Связь (аффинная связка) - Connection (affine bundle)

Пусть Y → X быть аффинное расслоение смоделированы над вектором расслоения Y → X . Соединение Γ на Y → X называется аффинная связность , если он в качестве секции Г: Y → J ¹ Y от струи расслоения J ¹ Y → Y из Y является аффинное расслоение морфизм над X . В частности, это аффинная связность на касательном расслоении T X из гладкого многообразия X . (То есть связь на аффинной связке является примером аффинной связи; это, однако, не является общим определением аффинной связи. Это связанные, но разные концепции, оба, к сожалению, используют прилагательное «аффинно».)

Относительно координат аффинного расслоения ( x ^λ , y ⁱ ) на Y аффинная связность Γ на Y → X задается формой касательной связности

${\ displaystyle {\ begin {align} \ Gamma & = dx ^ {\ lambda} \ otimes \ left (\ partial _ {\ lambda} + \ Gamma _ {\ lambda} ^ {i} \ partial _ {i} \ справа) \ ,, \\\ Gamma _ {\ lambda} ^ {i} & = {{\ Gamma _ {\ lambda}} ^ {i}} _ {j} \ left (x ^ {\ nu} \ right ) y ^ {j} + \ sigma _ {\ lambda} ^ {i} \ left (x ^ {\ nu} \ right) \,. \ end {align}}}$

Аффинное расслоение - это расслоение с общей аффинной структурной группой GA ( m , ℝ) аффинных преобразований его типичного слоя V размерности m . Следовательно, аффинное соединение связано с основным соединением . Он существует всегда.

Для любого аффинной связности Г: Y → J ¹ Y , то соответствующая линейной производной Г  : Y → J ¹ Y аффинного морфизма Γ однозначно определяет линейную связность на векторном расслоении Y → X . Относительно координат линейного расслоения ( x ^λ , y ⁱ ) на Y эта связь имеет вид

${\ displaystyle {\ overline {\ Gamma}} = dx ^ {\ lambda} \ otimes \ left (\ partial _ {\ lambda} + {{\ Gamma _ {\ lambda}} ^ {i}} _ {j} \ left (x ^ {\ nu} \ right) {\ overline {y}} ^ {j} {\ overline {\ partial}} _ {i} \ right) \ ,.}$

Поскольку каждое векторное расслоение является аффинным расслоением, любая линейная связность на векторном расслоении также является аффинной связностью.

Если Y → X - векторное расслоение, и аффинная связность Γ, и соответствующая линейная связность Γ являются связностями в одном векторном расслоении Y → X , и их различие является основной формой пайки на

${\ displaystyle \ sigma = \ sigma _ {\ lambda} ^ {i} (x ^ {\ nu}) dx ^ {\ lambda} \ otimes \ partial _ {i} \ ,.}$

Таким образом, каждая аффинная связность на векторном расслоении Y → X является суммой линейной связности и основной формы пайки на Y → X .

За счет канонического вертикального разбиения V Y = Y × Y эта форма пайки приводится к векторнозначной форме

${\ displaystyle \ sigma = \ sigma _ {\ lambda} ^ {i} (x ^ {\ nu}) dx ^ {\ lambda} \ otimes e_ {i}}$

где е _я являюсь основой для волоконно - Y .

Для аффинной связности Γ на векторном расслоении Y → X пусть R и R - кривизны связности Γ и связанной с ней линейной связности Γ соответственно. Нетрудно заметить, что R = R + T , где

${\ displaystyle {\ begin {align} T & = {\ tfrac {1} {2}} T _ {\ lambda \ mu} ^ {i} dx ^ {\ lambda} \ wedge dx ^ {\ mu} \ otimes \ partial _ {i} \ ,, \\ T _ {\ lambda \ mu} ^ {i} & = \ partial _ {\ lambda} \ sigma _ {\ mu} ^ {i} - \ partial _ {\ mu} \ sigma _ {\ lambda} ^ {i} + \ sigma _ {\ lambda} ^ {h} {{\ Gamma _ {\ mu}} ^ {i}} _ {h} - \ sigma _ {\ mu} ^ { h} {{\ Gamma _ {\ lambda}} ^ {i}} _ {h} \ ,, \ end {выровнено}}}$

является торсионной из Г по отношению к основной форме пайки сг .

В частности, рассмотрим касательное расслоение T X многообразия X, координированное посредством ( x ^μ , ẋ ^μ ) . Есть каноническая форма пайки

${\ displaystyle \ theta = dx ^ {\ mu} \ otimes {\ dot {\ partial}} _ {\ mu}}$

на T X, что совпадает с тавтологической одноформой

${\ displaystyle \ theta _ {X} = dx ^ {\ mu} \ otimes \ partial _ {\ mu}}$

на X из - за каноническое вертикальное расщепление В.Т. X = Т Х × Т X . Для произвольной линейной связности Γ на T X соответствующая аффинная связность

${\ displaystyle {\ begin {align} A & = \ Gamma + \ theta \ ,, \\ A _ {\ lambda} ^ {\ mu} & = {{\ Gamma _ {\ lambda}} ^ {\ mu}} _ {\ nu} {\ dot {x}} ^ {\ nu} + \ delta _ {\ lambda} ^ {\ mu} \ ,, \ end {выровнено}}}$

на T X - это связь Картана . Кручение картановской связности A относительно формы пайки θ совпадает с кручением линейной связности Γ , а ее кривизна представляет собой сумму R + T кривизны и кручения Γ .

Смотрите также

• Связь (расслоенное многообразие)
• Аффинная связь
• Подключение (векторный набор)
• Связь (математика)
• Аффинная калибровочная теория

Рекомендации

• Кобаяши, С .; Номидзу, К. (1996). Основы дифференциальной геометрии . 1–2 . Wiley-Interscience. ISBN   0-471-15733-3 .
• Сарданашвили Г. (2013). Продвинутая дифференциальная геометрия для теоретиков. Слои, многообразия струй и лагранжева теория . Lambert Academic Publishing. arXiv : 0908.1886 . Bibcode : 2009arXiv0908.1886S . ISBN   978-3-659-37815-7 .