Модель Дил – Гроув - Deal–Grove model

Модель Дила – Гроува математически описывает рост оксидного слоя на поверхности материала. В частности, он используется для прогнозирования и интерпретаций термического окисления из кремния в производстве полупроводниковых устройств . Модель была впервые опубликована в 1965 году Брюсом Дилом и Эндрю Гроувом из Fairchild Semiconductor , основываясь на работе Мохамеда М. Аталлы по пассивации поверхности кремния термическим окислением в Bell Labs в конце 1950-х годов. Это послужило шагом в разработке КМОП- устройств и производстве интегральных схем .

Физические предположения

Модель предполагает, что реакция окисления происходит на границе раздела между оксидным слоем и материалом подложки, а не между оксидом и окружающим газом . Таким образом, он рассматривает три явления, которым подвергаются окисляющие частицы, в следующем порядке:

1. Он диффундирует из основной массы окружающего газа на поверхность.
2. Он диффундирует через существующий оксидный слой к границе раздела оксид-подложка.
3. Реагирует с субстратом.

Модель предполагает, что каждая из этих стадий протекает со скоростью, пропорциональной концентрации окислителя. В первом случае это закон Генриха ; во втором - закон диффузии Фика ; в-третьих, реакция первого порядка по окислителю. Он также предполагает установившееся состояние, т.е. отсутствие переходных эффектов.

Полученные результаты

Принимая во внимание эти предположения, поток окислителя через каждую из трех фаз может быть выражен в терминах концентраций, свойств материала и температуры.

${\ displaystyle J_ {газ} = h_ {g} (C_ {g} -C_ {s})}$

${\ Displaystyle J_ {оксид} = D_ {ox} {\ frac {C_ {s} -C_ {i}} {x}}}$

${\ Displaystyle J_ {реагирует} = k_ {i} C_ {i}}$

Приравнивая три потока друг к другу , можно получить следующие соотношения: ${\ displaystyle J_ {газ} = J_ {оксид} = J_ {реагирует}}$

${\ displaystyle {\ frac {C_ {i}} {C_ {g}}} = {\ frac {1} {1 + k_ {i} / h_ {g} + {k_ {i} x} / D_ {ox }}}}$

${\ displaystyle {\ frac {C_ {s}} {C_ {g}}} = {\ frac {1+ {k_ {i} x} / D_ {ox}} {1 + k_ {i} / h_ {g } + {k_ {i} x} / D_ {ox}}}}$

Предполагая , что диффузионный контролируется IE роста , где определяет скорость роста, и замен , а в терминах из приведенных выше двух соотношений в и уравнение соответственно, получаем: ${\ Displaystyle J_ {оксид}}$${\ displaystyle C_ {i}}$${\ displaystyle C_ {s}}$${\ displaystyle C_ {g}}$${\ Displaystyle J_ {оксид}}$${\ displaystyle J_ {реагирует}}$

${\ Displaystyle J_ {оксид} = J_ {реагирует} = {\ frac {k_ {i} C_ {g}} {1 + k_ {i} / h_ {g} + {k_ {i} x} / D_ {ox }}}}$

Если N - концентрация окислителя в единице объема оксида, то скорость роста оксида может быть записана в форме дифференциального уравнения. Решение этого уравнения дает толщину оксида в любой момент времени t .

${\ displaystyle {\ frac {dx} {dt}} = {\ frac {J_ {оксид}} {N}} = {\ frac {k_ {i} C_ {g} / N} {1 + k_ {i} / h_ {g} + {k_ {i} x} / D_ {ox}}}}$

${\ displaystyle x ^ {2} + Ax = Bt + {x_ {i}} ^ {2} + Ax_ {i}}$

${\ Displaystyle х ^ {2} + Ax = B (t + \ tau)}$

где константы и инкапсулируют свойства реакции и оксидного слоя соответственно, а - начальный оксидный слой, который присутствовал на поверхности. Эти константы представлены как: ${\ displaystyle A}$${\ displaystyle B}$${\ displaystyle x_ {i}}$

${\ displaystyle A = 2D_ {ox} ({\ frac {1} {k_ {i}}} + {\ frac {1} {h_ {g}}})}$

${\ displaystyle B = {\ frac {2D_ {ox} C_ {s}} {N}}}$

${\ displaystyle \ tau = {\ frac {x_ {i} ^ {2} + Ax_ {i}} {B}}}$

где с является параметром растворимости газа из закона Генри и парциальное давление диффундирующего газа. ${\ displaystyle C_ {s} = HP_ {g}}$${\ displaystyle H}$${\ displaystyle P_ {g}}$

Решение квадратного уравнения относительно x дает:

${\ displaystyle x (t) = {\ frac {-A + {\ sqrt {{A ^ {2}} + 4 (B) (t + \ tau)}}} {2}}}$

Если взять короткие и длинные временные рамки из приведенного выше уравнения, можно увидеть два основных режима работы. Первый режим, при котором рост является линейным, первоначально возникает при малых значениях. Второй режим дает квадратичный рост и возникает, когда оксид загустевает по мере увеличения времени окисления. ${\ Displaystyle т + \ тау}$

${\ displaystyle t + \ tau \ ll {\ frac {A ^ {2}} {4B}} \ Rightarrow x (t) = {\ frac {B} {A}} (t + \ tau)}$

${\ displaystyle t + \ tau \ gg {\ frac {A ^ {2}} {4B}} \ Rightarrow x (t) = {\ sqrt {B (t + \ tau)}}}$

Величины B и B / A часто называют квадратичной и линейной константами скорости реакции . Они экспоненциально зависят от температуры, например:

${\ displaystyle B = B_ {0} e ^ {- E_ {A} / kT}; \ quad B / A = (B / A) _ {0} e ^ {- E_ {A} / kT}}$

где есть энергия активации и является постоянной Больцмана в эВ. отличается от одного уравнения к другому. В следующей таблице перечислены значения четырех параметров для монокристаллического кремния в условиях, обычно используемых в промышленности (низкое легирование , атмосферное давление ). Линейная константа скорости зависит от ориентации кристалла (обычно обозначается индексами Миллера плоскости кристалла, обращенной к поверхности). В таблице приведены значения для кремния <100> и <111>. ${\ displaystyle E_ {A}}$${\ displaystyle k}$${\ displaystyle E_ {A}}$

Параметр	Количество	Мокрый ( ) ${\ displaystyle H_ {2} O}$	Сухой ( ) ${\ displaystyle O_ {2}}$
Линейная константа скорости	${\ displaystyle (B / A) _ {0} \ \ left ({\ frac {\ mu m} {hr}} \ right)}$	<100>: 9,7 × 10 7 <111>: 1,63 × 10 8	<100>: 3,71 × 10 6 <111>: 6,23 × 10 6
	${\ displaystyle E_ {A}}$ ( эВ )	2,05	2,00
Константа параболической скорости	${\ displaystyle B_ {0} \ \ left ({\ frac {(\ mu m) ^ {2}} {hr}} \ right)}$	386	772
	${\ displaystyle E_ {A}}$ (эВ)	0,78	1,23

Срок действия кремния

Модель Дила – Гроува очень хорошо работает для монокристаллического кремния в большинстве условий. Однако экспериментальные данные показывают, что очень тонкие оксиды (менее 25 нанометров) растут намного быстрее, чем предсказывает модель. В кремниевых наноструктурах (например, кремниевых нанопроводах ) этот быстрый рост обычно сопровождается уменьшением кинетики окисления в процессе, известном как самоограничивающееся окисление, что требует модификации модели Дила-Гроува. ${\ displaystyle O_ {2}}$

Если оксид, выращенный на определенной стадии окисления, будет значительно превышать 25 нм, простая корректировка учитывает скорость аберрантного роста. Модель дает точные результаты для толстых оксидов, если вместо предположения о нулевой начальной толщине (или любой начальной толщине менее 25 нм) мы предполагаем, что до начала окисления существует 25 нм оксида. Однако для оксидов, близких к этому пороговому значению или более тонких, чем это пороговое значение, необходимо использовать более сложные модели.

В 1980-х годах стало очевидно, что потребуется обновление модели Дил-Гроув для моделирования вышеупомянутых тонких оксидов (самоограниченные случаи). Одним из таких подходов, более точно моделирующих тонкие оксиды, является модель Масуда 1985 г. [2]. Модель Масуда является аналитической и основана на параллельных механизмах окисления. Он изменяет параметры модели Дил-Гроув, чтобы лучше моделировать начальный рост оксида с добавлением условий повышения скорости.

Дил-Гроув также не справляется с поликристаллическим кремнием («поликремний»). Во-первых, случайная ориентация кристаллических зерен затрудняет выбор значения линейной константы скорости. Во-вторых, молекулы окислителя быстро диффундируют по границам зерен, поэтому поликремний окисляется быстрее, чем монокристаллический кремний.

Атомы примеси деформируют решетку кремния и облегчают связывание атомов кремния с поступающим кислородом. Этим эффектом во многих случаях можно пренебречь, но сильно легированный кремний окисляется значительно быстрее. Давление окружающего газа также влияет на скорость окисления.

Рекомендации

Библиография

• Massoud, HZ; Дж. Д. Пламмер (1985). «Термическое окисление кремния в сухом кислороде: точное определение кинетических констант скорости». Журнал Электрохимического общества . 132 (11): 2693–2700. DOI : 10.1149 / 1.2113649 .
• Джегер, Ричард С. (2002). «Термическое окисление кремния». Введение в производство микроэлектроники (2-е изд.). Река Верхнее Седл: Зал Прентис. ISBN   0-201-44494-1 .
• Сделка, BE; А.С. Гроув (декабрь 1965 г.). «Общие отношения термического окисления кремния». Журнал прикладной физики . 36 (12): 3770–3778. Bibcode : 1965JAP .... 36.3770D . DOI : 10.1063 / 1.1713945 .

внешняя ссылка

• Онлайн-калькулятор, включая эффекты давления, легирования и тонкого оксида