Nullstellensatz Гильберта - Hilbert's Nullstellensatz

Гильберта о нулях (немецкий язык для «теоремы нулей» или более буквально, «нуль-локус-теорема» -см Сац ) является теорема, устанавливающая фундаментальную связь между геометрией и алгеброй . Эти отношения лежат в основе алгебраической геометрии , раздела математики . Он связывает алгебраические множества с идеалами в кольцах многочленов над алгебраически замкнутыми полями . Эта взаимосвязь была обнаружена Дэвидом Гильбертом, который доказал Nullstellensatz и несколько других важных связанных теорем, названных в его честь (например , теорема Гильберта о базисе ).

Формулировка

Пусть k - поле (например, рациональные числа ), а K - алгебраически замкнутое расширение поля (например, комплексные числа ). Рассмотрим кольцо многочленов, и пусть I - идеал в этом кольце. Алгебраическое множество V ( I ) , определяемый этот идеал состоит из всех п -кортежей х = ( х ₁ , ..., х _п ) в К ^п такой , что F ( х ) = 0 для всех F в I . Nullstellensatz Гильберта утверждает, что если p - некоторый многочлен от , равный нулю на алгебраическом множестве V ( I ), то есть p ( x ) = 0 для всех x в V ( I ), то существует натуральное число r такое, что p ^r находится в Я . ${\ Displaystyle к [X_ {1}, \ ldots, X_ {n}]}$${\ Displaystyle к [X_ {1}, \ ldots, X_ {n}]}$

Непосредственным следствием является слабый Nullstellensatz : идеал содержит 1 тогда и только тогда, когда многочлены из I не имеют общих нулей в K ⁿ . Его также можно сформулировать следующим образом: если I - собственный идеал в, то V ( I ) не может быть пустым , т. Е. Существует общий нуль для всех многочленов в идеале в каждом алгебраически замкнутом расширении k . Отсюда и название теоремы, которая легко может быть доказана из «слабой» формы с помощью трюка Рабиновича . Здесь существенно предположение о рассмотрении общих нулей в алгебраически замкнутом поле; например, элементы собственного идеала ( X ² + 1) в не имеют общего нуля в${\ Displaystyle I \ подмножество к [X_ {1}, \ ldots, X_ {n}]}$${\ Displaystyle к [X_ {1}, \ ldots, X_ {n}],}$${\ Displaystyle \ mathbb {R} [X]}$${\ displaystyle \ mathbb {R}.}$

Используя обозначения, общие для алгебраической геометрии, Nullstellensatz также можно сформулировать как

${\ Displaystyle {\ hbox {I}} ({\ hbox {V}} (J)) = {\ sqrt {J}}}$

для каждого идеала J . Здесь, обозначает радикал из J и I ( U ) является идеалом всех многочленов, обращающихся в нуль на множестве U . ${\ displaystyle {\ sqrt {J}}}$

Таким образом, мы получим порядка реверсирование взаимно однозначное соответствие между алгебраическими множествами в K ^н и радикальных идеалах в самом деле, в более общем случае , один имеет связь Галуа между подмножествами пространства и подмножествами алгебры, где " Зариский закрывающим "и" радикал порожденного идеала "- операторы замыкания . ${\ displaystyle K [X_ {1}, \ ldots, X_ {n}].}$

В качестве конкретного примера рассмотрим точку . Тогда . В более общем смысле, ${\ displaystyle P = (a_ {1}, \ dots, a_ {n}) \ in K ^ {n}}$${\ Displaystyle I (P) = (X_ {1} -a_ {1}, \ ldots, X_ {n} -a_ {n})}$

${\ displaystyle {\ sqrt {I}} = \ bigcap _ {(a_ {1}, \ dots, a_ {n}) \ in V (I)} (X_ {1} -a_ {1}, \ dots, X_ {n} -a_ {n}).}$

Наоборот, каждый максимальный идеал кольца многочленов (заметим, что он алгебраически замкнут) имеет форму для некоторого . ${\ Displaystyle К [X_ {1}, \ ldots, X_ {n}]}$${\ displaystyle K}$${\ displaystyle (X_ {1} -a_ {1}, \ ldots, X_ {n} -a_ {n})}$${\ displaystyle a_ {1}, \ ldots, a_ {n} \ in K}$

Другой пример: алгебраическое подмножество W в K ⁿ неприводимо (в топологии Зарисского) тогда и только тогда, когда оно является простым идеалом. ${\ Displaystyle I (W)}$

Доказательство и обобщение

Есть много известных доказательств теоремы. Одно доказательство использует лемму Зариской , которая утверждает , что если поле конечно порождено как ассоциативная алгебра над полем к , то есть конечное расширение поля от к (то есть, оно также конечно порождено как векторного пространство ). Вот набросок этого доказательства.

Пусть ( k алгебраически замкнутое поле), I - идеал A, а V - общие нули I в . Ясно, что . Пусть . Тогда для некоторого простого идеала в А . Пусть и максимальный идеал в . По лемме Зарисского, является конечным расширением k ; таким образом, является k, поскольку k алгебраически замкнуто. Позвольте быть изображениями под естественным отображением . Отсюда следует, что и . ${\ Displaystyle А = К [т_ {1}, \ ldots, т_ {п}]}$${\ Displaystyle к ^ {п}}$${\ Displaystyle {\ sqrt {I}} \ substeq I (V)}$${\ displaystyle f \ not \ in {\ sqrt {I}}}$${\ displaystyle f \ not \ in {\ mathfrak {p}}}$${\ Displaystyle {\ mathfrak {p}} \ supseteq I}$${\ Displaystyle R = (A / {\ mathfrak {p}}) [е ^ {- 1}]}$${\ displaystyle {\ mathfrak {m}}}$${\ displaystyle R}$${\ displaystyle R / {\ mathfrak {m}}}$${\ displaystyle x_ {i}}$${\ displaystyle t_ {i}}$${\ Displaystyle от А \ до к}$${\ displaystyle x = (x_ {1}, \ ldots, x_ {n}) \ in V}$${\ Displaystyle е (х) \ neq 0}$

Nullstellensatz также тривиально следует из систематического развития колец Джекобсона , в котором радикальный идеал является пересечением максимальных идеалов. Позвольте быть кольцо Джейкобсона. Если - конечно порожденная R -алгебра , то является кольцом Джекобсона. Далее, если является максимальным идеалом, то является максимальным идеалом кольца R и является конечным полем расширения поля . ${\ displaystyle R}$${\ displaystyle S}$${\ displaystyle S}$${\ Displaystyle {\ mathfrak {n}} \ подмножество S}$${\ displaystyle {\ mathfrak {m}}: = {\ mathfrak {n}} \ cap R}$${\ Displaystyle S / {\ mathfrak {п}}}$${\ displaystyle R / {\ mathfrak {m}}}$

Другое обобщение утверждает , что строго плоский морфизм схем локально конечного типа с X квазикомпактно имеет квази сечение , т.е. существует аффинные и строго плоско и квазиконечная над X вместе с X -морфизмом${\ displaystyle f: от Y \ до X}$${\ displaystyle X '}$${\ displaystyle X '\ to Y}$

Эффективный Nullstellensatz

Во всех своих вариантах Nullstellensatz Гильберта утверждает, что некоторый многочлен g принадлежит или не принадлежит идеалу, порожденному, скажем, f ₁ , ..., f _k ; мы имеем г = е ^г в сильной версии, г = 1 в слабой форме. Это означает наличие или отсутствие многочленов g ₁ , ..., g _k таких, что g = f ₁ g ₁ + ... + f _k g _k . Обычные доказательства Nullstellensatz не являются конструктивными и неэффективными в том смысле, что они не дают возможности вычислить g _i .

Таким образом, возникает довольно естественный вопрос, есть ли эффективный способ вычислить g _i (и показатель степени r в сильной форме) или доказать, что их не существует. Чтобы решить эту проблему, достаточно предоставить верхнюю границу общей степени g _i : такая оценка сводит задачу к конечной системе линейных уравнений, которую можно решить с помощью обычных методов линейной алгебры . Любая такая верхняя граница называется эффективным Nullstellensatz .

Связанная с этим проблема - проблема идеального членства , которая заключается в проверке принадлежности многочлена идеалу. Для этой проблемы также решение обеспечивается верхней границей степени g _i . Общее решение проблемы идеального членства обеспечивает эффективный Nullstellensatz, по крайней мере, для слабой формы.

В 1925 году Грете Германн дала оценку сверху для проблемы идеальной принадлежности, которая является дважды экспоненциальной по количеству переменных. В 1982 году Майр и Мейер привели пример, в котором g _i имеет степень, по крайней мере, двойную экспоненциальную, показывая, что каждая общая верхняя граница для проблемы идеального членства является дважды экспоненциальной по количеству переменных.

Поскольку большинство математиков в то время полагали, что эффективный Nullstellensatz по крайней мере так же сложен, как идеальное членство, немногие математики искали оценку лучше, чем двойная экспонента. Однако в 1987 г. У. Дейл Браунавелл дал верхнюю границу для эффективного Nullstellensatz, который просто экспоненциально зависит от числа переменных. Доказательство Браунавелла основывалось на аналитических методах, применимых только в характеристике 0, но год спустя Янош Коллар дал чисто алгебраическое доказательство несколько лучшей оценки, действительное для любой характеристики.

В случае слабого Nullstellensatz оценка Коллара следующая:

Пусть f ₁ , ..., f _s - многочлены от n ≥ 2 переменных полной степени d ₁ ≥ ... ≥ d _s . Если существуют многочлены g _i такие, что f ₁ g ₁ + ... + f _s g _s = 1 , то их можно выбрать так, что

${\ displaystyle \ deg (f_ {i} g_ {i}) \ leq \ max (d_ {s}, 3) \ prod _ {j = 1} ^ {\ min (n, s) -1} \ max ( d_ {j}, 3).}$

Эта оценка оптимальна, если все степени больше 2.

Если d - максимальная из степеней f _i , эту границу можно упростить до

${\ displaystyle \ max (3, d) ^ {\ min (n, s)}.}$

Результат Коллара был улучшен несколькими авторами. По состоянию на 14 октября 2012 г. лучшим улучшением, произведенным М. Сомброй, является

${\ displaystyle \ deg (f_ {i} g_ {i}) \ leq 2d_ {s} \ prod _ {j = 1} ^ {\ min (n, s) -1} d_ {j}.}$

Его оценка улучшает оценку Коллара, как только по крайней мере две из участвующих степеней ниже 3.

Проективный Nullstellensatz

Мы можем сформулировать определенное соответствие между однородными идеалами многочленов и алгебраическими подмножествами проективного пространства, называемое проективным Nullstellensatz , которое аналогично аффинному. Для этого введем некоторые обозначения. Пусть Однородный идеал, ${\ displaystyle R = k [t_ {0}, \ ldots, t_ {n}].}$

${\ Displaystyle R _ {+} = \ bigoplus _ {d \ geqslant 1} R_ {d}}$

называется максимальным однородным идеалом (см. также нерелевантный идеал ). Как и в аффинном случае, положим: для подмножества и однородного идеала I кольца R , ${\ Displaystyle S \ substeq \ mathbb {P} ^ {n}}$

${\ displaystyle {\ begin {align} \ operatorname {I} _ {\ mathbb {P} ^ {n}} (S) & = \ {f \ in R _ {+} \ mid f = 0 {\ text {on }} S \}, \\\ имя оператора {V} _ {\ mathbb {P} ^ {n}} (I) & = \ {x \ in \ mathbb {P} ^ {n} \ mid f (x) = 0 {\ text {для всех}} f \ in I \}. \ End {align}}}$

К мы имеем в виду: для каждого однородных координат в точке S мы имеем . Это означает, что однородные компоненты f также равны нулю на S и, следовательно, это однородный идеал. Эквивалентно, является однородным идеал , порожденный однородными многочленами F , равных нулю на S . Теперь для любого однородного идеала с помощью обычного Nullstellensatz мы имеем: ${\ displaystyle f = 0 {\ text {on}} S}$${\ Displaystyle (а_ {0}: \ cdots: а_ {п})}$${\ Displaystyle е (а_ {0}, \ ldots, а_ {п}) = 0}$${\ Displaystyle \ OperatorName {I} _ {\ mathbb {P} ^ {n}} (S)}$${\ Displaystyle \ OperatorName {I} _ {\ mathbb {P} ^ {n}} (S)}$${\ displaystyle I \ substeq R _ {+}}$

${\ displaystyle {\ sqrt {I}} = \ operatorname {I} _ {\ mathbb {P} ^ {n}} (\ operatorname {V} _ {\ mathbb {P} ^ {n}} (I)) ,}$

и так, как и в аффинном случае, имеем:

Существует взаимно однозначное соответствие с изменением порядка между собственными однородными радикальными идеалами в R и подмножествами вида . Соответствие задается формулами и${\ displaystyle \ mathbb {P} ^ {n}}$${\ displaystyle \ operatorname {V} _ {\ mathbb {P} ^ {n}} (I).}$${\ displaystyle \ operatorname {I} _ {\ mathbb {P} ^ {n}}}$${\ displaystyle \ operatorname {V} _ {\ mathbb {P} ^ {n}}.}$

Аналитический Nullstellensatz

Нули также справедливо и для ростков голоморфных функций в точке комплекса п - пространстве А именно, для каждого открытого подмножества пусть обозначает кольцо голоморфных функций на U ; то есть пучок на стебле , скажем, происхождение может быть показано, что нетерово локальное кольцо , что является однозначным разложением на множители . ${\ displaystyle \ mathbb {C} ^ {n}.}$${\ Displaystyle U \ подмножество \ mathbb {C} ^ {n},}$${\ Displaystyle {\ mathcal {O}} _ {\ mathbb {C} ^ {n}} (U)}$${\ displaystyle {\ mathcal {O}} _ {\ mathbb {C} ^ {n}}}$${\ displaystyle \ mathbb {C} ^ {n}.}$${\ displaystyle {\ mathcal {O}} _ {\ mathbb {C} ^ {n}, 0}}$

Если - росток, представленный голоморфной функцией , то пусть - класс эквивалентности множества ${\ displaystyle f \ in {\ mathcal {O}} _ {\ mathbb {C} ^ {n}, 0}}$${\ displaystyle {\ widetilde {f}}: U \ to \ mathbb {C}}$${\ Displaystyle V_ {0} (е)}$

${\ Displaystyle \ влево \ {г \ в U | {\ widetilde {f}} (г) = 0 \ вправо \},}$

где два подмножества считаются эквивалентными , если для некоторых окрестностей U 0. Примечания не зависит от выбора представителя Для каждого идеал , пусть обозначу для некоторых генераторов в I . Это четко определено; т.е. не зависит от выбора генераторов. ${\ Displaystyle X, Y \ подмножество \ mathbb {C} ^ {n}}$${\ Displaystyle X \ cap U = Y \ cap U}$${\ Displaystyle V_ {0} (е)}$${\ displaystyle {\ widetilde {f}}.}$${\ displaystyle I \ subset {\ mathcal {O}} _ {\ mathbb {C} ^ {n}, 0},}$${\ displaystyle V_ {0} (I)}$${\ displaystyle V_ {0} (f_ {1}) \ cap \ dots \ cap V_ {0} (f_ {r})}$${\ displaystyle f_ {1}, \ ldots, f_ {r}}$

Для каждого подмножества пусть ${\ Displaystyle X \ подмножество \ mathbb {C} ^ {n}}$

${\ displaystyle I_ {0} (X) = \ left \ {f \ in {\ mathcal {O}} _ {\ mathbb {C} ^ {n}, 0} | V_ {0} (f) \ supset X \верно\}.}$

Легко увидеть, что это идеал, а это если в рассмотренном выше смысле. ${\ displaystyle I_ {0} (X)}$${\ displaystyle {\ mathcal {O}} _ {\ mathbb {C} ^ {n}, 0}}$${\ displaystyle I_ {0} (X) = I_ {0} (Y)}$${\ displaystyle X \ sim Y}$

Аналитические нули , то говорится: для каждого идеала , ${\ displaystyle I \ subset {\ mathcal {O}} _ {\ mathbb {C} ^ {n}, 0}}$

${\ displaystyle {\ sqrt {I}} = I_ {0} (V_ {0} (I))}$

где левая сторона представляет собой радикал из I .

Смотрите также

• Positivstellensatz Стенгла
• Дифференциальный Nullstellensatz
• Комбинаторный Nullstellensatz
• Лемма Артина – Тейта.
• Настоящий радикал
• Ограниченные степенные ряды # Алгебра Тейта , аналог нулевого телензаца Гильберта, выполняется для алгебр Тейта.

Примечания

использованная литература

• JM Almira , Nullstellensatz revisited , Rend. Сем. Мат. Univ. Pol. Турин - Том. 65 (3) (2007) 365-369
• М. Атья , И. Г. Макдональд , Введение в коммутативную алгебру , Addison-Wesley , 1994. ISBN  0-201-40751-5
• Сигеру Мукаи (2003). Введение в инварианты и модули . Кембриджские исследования в области высшей математики. 81 . Уильям Оксбери (пер.). п. 82. ISBN 0-521-80906-1.
• Дэвид Эйзенбуд , Коммутативная алгебра с точки зрения алгебраической геометрии , Нью-Йорк: Springer-Verlag, 1999.
• Хартсхорн, Робин (1977), Алгебраическая геометрия , Тексты для выпускников по математике , 52 , Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90244-9, MR  0463157
• Хайбрехтс, Даниэль (2005). Сложная геометрия: Введение . Springer. ISBN 3-540-21290-6.
• Зариски, Оскар ; Самуэль, Пьер (1960). Коммутативная алгебра. Том II . Берлин. ISBN 978-3-662-27753-9.