Непрерывное вейвлет-преобразование - Continuous wavelet transform

Непрерывное вейвлет- преобразование сигнала пробоя частоты. Использовал симлет с 5 исчезающими моментами.

В математике , то непрерывное вейвлет - преобразование ( НВП ) является формальным (то есть, нечисленным) инструментом , который обеспечивает сверхполное представление сигнала, позволяя перевод и масштабный параметр вейвлет непрерывно изменяется.

Непрерывное вейвлет-преобразование функции в масштабе (a> 0) и поступательном значении выражается следующим интегралом ${\ Displaystyle х (т)}$${\ Displaystyle а \ ин \ mathbb {R ^ {+ *}}}$${\ displaystyle b \ in \ mathbb {R}}$

$${\ displaystyle X_ {w} (a, b) = {\ frac {1} {| a | ^ {1/2}}} \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} x (t) {\ overline {\ psi}} \ left ({\ frac {tb} {a}} \ right) \, dt}$$

где - непрерывная функция как во временной области, так и в частотной области, называемая материнским вейвлетом, а верхняя черта представляет операцию комплексного сопряжения . Основная цель материнского вейвлета - предоставить функцию источника для генерации дочерних вейвлетов, которые являются просто переведенными и масштабированными версиями материнского вейвлета. Чтобы восстановить исходный сигнал , можно использовать первое обратное непрерывное вейвлет-преобразование. ${\ Displaystyle \ psi (т)}$${\ Displaystyle х (т)}$

${\ displaystyle x (t) = C _ {\ psi} ^ {- 1} \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} X_ {w} (a , б) {\ frac {1} {| a | ^ {1/2}}} {\ tilde {\ psi}} \ left ({\ frac {tb} {a}} \ right) \, db \ { \ frac {da} {а ^ {2}}}}$

${\ Displaystyle {\ тильда {\ psi}} (т)}$является двойной функцией от и ${\ Displaystyle \ psi (т)}$

${\ displaystyle C _ {\ psi} = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} {\ frac {{\ overline {\ hat {\ psi}}} (\ omega) {\ hat {\ tilde {\ psi}}} (\ omega)} {| \ omega |}} \, d \ omega}$

допустимая константа, где шляпа означает оператор преобразования Фурье. Иногда допустимая константа принимает вид ${\ Displaystyle {\ тильда {\ psi}} (t) = \ psi (t)}$

${\ displaystyle C _ {\ psi} = \ int _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} {\ frac {\ left | {\ hat {\ psi}} (\ omega) \ right | ^ {2}} {\ left | \ omega \ right |}} \, d \ omega}$

Традиционно эта постоянная называется допустимой вейвлет-константой. Всплеск, допустимая константа которого удовлетворяет

${\ displaystyle 0 <C _ {\ psi} <\ infty}$

называется допустимым вейвлетом. Допустимый вейвлет означает это , так что допустимый вейвлет должен интегрироваться до нуля. Чтобы восстановить исходный сигнал , можно использовать второе обратное непрерывное вейвлет-преобразование. ${\ displaystyle {\ hat {\ psi}} (0) = 0}$${\ Displaystyle х (т)}$

${\ displaystyle x (t) = {\ frac {1} {2 \ pi {\ overline {\ hat {\ psi}}} (1)}} \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} {\ frac {1} {a ^ {2}}} X_ {w} (a, b) \ exp \ left (i {\ frac {tb} {a}} \ right) \, db \ da}$

Это обратное преобразование предполагает, что вейвлет должен быть определен как

${\ Displaystyle \ пси (т) = вес (т) \ ехр (оно)}$

где окно. Такой определенный вейвлет можно назвать анализирующим вейвлетом, поскольку он допускает частотно-временной анализ. Анализирующий вейвлет не является допустимым. ${\ Displaystyle ш (т)}$

Масштаб

Масштабный коэффициент либо расширяет, либо сжимает сигнал. Когда коэффициент масштабирования относительно низкий, сигнал становится более сжатым, что, в свою очередь, приводит к более подробному результирующему графику. Однако недостатком является то, что низкий масштабный коэффициент не сохраняется на протяжении всего сигнала. С другой стороны, при высоком масштабном коэффициенте сигнал растягивается, что означает, что результирующий график будет представлен менее подробно. Тем не менее, обычно он длится всю продолжительность сигнала. ${\ displaystyle a}$

Свойства непрерывного вейвлет-преобразования

По определению, непрерывное вейвлет-преобразование - это свертка последовательности входных данных с набором функций, генерируемых материнским вейвлетом. Свертка может быть вычислена с помощью алгоритма быстрого преобразования Фурье (БПФ). Обычно на выходе получается функция с действительным знаком, за исключением тех случаев, когда материнский вейвлет является комплексным. Комплексный материнский вейвлет преобразует непрерывное вейвлет-преобразование в комплексную функцию. Спектр мощности непрерывного вейвлет-преобразования может быть представлен как . ${\ Displaystyle X_ {ш} (а, б)}$${\ Displaystyle | X_ {ш} (а, б) | ^ {2}}$

Приложения вейвлет-преобразования

Одно из самых популярных приложений вейвлет-преобразования - сжатие изображений. Преимущество использования вейвлет-кодирования при сжатии изображения заключается в том, что оно обеспечивает значительное улучшение качества изображения при более высоких степенях сжатия по сравнению с традиционными методами. Поскольку вейвлет-преобразование позволяет разложить сложную информацию и шаблоны на элементарные формы, оно обычно используется в акустической обработке и распознавании образов, но также было предложено в качестве мгновенной оценки частоты. Более того, вейвлет-преобразования могут применяться в следующих областях научных исследований: обнаружение краев и углов, решение уравнений в частных производных, обнаружение переходных процессов, проектирование фильтров, анализ электрокардиограммы (ЭКГ), анализ текстуры, анализ деловой информации и анализ походки. Вейвлет-преобразования также можно использовать в анализе данных электроэнцефалографии (ЭЭГ) для выявления эпилептических всплесков, вызванных эпилепсией . Вейвлет-преобразование также успешно использовалось для интерпретации временных рядов оползней.

Непрерывное волновое преобразование (CWT) очень эффективно при определении коэффициента затухания колебательных сигналов (например, идентификация затухания в динамических системах). CWT также очень устойчив к шумам в сигнале.

Смотрите также

• Непрерывный вейвлет
• S преобразование
• Частотно-временной анализ

использованная литература

• А. Гроссманн и Дж. Морле, 1984, Разложение функций Харди на квадратные интегрируемые всплески постоянной формы, Soc. Int. Являюсь. Математика. (SIAM), J. Math. Analys., 15, 723-736.
• Линтао Лю и Хоутсе Сюй (2012) «Инверсия и нормализация частотно-временного преобразования» AMIS 6 № 1S стр. 67S-74S.
• Стефан Малла , "Вейвлет-тур по обработке сигналов", 2-е издание, Academic Press, 1999, ISBN  0-12-466606-X
• Дин, Цзянь-Цзюн (2008), Частотно-временной анализ и вейвлет-преобразование , просмотрено 19 января 2008 г.
• Поликар, Роби (2001), Учебное пособие по вейвлетам , просмотрено 19 января 2008 г.
• WaveMetrics (2004), Частотно-временной анализ , просмотрен 18 января 2008 г.
• Валенс, Клеменс (2004 г.), Действительно дружественное руководство по вейвлетам , просмотрено 18 сентября 2018 г.]
• Непрерывное вейвлет-преобразование в системе Mathematica
• Леваль, Жак: Непрерывное вейвлет-преобразование , просмотрено 6 февраля 2010 г.