Спектр C * -алгебры - Spectrum of a C*-algebra

В математике спектр C * -алгебра или сопряженная С * -алгеброй , обозначается Â , есть множество унитарных эквивалентности классов неприводимых * -представления А . * -Представление π из А на гильбертовом пространстве H является неприводимым , если, и только если, не существует замкнутое подпространство К отличается от H и {0}, инвариантное относительно всех операторов П ( х ) с х ∈ . Мы неявно предполагаем , что неприводимое представление означает непустое неприводимые представления, таким образом , исключая тривиальные (т.е. тождественно 0) представления на одно- мерных пространствах . Как поясняется ниже, спектр Â также естественно является топологическим пространством ; это похоже на понятие спектра кольца .

Одним из наиболее важных приложений этой концепции является предоставление понятия двойственного объекта для любой локально компактной группы . Этот двойственный объект подходит для формулировки преобразования Фурье и теоремы Планшереля для унимодулярных сепарабельных локально компактных групп типа I и теоремы о разложении для произвольных представлений сепарабельных локально компактных групп типа I. Однако полученная теория двойственности для локально компактных групп весьма слабее, чем теория двойственности Таннаки – Крейна для компактных топологических групп или двойственность Понтрягина для локально компактных абелевых групп, обе из которых являются полными инвариантами. То, что двойственный инвариант не является полным, легко увидеть, поскольку двойственный к любой конечномерной полной матричной алгебре M _n ( C ) состоит из одной точки.

Примитивный спектр

Топология в Â может быть определена несколькими эквивалентными способами. Сначала мы определим его в терминах примитивного спектра .

Примитивный спектр A - это набор примитивных идеалов Prim ( A ) A , где примитивный идеал - это ядро ​​неприводимого * -представления. Множество примитивных идеалов - это топологическое пространство с топологией ядро ​​оболочки (или топологией Джекобсона ). Это определяется следующим образом: если X - набор примитивных идеалов, то его замыкание ядра-оболочки равно

${\ displaystyle {\ overline {X}} = \ left \ {\ rho \ in \ operatorname {Prim} (A): \ rho \ supseteq \ bigcap _ {\ pi \ in X} \ pi \ right \}.}$

Замыкание ядра оболочки легко показать как идемпотентную операцию, т. Е.

${\ Displaystyle {\ overline {\ overline {X}}} = {\ overline {X}},}$

и можно показать, что оно удовлетворяет аксиомам замыкания Куратовского . Как следствие, можно показать , что существует уникальная топология τ на Прима ( А ) такое , что замыкание множества X относительно т совпадает с замыканием Халл ядра из X .

Поскольку унитарно эквивалентные представления имеют одно и то же ядро, отображение π ↦ ker (π) пропускается через сюръективное отображение

${\ displaystyle \ operatorname {k}: {\ hat {A}} \ to \ operatorname {Prim} (A).}$

Мы используем отображение k, чтобы определить топологию на Â следующим образом:

Определение . Открытые множества Â являются прообразами k ⁻¹ ( U ) открытых подмножеств U в Prim ( A ). Это действительно топология.

Топология оболочка-ядро является аналогом некоммутативных колец топологии Зарисского для коммутативных колец.

Топология Â индуцируется из топологии Халл ядра имеет другие характеристики в терминах состояний из A .

Примеры

Коммутативные C * -алгебры

Трехмерная коммутативная C * -алгебра и ее идеалы. Каждый из 8 идеалов соответствует замкнутому подмножеству дискретного 3-точечного пространства (или открытому дополнению). Примитивные идеалы соответствуют замкнутым синглетонам . См. Подробности на странице описания изображения.

Спектр коммутативной С * -алгебры А совпадает со спектром, двойственным по Гельфанду к А (не путать с двойственным А ' к банахову пространству А ). В частности, пусть X - компактное хаусдорфово пространство . Тогда существует естественный гомеоморфизм

${\ displaystyle \ operatorname {I}: X \ cong \ operatorname {Prim} (\ operatorname {C} (X)).}$

Это отображение определяется

${\ displaystyle \ operatorname {I} (x) = \ {f \ in \ operatorname {C} (X): f (x) = 0 \}.}$

I ( x ) - замкнутый максимальный идеал в C ( X ), поэтому он фактически примитивен. Подробности доказательства см. В справочнике Диксмье. Для коммутативной C * -алгебры

${\ displaystyle {\ hat {A}} \ cong \ operatorname {Prim} (A).}$

C * -алгебра ограниченных операторов

Пусть H - сепарабельное бесконечномерное гильбертово пространство . L ( H ) имеет два замкнутых по норме * -идеалов: I ₀  = {0} и идеал K  =  K ( H ) компактных операторов. Таким образом, как множество, Prim ( L ( H )) = { I ₀ ,  K }. Сейчас

• { K } - замкнутое подмножество Prim ( L ( H )).
• Замыкание { I ₀ } - это Prim ( L ( H )).

Таким образом, Prim ( L ( H )) нехаусдорфово пространство.

С другой стороны, спектр L ( H ) намного больше. Существует много неэквивалентных неприводимых представлений с ядром K ( H ) или с ядром {0}.

Конечномерные C * -алгебры

Предположим, что A - конечномерная C * -алгебра. Известно, что A изоморфна конечной прямой сумме полных матричных алгебр:

${\ displaystyle A \ cong \ bigoplus _ {е \ in \ operatorname {min} (A)} Ae,}$

где мин ( ) являются минимальными центральными проекциями A . Спектр A канонически изоморфен min ( A ) с дискретной топологией . Для конечномерных C * -алгебр также имеет место изоморфизм

${\ displaystyle {\ hat {A}} \ cong \ operatorname {Prim} (A).}$

Другие характеристики спектра

Топологию оболочки-ядра легко описать абстрактно, но на практике для C * -алгебр, связанных с локально компактными топологическими группами , желательны другие характеристики топологии на спектре в терминах положительно определенных функций.

Фактически, топология на Â тесно связана с концепцией слабой локализации представлений, как показано в следующем:

Теорема . Пусть S - подмножество Â . Тогда следующие утверждения эквивалентны для неприводимого представления π;

1. Класс эквивалентности π в Â находится в замыкании S
2. Каждое состояние, ассоциированное с π, имеет вид

${\ Displaystyle е _ {\ xi} (x) = \ langle \ xi \ mid \ pi (x) \ xi \ rangle}$

с || ξ || = 1, является слабым пределом состояний , связанных с представлениями в S .

Второе условие означает точно , что π слабо содержится в S .

Строительство ГНСА рецепт для связывания состояний С * -алгеброй представления А . Согласно одной из основных теорем, связанных с конструкцией GNS, состояние f является чистым тогда и только тогда, когда ассоциированное представление π _f неприводимо. Более того, отображение κ: PureState ( A ) → Â, определенное посредством f ↦ π _f, является сюръективным отображением.

Из предыдущей теоремы легко доказать следующее;

Теорема Отображение

${\ displaystyle \ kappa: \ operatorname {PureState} (A) \ to {\ hat {A}}}$

заданная конструкцией GNS непрерывна и открыта.

Пространство Irr _n ( A )

Существует еще одна характеристика топологии на Â, которая возникает при рассмотрении пространства представлений как топологического пространства с подходящей топологией поточечной сходимости. Точнее, пусть n - кардинальное число, а H _n - каноническое гильбертово пространство размерности n .

Irr _n ( A ) - пространство неприводимых * -представлений A на H _n с точечно-слабой топологией. С точки зрения сходимости сетей эта топология определяется следующим образом: π _i → π; если и только если

${\ Displaystyle \ langle \ pi _ {i} (x) \ xi \ mid \ eta \ rangle \ to \ langle \ pi (x) \ xi \ mid \ eta \ rangle \ quad \ forall \ xi, \ eta \ in H_ {n} \ x \ in A.}$

Оказывается, эта топология на Irr _n ( A ) совпадает с точечно-сильной топологией, т.е. π _i → π тогда и только тогда, когда

${\ displaystyle \ pi _ {i} (x) \ xi \ to \ pi (x) \ xi \ quad {\ mbox {normwise}} \ forall \ xi \ in H_ {n} \ x \ in A.}$

Теорема . Пусть Â _n - подмножество Â, состоящее из классов эквивалентности представлений, лежащее в основе гильбертово пространство размерности n . Каноническое отображение Irr _n ( A ) → Â _n непрерывно и открыто. В частности, Â _n можно рассматривать как фактор-топологическое пространство Irr _n ( A ) при унитарной эквивалентности.

Замечание . Соединение различных Â _n может быть довольно сложным.

Структура Макки – Бореля.

 является топологическим пространством, поэтому его также можно рассматривать как борелевское . Известная гипотеза Г. Макки предполагала, что сепарабельная локально компактная группа имеет тип I тогда и только тогда, когда борелевское пространство стандартно, т. Е. Изоморфно (в категории борелевских пространств) основному борелевскому пространству полного сепарабельного метрического пространства. . Макки назвал борелевские пространства с этим свойством гладкими . Эта гипотеза была доказана Джеймсом Глиммом для сепарабельных C * -алгебр в статье 1961 г., указанной в приведенной ниже литературе.

Определение . Невырожденное * -представление π сепарабельной C * -алгебры A является факторным тогда и только тогда, когда центр алгебры фон Неймана, порожденный π ( A ), одномерный. AC * -алгебра A имеет тип I тогда и только тогда, когда любое сепарабельное фактор-представление A является конечным или счетным кратным неприводимого.

Примерами сепарабельных локально компактных групп G таких, что C * ( G ) имеет тип I, являются связные (вещественные) нильпотентные группы Ли и связные вещественные полупростые группы Ли. Таким образом, все группы Гейзенберга относятся к типу I. Компактные и абелевы группы также относятся к типу I.

Теорема . Если A отделимо, Â гладко тогда и только тогда, когда A имеет тип I.

Результат влечет за собой далеко идущее обобщение структуры представлений IC * -алгебр сепарабельного типа и, соответственно, сепарабельных локально компактных групп типа I.

Алгебраические примитивные спектры

Так как C * -алгебра является кольцо , мы можем также рассмотреть множество примитивных идеалов в А , где считается алгебраически. Для кольца идеал примитивен тогда и только тогда , когда это аннуляторное из простого модуля . Оказывается, что для C * -алгебры A идеал алгебраически примитивен тогда и только тогда, когда он примитивен в определенном выше смысле.

Теорема . Пусть A - C * -алгебра. Любое алгебраически неприводимое представление A в комплексном векторном пространстве алгебраически эквивалентно топологически неприводимому * -представлению в гильбертовом пространстве. Топологически неприводимые * -представления в гильбертовом пространстве алгебраически изоморфны тогда и только тогда, когда они унитарно эквивалентны.

Это следствие теоремы 2.9.5 из справочника Диксмье.

Если G - локально компактная группа, топология на сопряженном пространстве групповой C * -алгебры C * ( G ) группы G называется топологией Фелла , названной в честь Дж . М. Г. Фелла .

Ссылки

• Ж. Диксмье, Les C * -algèbres et leurs , Готье-Виллар, 1969.
• Дж. Глим, Тип IC * -алгебры , Annals of Mathematics, vol 73, 1961.
• Дж. Макки, Теория представлений групп , Издательство Чикагского университета, 1955.