Обратное неимпликация - Converse nonimplication

Конверс Неимпликация в общей булевой алгебре определяется как . ${\ textstyle q \ nleftarrow p = q'p}$

Пример 2-элементной булевой алгебры: 2 элемента {0,1} с 0 как ноль и 1 как единичный элемент, операторы как оператор дополнения, как оператор соединения и как оператор встречи, составляют булеву алгебру логики высказываний . ${\ textstyle \ sim}$${\ textstyle \ vee}$${\ textstyle \ клин}$

${\ textstyle {} \ sim x}$ 1 0 Икс 0 1	а также	у 1 1 1 0 0 1 ${\ textstyle y _ {\ vee} x}$ 0 1 Икс	а также	у 1 0 1 0 0 0 ${\ textstyle y _ {\ wedge} x}$ 0 1 Икс	тогда означает ${\ displaystyle \ scriptstyle {y \ nleftarrow x} \!}$	у 1 0 0 0 0 1 ${\ displaystyle \ scriptstyle {y \ nleftarrow x} \!}$ 0 1 Икс
(Отрицание)		(Включительно или)		(А также)		(Обратное неимпликация)

Пример 4-элементной булевой алгебры: 4 делителя {1,2,3,6} числа 6 с 1 равным нулю и 6 в качестве элемента единицы, операторы (кодивизор 6) в качестве оператора дополнения, (наименьшее общее кратное) в качестве соединения оператор и (наибольший общий делитель) как оператор meet, строят булеву алгебру. ${\ displaystyle \ scriptstyle {^ {c}} \!}$${\ displaystyle \ scriptstyle {_ {\ vee}} \!}$${\ displaystyle \ scriptstyle {_ {\ wedge}} \!}$

${\ Displaystyle \ scriptstyle {х ^ {c}} \!}$ 6 3 2 1 Икс 1 2 3 6	а также	у 6 6 6 6 6 3 3 6 3 6 2 2 2 6 6 1 1 2 3 6 ${\ displaystyle \ scriptstyle {y _ {\ vee} x} \!}$ 1 2 3 6 Икс	а также	у 6 1 2 3 6 3 1 1 3 3 2 1 2 1 2 1 1 1 1 1 ${\ displaystyle \ scriptstyle {y _ {\ wedge} x}}$ 1 2 3 6 Икс	тогда означает ${\ displaystyle \ scriptstyle {y \ nleftarrow x} \!}$	у 6 1 1 1 1 3 1 2 1 2 2 1 1 3 3 1 1 2 3 6 ${\ displaystyle \ scriptstyle {y \ nleftarrow x} \!}$ 1 2 3 6 Икс
(Кодивизор 6)		(Наименьший общий множитель)		(Наибольший общий делитель)		(наибольший делитель x взаимно прост с y)

Характеристики

Неассоциативный

${\ displaystyle r \ nleftarrow (q \ nleftarrow p) = (r \ nleftarrow q) \ nleftarrow p}$тогда и только тогда, когда # s5 (В двухэлементной булевой алгебре последнее условие сводится к или ). Следовательно, в нетривиальной булевой алгебре обратная неимпликация неассоциативна . ${\ displaystyle rp = 0}$ ${\ displaystyle r = 0}$${\ displaystyle p = 0}$

$${\ displaystyle {\ begin {align} (r \ nleftarrow q) \ nleftarrow p & = r'q \ nleftarrow p & {\ text {(по определению)}} \\ & = (r'q) 'p & {\ text { (по определению)}} \\ & = (r + q ') p & {\ text {(законы Де Моргана)}} \\ & = (r + r'q') p & {\ text {(Закон поглощения)} } \\ & = rp + r'q'p \\ & = rp + r '(q \ nleftarrow p) & {\ text {(по определению)}} \\ & = rp + r \ nleftarrow (q \ nleftarrow p) & {\ text {(по определению)}} \\\ конец {выровнено}}}$$

Ясно, что он ассоциативен тогда и только тогда, когда . ${\ displaystyle rp = 0}$

Некоммутативный

• ${\ displaystyle q \ nleftarrow p = p \ nleftarrow q}$тогда и только тогда, когда # s6 . Следовательно, Converse Nonimplication некоммутативна .${\ displaystyle q = p}$

Нейтральные и поглощающие элементы

• 0 - левый нейтральный элемент ( ) и правый поглощающий элемент ( ).${\ displaystyle 0 \ nleftarrow p = p}$${\ displaystyle {p \ nleftarrow 0 = 0}}$
• ${\ displaystyle 1 \ nleftarrow p = 0}$,, и .${\ displaystyle p \ nleftarrow 1 = p '}$${\ displaystyle p \ nleftarrow p = 0}$
• Импликация есть двойная обратная импликация # s7 .${\ displaystyle q \ rightarrow p}$${\ displaystyle q \ nleftarrow p}$