Конверс (логика) - Converse (logic)

В логике и математике , то обратное категорического или импликационного заявление является результатом реверсивных двумя своих заявлений составляющих. Для импликации Р → Q , обратное Q → P . Для категорического утверждения Все S есть P , обратное Все P является S . В любом случае, истинность обратного утверждения обычно не зависит от истинности исходного утверждения.

Импликационный разговор

Диаграмма Венна из (белой области показывает , где утверждение ложно)${\ displaystyle A \ leftarrow B}$

Пусть S - утверждение вида P влечет Q ( P → Q ). Тогда обратное к S утверждение, что Q влечет P ( Q → P ). В общем, истинность S ничего не говорит об истинности обратного, если антецедент P и консеквент Q не являются логически эквивалентными.

Например, рассмотрим истинное утверждение: «Если я человек, то я смертен». Обратное утверждение: «Если я смертный, то я человек», что не обязательно верно .

С другой стороны, обратное утверждение с взаимно включающими терминами остается верным, учитывая истинность исходного предложения. Это равносильно утверждению, что верно обратное определение. Таким образом, утверждение «Если я треугольник, то я - трехсторонний многоугольник» логически эквивалентно «Если я трехсторонний многоугольник, то я треугольник», потому что определение «треугольник» - это: трехсторонний многоугольник ».

Таблица истинности показывает, что S и обратное S не являются логически эквивалентными, если оба термина не подразумевают друг друга:

${\ displaystyle P}$	${\ displaystyle Q}$	${\ displaystyle P \ rightarrow Q}$	${\ Displaystyle P \ leftarrow Q}$ (обратное)
Т	Т	Т	Т
Т	F	F	Т
F	Т	Т	F
F	F	Т	Т

Переход от утверждения к обратному - ошибка утверждения консеквента . Однако, если утверждение S и его обратное эквивалентны (т. Е. P истинно тогда и только тогда, когда Q также истинно), то утверждение консеквента будет действительным.

Обратная импликация логически эквивалентна дизъюнкции и${\ displaystyle P}$${\ displaystyle \ neg Q}$

${\ Displaystyle P \ leftarrow Q}$	${\ displaystyle \ Leftrightarrow}$	${\ displaystyle P}$	${\ displaystyle \ lor}$	${\ displaystyle \ neg Q}$
	${\ displaystyle \ Leftrightarrow}$		${\ displaystyle \ lor}$

На естественном языке это можно было бы передать как «не Q без P ».

Обращение к теореме

В математике, обратное теореме вида P → Q будет Q → P . Обратное может быть, а может и не быть правдой, и даже если это правда, доказательство может быть трудным. Например, теорема о четырех вершинах была доказана в 1912 году, а обратная ей была доказана только в 1997 году.

На практике, при определении обратной математической теоремы, аспекты антецедента могут рассматриваться как устанавливающие контекст. То есть, обратное к «Дано Р, если Q, то R » будет «Дано Р, если R, то Q » . Например, теорему Пифагора можно сформулировать так:

Дан треугольник со сторонами длины , и , если угол, противоположный стороне длины, является прямым углом, то .${\ displaystyle a}$${\ displaystyle b}$${\ displaystyle c}$${\ displaystyle c}$ ${\ displaystyle a ^ {2} + b ^ {2} = c ^ {2}}$

Обратное, которое также встречается в Элементах Евклида (Книга I, предложение 48), можно сформулировать так:

Дан треугольник со сторонами длины , и , если , то угол, противоположный стороне длины, является прямым. ${\ displaystyle a}$${\ displaystyle b}$${\ displaystyle c}$ ${\ displaystyle a ^ {2} + b ^ {2} = c ^ {2}}$${\ displaystyle c}$

Обратное отношение

Если является бинарным отношением с, то обратное отношение также называется транспонированием . ${\ displaystyle R}$${\ displaystyle R \ substeq A \ times B,}$ ${\ Displaystyle R ^ {T} = \ {(b, a) :( a, b) \ in R \}}$

Обозначение

Обратное импликации P → Q может быть записано Q → P , но также может быть обозначено , или «B pq » (в обозначениях Бохенского ). ${\ Displaystyle P \ leftarrow Q}$${\ displaystyle P \ subset Q}$

Категорическое обратное

В традиционной логике процесс перехода от «Все S есть P» к обратному «Все P суть S» называется преобразованием . По словам Асы Махана :

«Первоначальное утверждение называется exposita; при преобразовании оно называется обратным. Преобразование действительно тогда и только тогда, когда в обратном не утверждается ничего, что не подтверждается или подразумевается в exposita».

"Exposita" чаще называют "обращенным". В своей простой форме преобразование действительно только для предложений E и I :

Справедливость простого преобразования только для предложений E и I может быть выражена ограничением, что «ни один термин не должен распределяться в обратном, который не распространяется в обращенном». Для предложений E как подлежащее, так и предикат распределены , в то время как для предложений I нет ни того, ни другого.

Для предложений A субъект распределен, а предикат - нет, поэтому вывод из утверждения A к его обратному неверен. Например, для утверждения А «Все кошки - млекопитающие» обратное «Все млекопитающие - кошки» явно неверно. Однако более слабое утверждение «Некоторые млекопитающие - кошки» верно. Логики определяют преобразование per accidens как процесс создания этого более слабого утверждения. Вывод от утверждения к его обратному per accidens обычно верен. Однако, как и в случае с силлогизмами , этот переход от универсального к частному вызывает проблемы с пустыми категориями: «Все единороги - млекопитающие» часто принимают за истину, в то время как обратное утверждение per accidens «Некоторые млекопитающие - единороги» явно ложно.

В первом порядке исчисления предикатов , все S есть Р может быть представлена в виде . Поэтому ясно , что категорические обратный тесно связан с импликационным обратным, и что S и P не может быть выгружен в Всех S есть P . ${\ Displaystyle \ forall xS (x) \ к P (x)}$

Смотрите также

• Аристотель
• Противопоставление
• Конверс (семантика)
• Вывод
• Обратный (логика)
• Логическая связка
• Обверсия
• Силлогизм
• Термин логика
• Транспонирование (логика)

Ссылки

дальнейшее чтение

• Аристотель . Органон .
• Копи, Ирвинг . Введение в логику . Макмиллан, 1953 год.
• Копи, Ирвинг. Символическая логика . MacMillan, 1979, пятое издание.
• Стеббинг, Сьюзен . Современное введение в логику . Компания Cromwell, 1931 год.