Теория исключения - Elimination theory

В коммутативной алгебре и алгебраической геометрии , теория элиминации является классическим названием алгоритмических подходов к устранению некоторым переменных между многочленами от нескольких переменных, для решения систем полиномиальных уравнений .

Классическая теория ликвидации завершились работы Фрэнсиса Sowerby Маколея на многомерные результирующих , и его описание в главе Elimination теории первого издания (1930) от Ван дер Варден «s Moderne алгебры . После этого теория исключения игнорировалась большинством алгебраических геометров в течение почти тридцати лет, пока не были введены новые методы решения полиномиальных уравнений, такие как базисы Грёбнера , которые были необходимы для компьютерной алгебры .

История и связь с современными теориями

Область теории исключения была мотивирована потребностью в методах решения систем полиномиальных уравнений .

Одним из первых результатов была теорема Безу , которая ограничивает количество решений (в случае двух многочленов от двух переменных во время Безу).

За исключением теоремы Безу, общий подход заключался в устранении переменных для сведения проблемы к одному уравнению с одной переменной.

Случай линейных уравнений был полностью решен методом исключения Гаусса , где старый метод правила Крамера не предусматривает исключения и работает только тогда, когда количество уравнений равно количеству переменных. В течение 19 - го века, это было распространено на линейные диофантовых уравнения и абелевой группу с Эрмитом нормальной формой и нормальной формой Смита .

До 20 века были введены различные типы элиминантов , включая результирующие , и различные виды дискриминантов . В общем, эти элиминанты также инвариантны и также являются фундаментальными в теории инвариантов .

Все эти концепции эффективны в том смысле, что их определение включает метод вычисления. Примерно в 1890 году Дэвид Гильберт представил неэффективные методы, и это было воспринято как революция, которая побудила большинство алгебро-геометров первой половины 20 века попытаться «устранить исключение». Тем не менее Nullstellensatz Гильберта можно считать принадлежащим теории исключения, поскольку он утверждает, что система полиномиальных уравнений не имеет никакого решения тогда и только тогда, когда можно исключить все неизвестные для получения 1.

Кульминацией теории исключения стали работы Леопольда Кронекера и, наконец, Маколея , который ввел многомерные и U-результативные , предлагая методы полного исключения для систем полиномиальных уравнений, которые были описаны в главе Теория исключения первых изданий (1930). из ван дер Вардена Moderne алгебры .

После этого теория исключения считалась устаревшей, исключена из следующих изданий современной алгебры и, как правило, игнорировалась до появления компьютеров и, в частности, компьютерной алгебры , которые поставили проблему разработки алгоритмов исключения, достаточно эффективных для реализуется. Основными методами обновления теории исключения являются базисы Гребнера и цилиндрическое алгебраическое разложение , которые были введены примерно в 1970 году.

Связь с логикой

Как видно из проблемы логической выполнимости , в теории исключения есть и логический аспект . В худшем случае, по-видимому, трудно исключить переменные с помощью вычислений. Исключение квантора - это термин, используемый в математической логике для объяснения того, что в некоторых теориях каждая формула эквивалентна формуле без квантора. Так обстоит дело с теорией многочленов над алгебраически замкнутым полем , где теорию исключения можно рассматривать как теорию методов, позволяющих сделать исключение кванторов алгоритмически эффективным. Исключение кванторов над вещественными числами - еще один пример, который является фундаментальным в вычислительной алгебраической геометрии .

Смотрите также

• Алгоритм Бухбергера
• Результирующий
• Треугольное разложение
• Основная теорема теории исключения

Рекомендации

• Израиль Гельфанд , Михаил Капранов, Андрей Зелевинский , Дискриминанты, результирующие и многомерные детерминанты . Математика: теория и приложения. Birkhäuser Boston, Inc., Бостон, Массачусетс, 1994. x + 523 стр. ISBN  0-8176-3660-9
• Ланг, Серж (2002), Алгебра , Тексты для выпускников по математике , 211 (пересмотренное третье изд.), Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-95385-4, MR  1878556
• Дэвид Кокс, Джон Литтл, Донал О'Ши, Использование алгебраической геометрии . Второе переработанное издание. Тексты для выпускников по математике , т. 185. Springer-Verlag , 2005, xii + 558 pp., ISBN  978-0-387-20733-9.