Номер Харшада - Harshad number

В математике число харшада (или число Нивена ) в данной системе счисления является целым числом , которое делится на сумму своих цифр, записанных в этой базе. Числа харшад в базе $n$ также известны как числа $n-$ харшад (или $n-$ нивен ). Числа Харшада были определены Д. Р. Капрекаром , математиком из Индии . Слово «харшад» происходит от санскритского harṣa (радость) + da (давать), что означает дающий радость. Термин «число Нивена» возник из статьи, представленной Иваном М. Нивеном на конференции по теории чисел в 1977 году. Все целые числа от нуля до $n$ являются числами $n-$ харшада.

Определение

С математической точки зрения, пусть $X$ будет положительным целым числом с $m$ цифрами при записи по основанию $n$ , и пусть цифры будут ( ). (Отсюда следует, что оно должно быть либо нулем, либо положительным целым числом до .) $X$ может быть выражено как ${\ displaystyle a_ {i}}$ ${\ Displaystyle я = 0,1, \ ldots, м-1}$ ${\ displaystyle a_ {i}}$ ${\ displaystyle n-1}$

{\ displaystyle X = \ sum _ {i = 0} ^ {m-1} a_ {i} n ^ {i}.}

$X$ - число резкости по основанию $n,$ если:

{\ Displaystyle X \ Equiv 0 {\ bmod {\ sum _ {i = 0} ^ {m-1} a_ {i}}}.}

Число , которое является Харшад число в каждой системе счисления называется все-Харшад номер , или номер все-Нивен . Всего четыре харшадных числа: 1 , 2 , 4 и 6 ( 12 - харшадное число во всех основаниях, кроме восьмеричного ).

Примеры

Число 18 является числом харшад по основанию 10, потому что сумма цифр 1 и 8 равна 9 (1 + 8 = 9), а 18 делится на 9.
Число Харди – Рамануджана (1729) - это число харшада с основанием 10, так как оно делится на 19, сумму его цифр (1729 = 19 × 91).
Число 19 не является числом резкости по основанию 10, потому что сумма цифр 1 и 9 равна 10 (1 + 9 = 10), а 19 не делится на 10.
В базе 10 каждое натуральное число, выражаемое в форме 9R _n a _n , где число R _n состоит из n копий единственной цифры 1, n> 0, а a _n - положительное целое число, меньшее 10 ⁿ и кратное n. , - это жесткое число. (Р. Д'Амико, 2019). Число 9R ₃ a ₃ = 521478, где R ₃ = 111, n = 3 и a ₃ = 3 × 174 = 522, является числом харшада; фактически имеем: 521478 / (5 + 2 + 1 + 4 + 7 + 8) = 521478/27 = 19314.
Числа Харшада по основанию 10 образуют последовательность:
1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 , 10 , 12 , 18 , 20 , 21 , 24 , 27 , 30 , 36 , 40 , 42 , 45 , 48 , 50 , 54 , 60 , 63 , 70 , 72 , 80 , 81 , 84 , 90 , 100 , 102 , 108 , 110 , 111 , 112 , 114 , 117 , 120 , 126 , 132 , 133 , 135 , 140 , 144 , 150 , 152 , 153 , 156 , 162 , 171 , 180 , 190 , 192 , 195 , 198 , 200 , ... (последовательность A005349 в OEIS ).

Характеристики

Учитывая тест делимости на 9 , один может возникнуть соблазн обобщить , что все числа , делящиеся на 9 также Харшад номер. Но для определения жесткости $n$ цифры $n$ можно сложить только один раз, и $n$ должно делиться на эту сумму; в противном случае это не суровое число. Например, 99 не является числом харшад, поскольку 9 + 9 = 18, а 99 не делится на 18.

Основное число (и, более того, его степени) всегда будет числом харшад в своей собственной основе, так как оно будет представлено как «10» и 1 + 0 = 1.

Все числа, сумма цифр по основанию b которых делит b −1, являются числами резкости с основанием b .

Чтобы простое число также было числом резкости, оно должно быть меньше или равно базовому числу, в противном случае цифры простого числа будут складываться в число, которое больше 1, но меньше простого числа, и не будет делимый. Например: 11 не является жестким по основанию 10, потому что сумма его цифр «11» равна 1 + 1 = 2, а 11 не делится на 2; в то время как в базе 12 число 11 может быть представлено как «Ɛ», сумма цифр которого также равна. Так как Ɛ делится само на себя, по основанию 12 оно сурово.

Хотя последовательность факториалов начинается с чисел харшада по основанию 10, не все факториалы являются числами харшада. 432! это первое, чего нет. (432! Имеет сумму цифр = 3897 = 3 ² × 433 по основанию 10, таким образом, 432 не делятся!)

Наименьшие $k$ такие, что является числом резкости, равны ${\ Displaystyle к \ cdot п}$

1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 10, 1, 9, 3, 2, 3, 6, 1, 6, 1, 1, 5, 9, 1, 2, 6, 1, 3, 9, 1, 12, 6, 4, 3, 2, 1, 3, 3, 3, 1, 10, 1, 12, 3, 1, 5, 9, 1, 8, 1, 2, 3, 18, 1, 2, 2, 2, 9, 9, 1, 12, 6, 1, 3, 3, 2, 3, 3, 3, 1, 18, 1, 7, 3, 2, 2, 4, 2, 9, 1, ... (последовательность A144261 в OEIS ).

Наименьшие $k$ , не являющиеся числом резкости, равны ${\ Displaystyle к \ cdot п}$

11, 7, 5, 4, 3, 11, 2, 2, 11, 13, 1, 8, 1, 1, 1, 1, 1, 161, 1, 8, 5, 1, 1, 4, 1, 1, 7, 1, 1, 13, 1, 1, 1, 1, 1, 83, 1, 1, 1, 4, 1, 4, 1, 1, 11, 1, 1, 2, 1, 5, 1, 1, 1, 537, 1, 1, 1, 1, 1, 83, 1, 1, 3, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 5, 1, 68, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, ... (последовательность A144262 в OEIS ).

Другие базы

Числа харшада в базе 12 :

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, ᘔ, Ɛ, 10, 1 ᘔ, 20, 29, 30, 38, 40, 47, 50, 56, 60, 65, 70, 74, 80, 83, 90, 92, 0, ᘔ 1, Ɛ0, 100, 10 ᘔ, 110, 115, 119, 120, 122, 128, 130, 134, 137, 146, 150, 153, 155, 164, 172, 173, 182, 191, 1 ᘔ 0, 1Ɛ0, 1Ɛᘔ, 200, ...

где ᘔ представляет десять, а Ɛ представляет одиннадцать.

Наименьшее $k$ такое, что является числом харшада по основанию 12 (записано с основанием 10): ${\ Displaystyle к \ cdot п}$

1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 12, 6, 4, 3, 10, 2, 11, 3, 4, 1, 7, 1, 12, 6, 4, 3, 11, 2, 11, 3, 1, 5, 9, 1, 12, 11, 4, 3, 11, 2, 11, 1, 4, 4, 11, 1, 16, 6, 4, 3, 11, 2, 1, 3, 11, 11, 11, 1, 12, 11, 5, 7, 9, 1, 7, 3, 3, 9, 11, 1, ...

Наименьшие $k$ такие, которые не являются числом харшада по основанию 12 (записываются с основанием 10): ${\ Displaystyle к \ cdot п}$

13, 7, 5, 4, 3, 3, 2, 2, 2, 2, 13, 16, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 157, 1, 8, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 13, 1, 1, 6, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 157, 1, 1, 1, 4, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 5, 1, 1, 1, 1, 4, 1, 1, 1, 1, 1, 1885, 1, 1, 1, 1, 1, 3, ...

Как и в случае с основанием 10, не все факториалы являются числами резкости с основанием 12. После 7! (= 5040 = 2Ɛ00 по основанию 12, сумма цифр 13 по основанию 12, а 13 не делит 7!), 1276! следующее, чего нет. (1276! Имеет сумму цифр = 14201 = 11 × 1291 по основанию 12, поэтому не делит 1276!)

Последовательные номера харшада

Максимальные серии последовательных номеров харшада

Купер и Кеннеди доказали в 1993 году, что никакое 21 последовательное целое число не является целым числом с жестким основанием 10. Они также построили бесконечное множество наборов из 20 последовательных целых чисел, которые являются 10-значными числами, наименьшее из которых превышает 10 ^44363342786 .

Г. Г. Грундман ( 1994 ) расширил результат Купера и Кеннеди, чтобы показать, что существует 2 b, но не 2 b + 1 последовательных числа b -аршад. Этот результат был усилен , чтобы показать , что существует бесконечное множество пробеги 2 б последовательных б -harshad чисел для Ь = 2 или 3 по Т. Cai ( тысячу девятьсот девяносто-шесть ) и для произвольного б по Brad Wilson в 1997 году.

Таким образом, в двоичной системе существует бесконечно много серий из четырех последовательных чисел харшада, а в троичной системе - бесконечно много серий из шести.

В общем, такие максимальные последовательности идут от N · b ^k - b до N · b ^k + ( b - 1), где b - основание, k - относительно большая степень, а N - константа. Имея одну такую подходяще выбранную последовательность, мы можем преобразовать ее в более крупную следующим образом:

Вставка нулей в N не изменит последовательность цифровых сумм (точно так же, как 21, 201 и 2001 - все 10-харшадные числа).
Если мы вставим n нулей после первой цифры α (значение αb ⁱ ), мы увеличим значение N на αb ⁱ ( b ⁿ - 1).
Если мы можем гарантировать, что b ⁿ - 1 делится на все суммы цифр в последовательности, то делимость на эти суммы сохраняется.
Если наша начальная последовательность выбрана так, что суммы цифр взаимно просты с b , мы можем решить b ⁿ = 1 по модулю всех этих сумм.
Если это не так, но часть суммы каждой цифры, не взаимно простой с b, делит αb ⁱ , то делимость все равно сохраняется.
(Недоказано) Исходная последовательность выбрана.

Таким образом, наша исходная последовательность дает бесконечный набор решений.

Первые прогоны ровно $n$ последовательных 10-значных чисел

Самые маленькие натуралы начиная пробеги точно $п$ последовательных 10-Харшад чисел (т.е. наималейшего $х$ таким образом, что являются Харшадом номер , но и не являются) следующими (последовательность A060159 в OEIS ): ${\ Displaystyle х, х + 1, \ cdots, х + п-1}$ ${\ displaystyle x-1}$ ${\ Displaystyle х + п}$

$п$	1	2	3	4	5
$Икс$	12	20	110	510	131 052
$п$	6	7	8	9	10
$Икс$	12 751 220	10 000 095	2 162 049 150	124 324 220	1
$п$	11	12	13	14	15
$Икс$	920 067 411 130 599	43 494 229 746 440 272 890	121 003 242 000 074 550 107 423 034 × 10 ²⁰ - 10	420 142 032 871 116 091 607 294 × 10 ⁴⁰ - 4	неизвестный
$п$	16	17	18	19	20
$Икс$	50 757 686 696 033 684 694 106 416 498 959 861 492 × 10 ²⁸⁰ - 9	14 +107 593 985 876 По 801 556 467 795 907 102 490 773 681 × 10 ²⁸⁰ - 10	неизвестный	неизвестный	неизвестный

Согласно предыдущему разделу, такого $x не$ существует для . ${\ displaystyle n> 20}$

Оценка плотности чисел резкости

Если мы позволим обозначить количество чисел харшада , то для любого заданного , ${\ Displaystyle N (х)}$ ${\ displaystyle \ leq x}$ ${\ displaystyle \ epsilon> 0}$

{\ Displaystyle х ^ {1- \ varepsilon} \ ll N (x) \ ll {\ frac {x \ log \ log x} {\ log x}}}

как показано Жан-Мари Де Конинк и Николя Дойон; кроме того, Де Конинк, Дойон и Катаи доказали, что

{\ Displaystyle N (х) = (с + о (1)) {\ гидроразрыва {x} {\ log x}},}

где и термин использует Big O нотацию . ${\ displaystyle c = (14/27) \ log 10 \ приблизительно 1,1939}$ ${\ Displaystyle о (1)}$

Нивенморфные числа

Номер Nivenmorphic или harshadmorphic номер для данной системы счисления представляет собой целое число $т$ такое , что существует некоторое Харшад число $N$ , чья цифра сумма является $т$ , и $т$ , написанный в этой базе, заканчивается $Н$ написано в одной и той же базе.

Например, 18 - это нивенморфное число по основанию 10:

 16218 is a harshad number
 16218 has 18 as digit sum
    18 terminates 16218

Сандро Боскаро определил, что для основания 10 все положительные целые числа являются нивенморфными числами, кроме 11 . Фактически, для четного целого числа n > 1 все положительные целые числа, кроме n +1, являются нивенморфными числами для основания n , а для нечетного целого числа n > 1 все положительные целые числа являются нивенморфными числами для основания n . например, нивенморфные числа в базе 12 - это OEIS : A011760 (все положительные целые числа, кроме 13).

Наименьшее число с базой 10 цифр, сумма n и завершение n, записанное в базе 10: (0, если такого числа не существует)

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 910, 0, 912, 11713, 6314, 915, 3616, 15317, 918, 17119, 9920, 18921, 9922, 82823, 19824, 9925, 46826, 18927, 18928, 78329, 99930, 585931, 388832, 1098933, 198934, 289835, 99936, 99937, 478838, 198939, 1999840, 2988941, 2979942, 2979943, 999944, 999945, 4698946, 4779947, 29950988 ... (последовательность A187924 в OEIS )

Несколько номеров харшада

Блум (2005) определяет множественное число харшада как число харшада, которое при делении на сумму его цифр дает другое число харшада. Он заявляет, что номер 6804 является "MHN-4" на том основании, что

{\ displaystyle {\ begin {align} 6804/18 & = 378 \\ 378/18 & = 21 \\ 21/3 & = 7 \\ 7/7 & = 1 \ end {align}}}

(это не MHN-5 с тех пор , но 1 не является "другим" номером харшада) ${\ displaystyle 1/1 = 1}$

и продолжил показывать, что 2016502858579884466176 - это MHN-12. Число 10080000000000 = 1008 · 10 ¹⁰ , что меньше, также является MHN-12. В общем, 1008 · 10 ⁿ - это MHN- ( n +2).

использованная литература

внешние ссылки

Вайсштейн, Эрик В. «Число Харшада» . MathWorld .

Languages

In other projects

Номер Харшада - Harshad number

СОДЕРЖАНИЕ

Определение

Примеры

Характеристики

Другие базы

Последовательные номера харшада

Максимальные серии последовательных номеров харшада

Первые прогоны ровно $n$ последовательных 10-значных чисел

Оценка плотности чисел резкости

Нивенморфные числа

Несколько номеров харшада

использованная литература

внешние ссылки

Languages

In other projects

Номер Харшада - Harshad number

Определение

Примеры

Характеристики

Другие базы

Последовательные номера харшада

Максимальные серии последовательных номеров харшада

Первые прогоны ровно n последовательных 10-значных чисел

Оценка плотности чисел резкости

Нивенморфные числа

Несколько номеров харшада

использованная литература

внешние ссылки

Первые прогоны ровно $n$ последовательных 10-значных чисел