Экзотический R ⁴ - Exotic R⁴

В математике , экзотическое является дифференцируемое многообразие , который гомеоморфно , но не диффеоморфно в евклидовом пространстве Первые примеры были найдены в 1982 году Майкл Фридман и другие, используя контраст между теоремами Фридмана о топологических 4-многообразий, и Саймон Дональдсон «с теоремы о гладких 4-многообразиях. Существует континуум из недиффеоморфных дифференцируемых структур на как было показано сначала Клиффорд Таубс . ${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {4}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {4}.}$${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {4},}$

До этой конструкции  уже было известно о существовании недиффеоморфных гладких структур на сферах - экзотических сферах , хотя вопрос о существовании таких структур для частного случая 4-сферы оставался открытым (и остается открытым по состоянию на 2021 год. ). Для любого натурального n, отличного от 4, нет экзотических гладких структур на, другими словами, если n ≠ 4, то любое гладкое многообразие, гомеоморфное, диффеоморфно ${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {n};}$${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {п}}$${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}.}$

Маленькая экзотика R ⁴ s

Экзотическое явление называется малым, если его можно плавно вложить как открытое подмножество стандарта. ${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {4}}$${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {4}.}$

Малый экзотический может быть построены, начиная с нетривиальным гладким 5-мерной ч - кобордизмам (которая существует при доказательстве Дональдсона , что ч -cobordism теоремы терпит неудачу в этом измерении) и используя теорему Фридмана , что топологический ч -cobordism теорема справедлива и в этом измерение. ${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {4}}$

Большая экзотика R ⁴ s

Экзотическое явление называется большим, если оно не может быть плавно вложено как открытое подмножество стандарта. ${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {4}}$${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {4}.}$

Примеры большой экзотики могут быть построены с использованием того факта, что компактные 4-многообразия часто могут быть разбиты в виде топологической суммы (по работе Фридмана), но не могут быть разбиты в виде гладкой суммы (по работе Дональдсона). ${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {4}}$

Майкл Хартли Фридман и Лоуренс Р. Тейлор ( 1986 ) показали, что существует максимальная экзотика, в которую все остальные могут быть плавно вложены как открытые подмножества. ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {4},}$${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {4}}$

Связанные экзотические сооружения

Ручки Кассона гомеоморфны по теореме Фридмана (где - замкнутый единичный круг), но из теоремы Дональдсона следует, что не все они диффеоморфны. Другими словами, некоторые ручки Кассона экзотичны. ${\ Displaystyle \ mathbb {D} ^ {2} \ times \ mathbb {R} ^ {2}}$${\ Displaystyle \ mathbb {D} ^ {2}}$${\ displaystyle \ mathbb {D} ^ {2} \ times \ mathbb {R} ^ {2}.}$${\ displaystyle \ mathbb {D} ^ {2} \ times \ mathbb {R} ^ {2}.}$

Неизвестно (по состоянию на 2021 год), существуют ли экзотические 4-сферы; такая экзотическая 4-сфера была бы контрпримером к гладкой обобщенной гипотезе Пуанкаре в размерности 4. Некоторые правдоподобные кандидаты даны поворотами Глюка .

Смотрите также

• Пробка Акбулут - инструмент, используемый для конструирования экзотических предметов из уроков в ${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {4}}$${\ Displaystyle Н ^ {3} (S ^ {3}, \ mathbb {R})}$
• Атлас (топология)

Заметки

Рекомендации

• Фридман, Майкл Х .; Куинн, Фрэнк (1990). Топология 4-многообразий . Принстонский математический ряд. 39 . Принстон, Нью-Джерси: Издательство Принстонского университета. ISBN   0-691-08577-3 . CS1 maint: обескураженный параметр ( ссылка )
• Фридман, Майкл Х .; Тейлор, Лоуренс Р. (1986). «Универсальное сглаживание четырехмерного пространства» . Журнал дифференциальной геометрии . 24 (1): 69–78. DOI : 10.4310 / JDG / 1214440258 . ISSN   0022-040X . Руководство по ремонту   0857376 .
• Кирби, Робион С. (1989). Топология 4-многообразий . Конспект лекций по математике. 1374 . Берлин: Springer-Verlag. ISBN   3-540-51148-2 .
• Скорпан, Александру (2005). Дикий мир 4-многообразий . Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество. ISBN   978-0-8218-3749-8 .
• Столлингс, Джон (1962). «Кусочно-линейная структура евклидова пространства» . Proc. Cambridge Philos. Soc . 58 (3): 481–488. Bibcode : 1962PCPS ... 58..481S . DOI : 10.1017 / s0305004100036756 . Руководство по ремонту 0149457
• Гомпф, Роберт Э .; Стипсич, Андраш И. (1999). 4-многообразия и исчисление Кирби . Аспирантура по математике . 20 . Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество. ISBN   0-8218-0994-6 .
• Таубс, Клиффорд Генри (1987). «Калибровочная теория на асимптотически периодических 4-многообразиях» . Журнал дифференциальной геометрии . 25 (3): 363–430. DOI : 10.4310 / JDG / 1214440981 . Руководство по ремонту   0882829 . ПЭ   1214440981 .