Двойной конус и полярный конус - Dual cone and polar cone

Множество C и его двойственный конус C ^* .

Множество C и его полярный конус C ^o . Двойственный конус и полярный конус симметричны друг другу относительно начала координат.

Двойной конус и полярный конус - это тесно связанные понятия в области выпуклого анализа , раздела математики .

Двойной конус

В векторном пространстве

Двойной конус С ^* из подмножества C в линейном пространстве X над переАльсом , например евклидовом пространства R ^п , с сопряженным пространством X ^* является множество

${\ Displaystyle C ^ {*} = \ left \ {y \ in X ^ {*}: \ langle y, x \ rangle \ geq 0 \ quad \ forall x \ in C \ right \},}$

где есть двойственность спаривание между X и X ^* , то есть . ${\ displaystyle \ langle y, x \ rangle}$${\ Displaystyle \ langle y, x \ rangle = y (x)}$

C ^* всегда выпуклый конус , даже если C не является ни выпуклым, ни конусом .

В топологическом векторном пространстве

Если X - топологическое векторное пространство над действительными или комплексными числами, то двойственный конус подмножества C ⊆ X - это следующий набор непрерывных линейных функционалов на X :

${\ displaystyle C ^ {\ prime}: = \ left \ {f \ in X ^ {\ prime}: \ operatorname {Re} \ left (f (x) \ right) \ geq 0 {\ text {для всех} } x \ in C \ right \}}$,

который является полярной множества - С . Независимо от того, что такое C , будет выпуклый конус. Если C ⊆ {0}, тогда . ${\ Displaystyle C ^ {\ prime}}$${\ Displaystyle С ^ {\ прайм} = Х ^ {\ прайм}}$

В гильбертовом пространстве (внутренний двойственный конус)

В качестве альтернативы, многие авторы определяют двойственный конус в контексте реального гильбертова пространства (например, R ^n, снабженного евклидовым внутренним произведением) как то, что иногда называют внутренним двойным конусом .

${\ displaystyle C _ {\ text {internal}} ^ {*}: = \ left \ {y \ in X: \ langle y, x \ rangle \ geq 0 \ quad \ forall x \ in C \ right \}.}$

Используя это последнее определение для C ^* , мы получаем, что, когда C является конусом, выполняются следующие свойства:

• Ненулевой вектор y находится в C ^* тогда и только тогда, когда выполняются оба следующих условия:

1. у является нормальным в происхождении гиперплоскости , которая поддерживает C .
2. y и C лежат по одну сторону от этой поддерживающей гиперплоскости.

• C ^* является замкнутым и выпуклым.
• ${\ Displaystyle C_ {1} \ substeq C_ {2}}$подразумевает .${\ Displaystyle C_ {2} ^ {*} \ substeq C_ {1} ^ {*}}$
• Если C имеет непустую внутренность, то C ^* является заостренным , т.е. C * не содержит строк в полном объеме.
• Если C - конус и замыкание C остроконечное, то C ^* имеет непустую внутренность.
• C ^** - это замыкание наименьшего выпуклого конуса, содержащего C (следствие теоремы об отделении гиперплоскостей )

Самодвойственные конусы

Конус С в векторном пространстве X называется автодуальным , если Х может быть оснащены внутренним произведением ⟨⋅, ⋅⟩ таким образом, что внутренний двойственный конус относительно этого скалярного произведения равно C . Те авторы, которые определяют двойственный конус как внутренний двойственный конус в реальном гильбертовом пространстве, обычно говорят, что конус самодвойственный, если он равен своему внутреннему двойственному конусу. Это немного отличается от приведенного выше определения, которое позволяет изменять внутренний продукт. Например, приведенное выше определение делает конус в R ⁿ с эллипсоидальным основанием самодуальным, потому что внутренний продукт может быть изменен, чтобы сделать основание сферическим, а конус со сферическим основанием в R ⁿ равен его внутреннему двойственному.

Неотрицательное ортант из R ^н и пространство всех положительных полуопределенных матриц самодвойственно, так же как конуса с эллипсоидальным основанием (часто называемые «сферические конусами», «Лоренц конусы» или иногда «мороженое» шишки). Таковы все конусы в R ³ , основание которых является выпуклой оболочкой правильного многоугольника с нечетным числом вершин. Менее правильным примером является конус в R ³ , основанием которого является «дом»: выпуклая оболочка квадрата и точка вне квадрата, образующая равносторонний треугольник (соответствующей высоты) с одной из сторон квадрата.

Полярный конус

Поляром замкнутого выпуклого конуса C является замкнутый выпуклый конус C ^o , и наоборот.

Для множества C в X , то полярный конус из C является множество

${\ displaystyle C ^ {o} = \ left \ {y \ in X ^ {*}: \ langle y, x \ rangle \ leq 0 \ quad \ forall x \ in C \ right \}.}$

Видно, что полярный конус равен отрицательному элементу двойственного конуса, т.е. C ^o = - C ^* .

Для замкнутого выпуклого конуса С в X , полярный конус эквивалентно полярного множества для C .

Смотрите также

• Биполярная теорема
• Полярный набор

использованная литература

Библиография

• Болтянский В.Г . ; Мартини, H .; Солтан, П. (1997). Экскурсии в комбинаторную геометрию . Нью-Йорк: Спрингер. ISBN 3-540-61341-2.
• Goh, CJ; Ян, XQ (2002). Двойственность в оптимизации и вариационные неравенства . Лондон; Нью-Йорк: Тейлор и Фрэнсис. ISBN 0-415-27479-6.
• Наричи, Лоуренс ; Бекенштейн, Эдвард (2011). Топологические векторные пространства . Чистая и прикладная математика (Второе изд.). Бока-Ратон, Флорида: CRC Press. ISBN 978-1584888666. OCLC  144216834 .
• Рамм, AG (2000). Шивакумар, ПН; Штраус, А.В. (ред.). Теория операторов и ее приложения . Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество. ISBN 0-8218-1990-9.
• Шефер, Гельмут Х .; Вольф, Манфред П. (1999). Топологические векторные пространства . GTM . 8 (Второе изд.). Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: Springer New York Выходные данные Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0. OCLC  840278135 .