Теория внутреннего множества - Internal set theory

Теория внутренних множеств ( IST ) - это математическая теория множеств, разработанная Эдвардом Нельсоном, которая обеспечивает аксиоматическую основу для части нестандартного анализа, введенного Абрахамом Робинсоном . Вместо добавления новых элементов к действительным числам подход Нельсона модифицирует аксиоматические основы посредством синтаксического обогащения. Таким образом, аксиомы вводят новый термин «стандарт», который может быть использован для того, чтобы сделать различия невозможными в соответствии с обычными аксиомами для множеств . Таким образом, IST является дополнением ZFC : все аксиомы ZFC удовлетворяются для всех классических предикатов, в то время как новый унарный предикат «стандартный» удовлетворяет трем дополнительным аксиомам I, S и T. В частности, подходящие нестандартные элементы в пределах множества реальных Можно показать, что числа имеют свойства, соответствующие свойствам бесконечно малых и неограниченных элементов.

Формулировка Нельсона сделана более доступной для математика-непрофессионала, поскольку в ней не учитываются многие сложности метаматематической логики , которые изначально требовались для строгого обоснования непротиворечивости систем счисления, содержащих бесконечно малые элементы.

Интуитивное обоснование

Хотя IST имеет совершенно формальную аксиоматическую схему, описанную ниже, желательно интуитивное обоснование значения термина « стандарт» . Это не часть формальной теории, а педагогический прием, который может помочь студенту интерпретировать формализм. Существенное различие, подобное концепции определимых чисел , противопоставляет конечность области понятий, которую мы можем определить и обсудить, с неограниченной бесконечностью множества чисел; сравните финитизм .

• Количество символов, которыми пишется, конечно.
• Количество математических символов на любой странице конечно.
• Количество страниц математики, которое один математик может создать за всю жизнь, конечно.
• Любое работающее математическое определение обязательно конечно.
• Есть только конечное число различных объектов, которые математик может определить за свою жизнь.
• В ходе нашей (предположительно конечной) цивилизации будет лишь конечное число математиков.
• Следовательно, существует только конечный набор целых чисел, которые наша цивилизация может обсуждать за отведенный ей срок жизни.
• Что это за предел на самом деле, нам неизвестно, поскольку оно зависит от многих случайных культурных факторов.
• Это ограничение само по себе не поддается математической проверке, но то, что существует такой предел, в то время как набор целых чисел продолжается вечно без ограничений, является математической истиной.

Таким образом, термин « стандарт» интуитивно понимается как соответствующий некоторой обязательно конечной части «доступных» целых чисел. Аргумент может быть применен к любому бесконечному набору объектов - есть только определенное количество элементов, которые можно определить за конечное время, используя конечный набор символов, и всегда есть те, которые выходят за пределы нашего терпения и выносливости, неважно. как мы настойчивы. Мы должны признать наличие множества нестандартных элементов - слишком больших или слишком анонимных для понимания - в любом бесконечном множестве.

Принципы стандартного предиката

Следующие принципы вытекают из вышеупомянутой интуитивной мотивации и поэтому должны быть выведены из формальных аксиом. На данный момент мы принимаем предмет обсуждения как знакомый набор целых чисел.

• Любое математическое выражение, которое не использует явно или неявно новый стандарт предикатов, является внутренней формулой .
• Любое определение, которое делает это, является внешней формулой .
• Любое число, однозначно заданное внутренней формулой, является стандартным (по определению).
• Нестандартные числа - это именно те числа, которые не могут быть однозначно указаны (из-за ограничений времени и пространства) внутренней формулой.
• Нестандартные числа неуловимы: каждое из них слишком велико, чтобы им можно было управлять в десятичной системе счисления или в любом другом представлении, явном или неявном, независимо от того, насколько изобретательны ваши обозначения. Все, что вам удастся произвести, по определению является просто еще одним стандартным числом.
• Тем не менее в любом бесконечном подмножестве N есть (много) нестандартных целых чисел .
• Нестандартные числа - это вполне обычные числа, имеющие десятичное представление, разложение на простые множители и т. Д. Все классические теоремы, применимые к натуральным числам, применимы и к нестандартным натуральным числам. Мы создали не новые числа, а новый метод различения существующих чисел.
• Более того, любая классическая теорема, верная для всех стандартных чисел, обязательно верна для всех натуральных чисел. В противном случае формулировка «наименьшее число, которое не удовлетворяет теореме» была бы внутренней формулой, однозначно определяющей нестандартное число.
• Предикат «нестандартный» - это логически непротиворечивый метод различения больших чисел - обычный термин будет ограничен . Взаимные значения этих неограниченных чисел обязательно будут чрезвычайно маленькими действительными числами - бесконечно малыми . Чтобы избежать путаницы с другими интерпретациями этих слов, в новых статьях на IST эти слова заменены конструкциями «i-large» и «i-small».
• Обязательно существует только конечное число стандартных чисел, но требуется осторожность: мы не можем собрать их вместе и считать, что результат является четко определенным математическим набором. Это не будет подтверждено формализмом (интуитивное обоснование состоит в том, что точные границы этого набора меняются со временем и историей). В частности, мы не сможем говорить о самом большом стандартном номере или самом маленьком нестандартном числе. Будет справедливо говорить о некотором конечном множестве, содержащем все стандартные числа, но эта неклассическая формулировка может применяться только к нестандартному множеству.

Формальные аксиомы для IST

IST - это аксиоматическая теория в логике первого порядка с равенством на языке, содержащем двоичный символ предиката ∈ и унарный символ предиката st ( x ). Формулы, не содержащие st (т. Е. Формулы обычного языка теории множеств), называются внутренними, другие формулы - внешними. Мы используем сокращения

${\ Displaystyle {\ begin {align} \ exists ^ {\ mathrm {st}} x \, \ phi (x) & = \ exists x \, (\ operatorname {st} (x) \ land \ phi (x) ), \\\ forall ^ {\ mathrm {st}} x \, \ phi (x) & = \ forall x \, (\ operatorname {st} (x) \ to \ phi (x)). \ end { выровнен}}}$

IST включает в себя все аксиомы теории множеств Цермело – Френкеля с аксиомой выбора (ZFC). Обратите внимание , что ZFC схема из разделения и замен являются не распространяется на новом язык, они могут быть использованы только с внутренними формулами. Кроме того, IST включает в себя три новых аксиомы схем - удобно одному для каждой буквы в имени: I dealisation, S tandardisation и T ransfer.

I : Идеализация

• Для любой внутренней формулы без свободного появления z универсальное замыкание следующей формулы является аксиомой: ${\ displaystyle \ phi}$

  ${\ Displaystyle \ forall ^ {\ mathrm {st}} z \, (z {\ text {конечен}} \ to \ exists y \, \ forall x \ in z \, \ phi (x, y, u_ { 1}, \ dots, u_ {n})) \ leftrightarrow \ exists y \, \ forall ^ {\ mathrm {st}} x \, \ phi (x, y, u_ {1}, \ dots, u_ {n) }).}$

• На словах: для каждого внутреннего отношения R и для произвольных значений для всех других свободных переменных мы имеем, что если для каждого стандартного конечного множества F существует g такой, что R ( g ,  f ) выполняется для всех f в F , то есть конкретный G такое , что для любого стандарта F мы имеем R ( G ,  F ), и , наоборот, если существует G таких , что для любого стандартного F , мы имеем R ( G ,  F ), то для каждого конечного множества F , существует г такое , что Р ( г ,  е ) справедливо для всех F в F .

Утверждение этой аксиомы включает два следствия. Импликация справа налево может быть переформулирована простым утверждением, что элементы стандартных конечных множеств стандартны. Более важная импликация слева направо выражает, что совокупность всех стандартных множеств содержится в конечном (нестандартном) множестве, и, более того, это конечное множество может быть взято таким, чтобы удовлетворять любому заданному внутреннему свойству, общему для всех стандартных конечных множеств.

Эта очень общая схема аксиом поддерживает существование «идеальных» элементов в соответствующих обстоятельствах. Три конкретных приложения демонстрируют важные последствия.

Применительно к отношению ≠

Если S является стандартным и конечным, мы принимаем для отношения R ( г ,  ф ): г и е не равны и г в S . Поскольку « Для каждого стандартного конечного множества F существует элемент g в S такой, что g ≠ f для всех f в F » является ложным (такого g не существует, когда F = S ), мы можем использовать Идеализацию, чтобы сказать нам, что « Существует a G в S такое, что G ≠ f для всех стандартных f "также ложно, т. е. все элементы S стандартные.

Если S бесконечно, то мы возьмем для отношения R ( г ,  ф ): г и е не равны и г в S . Поскольку « Для каждого стандартного конечного множества F существует элемент g в S такой, что g ≠ f для всех f в F » (бесконечное множество S не является подмножеством конечного множества F ), мы можем использовать Идеализацию для вывода « Там является группой G в S, такой что G ≠ f для всех стандартных f . " Другими словами, каждое бесконечное множество содержит нестандартный элемент (на самом деле много).

Набор мощности стандартного конечного множества является стандартным (посредством Transfer) и конечным, поэтому все подмножества стандартного конечного набора являются стандартными.

Если S является нестандартным, мы принимаем для отношения R ( г ,  ф ): г и е не равны и г в S . Поскольку « Для каждого стандартного конечного множества F существует элемент g в S такой, что g ≠ f для всех f в F » (нестандартное множество S не является подмножеством стандартного и конечного множества F ), мы можем использовать Идеализацию для вывода « В S существует такая группа G, что G ≠ f для всех стандартных f». Другими словами, каждое нестандартное множество содержит нестандартный элемент.

Как следствие всех этих результатов, все элементы множества S стандартны тогда и только тогда, когда S стандартно и конечно.

Применительно к отношению <

Поскольку « Для каждого стандартного конечного набора натуральных чисел F существует натуральное число g такое, что g> f для всех f в F » - скажем, g = maximum ( F ) + 1, - мы можем использовать идеализацию для вывода « Существует натуральное число G такое, что G> f для всех стандартных натуральных чисел f . " Другими словами, существует натуральное число, большее, чем каждое стандартное натуральное число.

Применительно к отношению ∈

Точнее, в качестве R ( g ,  f ) возьмем : g - конечное множество, содержащее элемент f . Так как « Для каждого стандартного конечного множества F существует конечное множество g такое, что f ∈ g для всех f в F » - скажем, выбрав сам g = F - мы можем использовать идеализацию для вывода « Существует конечное множество G такое что f ∈ G для всех стандартных f . " Для любого множества S , пересечение S с множеством G конечное подмножество S , который содержит каждый стандартный элемент S . G обязательно нестандартный.

S: Стандартизация

• Если есть любая формула (она может быть внешней) без свободного вхождения y , универсальное замыкание ${\ displaystyle \ phi}$

  ${\ displaystyle \ forall ^ {\ mathrm {st}} x \, \ exists ^ {\ mathrm {st}} y \, \ forall ^ {\ mathrm {st}} t \, (t \ in y \ leftrightarrow ( t \ in x \ land \ phi (t, u_ {1}, \ dots, u_ {n})))}$

это аксиома.

• На словах: Если стандартный набор и Р любого свойство, внутренний или иным образом , то существует единственное, стандартное подмножество B из A , стандартные элементы являются именно стандартными элементами A , удовлетворяющими Р (но поведение B нестандартными «ы элементов не прописано).

T: передача

• Если это внутренняя формула без других свободных переменных, кроме указанных, то ${\ Displaystyle \ фи (х, и_ {1}, \ точки, и_ {п})}$

  ${\ displaystyle \ forall ^ {\ mathrm {st}} u_ {1} \ dots \ forall ^ {\ mathrm {st}} u_ {n} \, (\ forall ^ {\ mathrm {st}} x \, \ phi (x, u_ {1}, \ dots, u_ {n}) \ to \ forall x \, \ phi (x, u_ {1}, \ dots, u_ {n}))}$

это аксиома.

• На словах: если все параметры A , B , C , ..., W внутренней формулы F имеют стандартные значения, то F ( x , A , B , ..., W ) выполняется для всех x , как только это справедливо для всех стандартных x , из чего следует, что все однозначно определенные концепции или объекты в классической математике являются стандартными.

Формальное обоснование аксиом

Помимо интуитивных мотивов, предложенных выше, необходимо обосновать, что дополнительные аксиомы IST не приводят к ошибкам или несоответствиям в рассуждениях. Ошибки и философские слабости в рассуждениях о бесконечно малых числах в работах Готфрида Лейбница , Иоганна Бернулли , Леонарда Эйлера , Огюстена-Луи Коши и других были причиной того, что они изначально были оставлены в пользу более громоздких аргументов, основанных на реальных числах, разработанных Георгом Кантором. , Ричард Дедекинд и Карл Вейерштрасс , которые последователи Вейерштрасса считали более строгими.

Подход для внутренней теории множеств такой же, как и для любой новой аксиоматической системы - мы строим модель для новых аксиом, используя элементы более простой, более надежной схемы аксиом. Это очень похоже на обоснование непротиворечивости аксиом неевклидовой геометрии , отмечая, что они могут быть смоделированы соответствующей интерпретацией больших кругов на сфере в обычном трехмерном пространстве.

Фактически с помощью подходящей модели может быть дано доказательство относительной согласованности IST по сравнению с ZFC: если ZFC согласован, то IST согласован. Фактически, можно сделать более сильное утверждение: IST - это консервативное расширение ZFC: любая внутренняя формула, которая может быть доказана в рамках внутренней теории множеств, может быть доказана в аксиомах Цермело – Френкеля только с помощью Аксиомы выбора.

Связанные теории

Связанные с этим теории были разработаны Карелом Хрбачеком и другими.

Ноты

Ссылки

• Роберт, Ален (1985). Нестандартный анализ . Джон Вили и сыновья. ISBN  0-471-91703-6 .
• Внутренняя теория множеств , глава незаконченной книги Нельсона.