Биполярная теорема - Bipolar theorem

В математике , то биполярная теорема является теоремой в функциональном анализе , который характеризует биполярный (то есть, полярный полярный) из набора. В выпуклом анализе , то биполярная теорема относится к необходимым и достаточным условиям для конуса равного его биполярным . Биполярную теорему можно рассматривать как частный случай теоремы Фенхеля – Моро .

Предварительные мероприятия

Предположим , что это топологическое векторное пространство (ТВС) с непрерывным сопряженного пространства , и пусть для всех и The выпуклой оболочки множества , обозначенном является наименьшим выпуклое множество , содержащее The выпуклую сбалансированный корпус из набора является наименьшим выпуклым сбалансированный набор , содержащий${\ displaystyle X}$ ${\ Displaystyle X ^ {\ prime}}$${\ displaystyle \ left \ langle x, x ^ {\ prime} \ right \ rangle: = x ^ {\ prime} (x)}$${\ displaystyle x \ in X}$${\ displaystyle x ^ {\ prime} \ in X ^ {\ prime}.}$${\ displaystyle A,}$${\ displaystyle \ operatorname {co} A,}$${\ displaystyle A.}$${\ displaystyle A}$ ${\ displaystyle A.}$

Полярная подмножества определяется как: ${\ displaystyle A \ substeq X}$

в то время как преполярная часть подмножества : ${\ Displaystyle B \ substeq X ^ {\ prime}}$Биполярное подмножества часто обозначается это множество ${\ displaystyle A \ substeq X,}$${\ Displaystyle А ^ {\ circ \ circ}}$

Заявление в функциональном анализе

Обозначим через слабую топологию на (то есть, самую слабую топологию TVS, делающую все линейные функционалы непрерывными). ${\ displaystyle \ sigma \ left (X, X ^ {\ prime} \ right)}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle A}$${\ Displaystyle X ^ {\ prime}}$

Биполярная теорема : биполярное подмножество равна -замыканию на выпуклую уравновешенную оболочку из${\ displaystyle A \ substeq X}$${\ displaystyle \ sigma \ left (X, X ^ {\ prime} \ right)}$${\ displaystyle A.}$

Утверждение в выпуклом анализе

Биполярная теорема : для любого непустого конуса в некотором линейном пространстве биполярное множество задается следующим образом:${\ displaystyle A}$ ${\ displaystyle X,}$${\ Displaystyle А ^ {\ circ \ circ}}$

Особый случай

Подмножество является непустым замкнутым выпуклым конусом тогда и только тогда, когда где где обозначает положительный двойственный конус множества Или, в более общем смысле, если является непустым выпуклым конусом, то биполярный конус задается формулой ${\ Displaystyle C \ substeq X}$ ${\ Displaystyle C ^ {++} = C ^ {\ circ \ circ} = C}$${\ displaystyle C ^ {++} = \ left (C ^ {+} \ right) ^ {+},}$${\ displaystyle A ^ {+}}$${\ displaystyle A.}$${\ displaystyle C}$

Связь с теоремой Фенхеля – Моро.

Позволять

- индикаторная функция для конуса. Тогда выпуклая сопряженная , ${\ displaystyle C.}$

$${\ displaystyle f ^ {*} (x ^ {*}) = \ delta \ left (x ^ {*} | C ^ {\ circ} \ right) = \ delta ^ {*} \ left (x ^ {* } | C \ right) = \ sup _ {x \ in C} \ langle x ^ {*}, x \ rangle}$$

является опорной функцией для и Следовательно, тогда и только тогда, когда${\ displaystyle C,}$${\ displaystyle f ^ {**} (x) = \ delta (x | C ^ {\ circ \ circ}).}$${\ Displaystyle C = C ^ {\ circ \ circ}}$${\ displaystyle f = f ^ {**}.}$

Смотрите также

• Двойная система
• Теорема Фенхеля – Моро - Обобщение биполярной теоремы.
• Полярное множество  - подмножество всех точек, которые ограничены некоторой заданной точкой дуального (в двойном паре)

Рекомендации

Библиография

• Наричи, Лоуренс ; Бекенштейн, Эдвард (2011). Топологические векторные пространства . Чистая и прикладная математика (Второе изд.). Бока-Ратон, Флорида: CRC Press. ISBN 978-1584888666. OCLC  144216834 .
• Шефер, Гельмут Х .; Вольф, Манфред П. (1999). Топологические векторные пространства . GTM . 8 (Второе изд.). Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: Springer New York Выходные данные Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0. OCLC  840278135 .
• Трев, Франсуа (2006) [1967]. Топологические векторные пространства, распределения и ядра . Минеола, Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN 978-0-486-45352-1. OCLC  853623322 .