологии числовых полей , Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, 323 (второе издание), Берлин: Springer-Verlag , DOI : 10.1007 / 978-3-540-37889-1 , ISBN 978-3-540-37888-4, Руководство по ремонту 2392026 , Zbl 1136.11001
Рубин, Карл (1991), "В 'основные гипотезы' теории Ивасавы для мнимых квадратичных полей", Inventiones Mathematicae , 103 (1): 25-68, DOI : 10.1007 / BF01239508 , ISSN 0020-9910 , Zbl 0737,11030
Скиннер, Крис; Урбан, Эрик (2010), Основные гипотезы Ивасавы для GL ₂ (PDF) , стр. 219
Вашингтон, Лоуренс К. (1997), Введение в циклотомические поля , Тексты для выпускников по математике, 83 (2-е изд.), Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-94762-4
Уайлс, Эндрю (1990), "О Ивасава Гипотеза для вполне вещественных полей", Анналы математики , 131 (3): 493-540, DOI : 10,2307 / 1971468 , JSTOR 1971468 , Zbl 0719,11071 .

Цитаты

дальнейшее чтение

де Шалит, Эхуд (1987), теория Ивасавы эллиптических кривых с комплексным умножением. p -адические L- функции , Perspectives in Mathematics, 3 , Boston и т. д .: Academic Press, ISBN 978-0-12-210255-4, Zbl 0674,12004

внешние ссылки

"Теория Ивасавы" , Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]

Languages

In other projects