Когерентные состояния в математической физике - Coherent states in mathematical physics

Когерентные состояния были введены в физическом контексте, сначала как квазиклассические состояния в квантовой механике , затем как основа квантовой оптики, и они описаны в этом духе в статье «Когерентные состояния» (см. Также). Однако они породили огромное количество обобщений, которые привели к огромному количеству литературы по математической физике . В этой статье мы наметим основные направления исследований в этом направлении. Для получения дополнительной информации мы ссылаемся на несколько существующих обзоров.

Общее определение

Позвольте быть комплексным, сепарабельным гильбертовым пространством, локально компактным пространством и мерой на . Для каждого in обозначьте вектор in . Предположим, что этот набор векторов обладает следующими свойствами: ${\ Displaystyle {\ mathfrak {H}} \,}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle d \ nu}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle X}$${\ Displaystyle | х \ rangle}$${\ displaystyle {\ mathfrak {H}}}$

1. Отображение слабо непрерывно, т. Е. Для каждого вектора в функция непрерывна (в топологии ).${\ Displaystyle х \ mapsto | х \ rangle}$${\ displaystyle | \ phi \ rangle}$${\ displaystyle {\ mathfrak {H}}}$${\ Displaystyle \ Psi (x) = \ langle x | \ phi \ rangle}$${\ displaystyle X}$
2. Разрешение идентичности

${\ displaystyle \ int _ {X} | x \ rangle \ langle x | \; d \ nu (x) = I _ {\ mathfrak {H}}}$

держит в слабом смысле на гильбертовом пространстве , то есть для любых двух векторов в следующем равенстве: ${\ displaystyle {\ mathfrak {H}}}$${\ displaystyle | \ phi \ rangle, | \ psi \ rangle}$${\ displaystyle {\ mathfrak {H}}}$

${\ Displaystyle \ int _ {X} \ langle \ phi | x \ rangle \ langle x | \ psi \ rangle \; d \ nu (x) = \ langle \ phi | \ psi \ rangle \ ;.}$

Набор векторов, удовлетворяющих двум указанным выше свойствам, называется семейством обобщенных когерентных состояний . Чтобы восстановить предыдущее определение (данное в статье Когерентное состояние ) канонических или стандартных когерентных состояний (CCS), достаточно взять комплексную плоскость и${\ Displaystyle | х \ rangle}$${\ Displaystyle X \ эквив \ mathbb {C}}$${\ Displaystyle d \ nu (x) \ Equiv {\ frac {1} {\ pi}} d ^ {2} x.}$

Иногда разрешение условия идентичности заменяется более слабым условием, когда векторы просто образуют общий набор, а функции , проходящие через него , образуют воспроизводящее ядро ​​Гильбертова пространство . Цель в обоих случаях - гарантировать, что произвольный вектор может быть выражен как линейная (целая) комбинация этих векторов. Действительно, из разрешения тождества сразу следует, что ${\ Displaystyle | х \ rangle}$${\ Displaystyle {\ mathfrak {H}} \,}$${\ Displaystyle \ Psi (x) = \ langle x | \ psi \ rangle}$${\ displaystyle | \ psi \ rangle}$${\ displaystyle {\ mathfrak {H}}}$${\ displaystyle | \ psi \ rangle}$

${\ Displaystyle | \ psi \ rangle = \ int _ {X} \ Psi (x) | x \ rangle \; d \ nu (x) \ ;,}$

где . ${\ Displaystyle \ Psi (x) = \ langle x | \ psi \ rangle}$

Эти векторы являются квадратично интегрируемыми, непрерывными функциями на и удовлетворяют свойству воспроизведения${\ displaystyle \ Psi}$${\ displaystyle X}$

${\ Displaystyle \ int _ {X} К (х, у) \ пси (у) \; д \ ню (у) = \ пси (х) \ ,,}$

где - воспроизводящее ядро, удовлетворяющее следующим свойствам ${\ Displaystyle К (x, y) = \ langle x | y \ rangle}$

${\ Displaystyle \ квад К (х, у) = {\ overline {К (у, х)}} \;, \ qquad K (х, х)> 0 \ ;,}$

${\ Displaystyle \ int _ {X} К (х, z) \; К (z, y) \; d \ nu (z) = K (x, y) \ ;.}$

Несколько примеров

В этом разделе мы представляем некоторые из наиболее часто используемых типов когерентных состояний в качестве иллюстраций общей структуры, приведенной выше.

Нелинейные когерентные состояния

Широкий класс обобщений CCS получается простой модификацией их аналитической структуры. Позвольте быть бесконечной последовательности положительных чисел ( ). Определите и по соглашению установите . В том же пространстве Фока, в котором были описаны CCS, мы теперь определяем связанные деформированные или нелинейные когерентные состояния с помощью разложения ${\ displaystyle \ varepsilon _ {1} \ leq \ varepsilon _ {2} \ leq \ ldots \ leq \ varepsilon _ {n} \ leq \ ldots}$${\ displaystyle \ varepsilon _ {1} \ neq 0}$${\ displaystyle \ varepsilon _ {n}! = \ varepsilon _ {1} \ varepsilon _ {2} \ ldots \ varepsilon _ {n}}$${\ displaystyle \ varepsilon _ {0}! = 1}$

${\ displaystyle \ vert \ alpha \ rangle = {\ mathcal {N}} (\ vert \ alpha \ vert ^ {2}) ^ {- {\ frac {1} {2}}} \; \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ frac {\ alpha ^ {n}} {\ sqrt {\ varepsilon _ {n}!}}} | N \ rangle \ ,.}$

Коэффициент нормировки выбирается так, чтобы . Эти обобщенные когерентные состояния являются переполненными в пространстве Фока и удовлетворяют разрешению тождества ${\ Displaystyle {\ mathcal {N}} (\ верт \ альфа \ верт ^ {2})}$${\ Displaystyle \ langle \ альфа \ верт \ альфа \ rangle = 1}$

${\ displaystyle \ int _ {\ mathcal {D}} \ vert \ alpha \ rangle \ langle \ alpha \ vert \; {\ mathcal {N}} (\ vert \ alpha \ vert ^ {2}) \; d \ nu (\ alpha, {\ overline {\ alpha}}) = I \ ;,}$

${\ Displaystyle {\ mathcal {D}}}$будучи открытым диском в комплексной плоскости радиуса , радиус сходимости ряда (в случае CCS,. ) В общем случае мера имеет форму (для ), где связана с условием сквозного момента. ${\ displaystyle L}$${\ displaystyle \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ frac {\ alpha ^ {n}} {\ sqrt {\ varepsilon _ {n}!}}}}$${\ Displaystyle L = \ infty}$${\ displaystyle d \ nu}$${\ Displaystyle д \ тета \; д \ лямбда (г)}$${\ Displaystyle \ альфа = ре ^ {я \ тета}}$${\ displaystyle d \ lambda}$${\ displaystyle \ varepsilon _ {n}!}$

Мы снова видим, что для произвольного вектора в пространстве Фока функция имеет вид , где - аналитическая функция в области . Воспроизводящее ядро, связанное с этими когерентными состояниями, есть ${\ displaystyle | \ phi \ rangle}$${\ Displaystyle \ Phi (\ альфа) = \ langle \ phi | \ альфа \ rangle}$${\ displaystyle \ Phi (\ alpha) = {\ mathcal {N}} (\ vert \ alpha \ vert ^ {2}) ^ {- {\ frac {1} {2}}} f (\ alpha)}$${\ displaystyle f \,}$${\ Displaystyle {\ mathcal {D}}}$

${\ Displaystyle К ({\ overline {\ alpha}}, \ alpha ') = \ langle \ alpha | \ alpha' \ rangle = \ left [{\ mathcal {N}} (\ vert \ alpha \ vert ^ {2 }) {\ mathcal {N}} (\ vert \ alpha '\ vert ^ {2}) \ right] ^ {- {\ frac {1} {2}}} \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ frac {({\ overline {\ alpha}} \ alpha ') ^ {n}} {\ varepsilon _ {n}!}} \ ;.}$

Когерентные состояния Барута – Жирарделло.

По аналогии со случаем CCS, можно определить обобщенный оператор уничтожения по его действию на векторы : ${\ displaystyle A}$${\ displaystyle | \ alpha \ rangle}$

${\ Displaystyle А | \ альфа \ rangle = \ альфа | \ альфа \ rangle \ ;,}$

и сопряженный к нему оператор . Они действуют на состояния Фока как ${\ displaystyle A ^ {\ dagger}}$ ${\ displaystyle | п \ rangle}$

${\ displaystyle A | n \ rangle = {\ sqrt {\ varepsilon _ {n}}} | n-1 \ rangle \;, \ qquad A ^ {\ dagger} | n \ rangle = {\ sqrt {\ varepsilon _ {n + 1}}} | n + 1 \ rangle \ ;.}$

В зависимости от точных значений величин эти два оператора вместе с тождеством и всеми их коммутаторами могут генерировать широкий спектр алгебр, включая различные типы деформированных квантовых алгебр . Термин `` нелинейный '', часто применяемый к этим обобщенным когерентным состояниям, снова происходит из квантовой оптики, где многие такие семейства состояний используются при изучении взаимодействия между полем излучения и атомами, где сила самого взаимодействия зависит от частоты излучения. Конечно, эти когерентные состояния, как правило, не обладают ни теоретико-групповыми свойствами, ни свойствами минимальной неопределенности CCS (могут быть и более общие). ${\ displaystyle \ varepsilon _ {n}}$${\ displaystyle I}$

Операторы и определенного выше общего типа также известны как операторы лестничной диаграммы . Когда такие операторы появляются как генераторы представлений алгебр Ли, собственные векторы обычно называют когерентными состояниями Барута – Жирарделло . Типичный пример получается из представлений алгебры Ли группы SU (1,1) в пространстве Фока . ${\ displaystyle A}$${\ displaystyle A ^ {\ dagger}}$${\ displaystyle A}$

Когерентные состояния Газо – Клаудера.

Неаналитическое расширение приведенного выше выражения нелинейных когерентных состояний часто используется для определения обобщенных когерентных состояний, связанных с физическими гамильтонианами, имеющими чисто точечные спектры. Эти когерентные состояния, известные как когерентные состояния Газо – Клаудера , помечены переменными действие-угол . Предположим, что нам дан физический гамильтониан , т. Е. Он имеет собственные значения энергии и собственные векторы , которые, как мы предполагаем, образуют ортонормированный базис для гильбертова пространства состояний . Запишем собственные , как вводя последовательность безразмерных величин упорядоченных как: . Тогда для всех и когерентные состояния Газо – Клаудера определяются как ${\ displaystyle H = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} E_ {n} | n \ rangle \ langle n |}$${\ displaystyle E_ {0} = 0}$${\ displaystyle E_ {n}}$${\ displaystyle | п \ rangle}$${\ displaystyle {\ mathfrak {H}}}$${\ displaystyle E_ {n} = \ omega \ varepsilon _ {n}}$${\ Displaystyle \ {\ varepsilon _ {п} \}}$${\ Displaystyle 0 = \ varepsilon _ {0} <\ varepsilon _ {1} <\ varepsilon _ {2} <\ ldots \;}$${\ displaystyle J \ geq 0}$${\ displaystyle \ gamma \ in \ mathbb {R}}$

${\ displaystyle | J, \ gamma \ rangle = {\ mathcal {N}} (J) ^ {- {\ frac {1} {2}}} \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} \, {\ frac {J ^ {n / 2} e ^ {- i \ varepsilon _ {n} \ gamma}} {\ sqrt {\ varepsilon _ {n}!}}} | n \ rangle \ ;,}$

где снова - коэффициент нормализации, который оказывается зависимым только от. Эти когерентные состояния удовлетворяют условию временной устойчивости , ${\ displaystyle {\ mathcal {N}}}$${\ displaystyle J}$

${\ displaystyle e ^ {- iHt} \ vert J, \ gamma \ rangle = \ vert J, \ gamma + \ omega t \ rangle \ ;,}$

и личность действия ,

${\ displaystyle \ langle J, \ gamma | H | J, \ gamma \ rangle _ {\ mathfrak {H}} = \ omega J \ ;.}$

Хотя эти обобщенные когерентные состояния действительно образуют сверхполный набор , разрешение тождества обычно задается не интегральным соотношением, как выше, а вместо этого интегралом в смысле Бора, как это используется в теории почти периодических функций . ${\ displaystyle {\ mathfrak {H}}}$

Фактически конструкция CS Газо – Клаудера может быть расширена на векторные CS и гамильтонианы с вырожденными спектрами, как показали Али и Багарелло.

Когерентные состояния теплового ядра

Другой тип когерентного состояния возникает при рассмотрении частицы, конфигурационного пространство является группой многообразия компактной группы Ли K . Холл представил когерентные состояния , в которых обычно Gaussian на евклидовом пространстве заменяется тепловым ядром на К . Пространство параметров когерентных состояний - это « комплексификация » K; например, если K есть SU (n), то комплексификация SL ( n , C ). Эти когерентные состояния имеют разрешение идентичности, которое приводит к пространству Сигала-Баргмана над комплексификацией. Результаты Холла были распространены Стензелем на компактные симметрические пространства, включая сферы. Когерентные состояния теплового ядра в этом случае были применены в теории квантовой гравитации Тиманом и его сотрудниками. Хотя в построении участвуют две разные группы Ли, когерентные состояния теплового ядра не относятся к переломовскому типу. ${\ Displaystyle К = \ mathrm {SU} (2)}$

Теоретико-групповой подход

Гилмор и Переломов независимо друг от друга осознали, что построение когерентных состояний иногда можно рассматривать как теоретико-групповую проблему.

Чтобы убедиться в этом, вернемся ненадолго к случаю CCS. Действительно, там оператор смещения есть не что иное, как представитель в пространстве Фока элемента группы Гейзенберга (также называемой группой Вейля – Гейзенберга), алгебра Ли которой порождается элементами и . Однако прежде чем переходить к CCS, рассмотрим сначала общий случай. ${\ Displaystyle D (\ альфа) \;}$${\ Displaystyle X, \, P}$${\ displaystyle I}$

Пусть - локально компактная группа, и предположим, что она имеет непрерывное неприводимое представление в гильбертовом пространстве с помощью унитарных операторов . Это представление называется квадратично интегрируемых , если существует ненулевой вектор в , для которых интеграл ${\ displaystyle G}$ ${\ displaystyle U}$${\ Displaystyle {\ mathfrak {H}} \,}$${\ Displaystyle U (г), \; г \ в G}$${\ displaystyle | \ psi \ rangle}$${\ Displaystyle {\ mathfrak {H}} \;}$

${\ Displaystyle с (\ psi) = \ int _ {G} \ vert \ langle \ psi | U (g) \ psi \ rangle \ vert ^ {2} \; d \ mu (g)}$

сходится. Вот левая инвариантная мера Хаара на . Вектор, для которого называется допустимым , и можно показать, что существование одного такого вектора гарантирует существование всего плотного множества таких векторов в . Кроме того, если группа является унимодулярной , то есть, если левым и правые инвариантными меры совпадают, то существование одного допустимого вектора означает , что каждый вектор является допустимым. Учитывая квадратично интегрируемое представление и допустимый вектор , определим векторы ${\ displaystyle d \ mu}$${\ displaystyle G}$${\ displaystyle | \ psi \ rangle}$${\ Displaystyle с (\ фунт / кв. дюйм) <\ infty}$${\ displaystyle {\ mathfrak {H}}}$${\ displaystyle G}$${\ Displaystyle {\ mathfrak {H}} \;}$${\ displaystyle U}$${\ displaystyle | \ psi \ rangle}$

${\ displaystyle | g \ rangle = {\ frac {1} {\ sqrt {c (\ psi)}}} \; U (g) | \ psi \ rangle, {\ mbox {для всех}} g \ in G .}$

Эти векторы являются аналогами канонических когерентных состояний, записанных там в терминах представления группы Гейзенберга (однако см. Раздел о CS Гилмора-Переломова ниже). Далее можно показать, что разрешение тождества

${\ displaystyle \ int _ {G} | g \ rangle \ langle g | \; d \ mu (g) ​​= I _ {\ mathfrak {H}}}$

держится . Таким образом, векторы составляют семейство обобщенных когерентных состояний. Функции для всех векторов в квадратично интегрируемы по мере, и множество таких функций, которые на самом деле непрерывны в топологии , образует замкнутое подпространство в . Кроме того, отображение является линейной изометрией между и и при этом изометрии представление $ U $ получает отображается в подпредставлению левого регулярного представления о на . ${\ displaystyle {\ mathfrak {H}}}$${\ displaystyle | g \ rangle}$${\ Displaystyle F (g) = \ langle g | \ phi \ rangle}$${\ displaystyle | \ phi \ rangle}$${\ Displaystyle {\ mathfrak {H}} \;}$${\ displaystyle d \ mu}$${\ displaystyle G}$${\ Displaystyle L ^ {2} (G, d \ mu)}$${\ displaystyle \ phi \ mapsto F}$${\ Displaystyle {\ mathfrak {H}} \;}$${\ Displaystyle L ^ {2} (G, d \ mu)}$${\ displaystyle G}$${\ Displaystyle L ^ {2} (G, d \ mu)}$

Пример: вейвлеты

Типичный пример приведенной выше конструкции - аффинная группа строки . Это группа всех 2 2 матриц типа, ${\ displaystyle G _ {\ text {Aff}}}$${\ displaystyle \ times}$

${\ displaystyle g = {\ begin {pmatrix} a & b \\ 0 & 1 \ end {pmatrix}} \ ;,}$

${\ displaystyle a}$и быть действительными числами с . Так же напишем , с действием по заданному . Эта группа не унимодулярна, с левой инвариантной мерой, задаваемой (правая инвариантная мера есть ). Аффинная группа имеет унитарное неприводимое представление в гильбертовом пространстве . Векторы в являются измеримыми функциями действительной переменной, и (унитарные) операторы этого представления действуют на них как ${\ displaystyle b}$${\ Displaystyle а \ neq 0}$${\ Displaystyle г = (Ь, а)}$${\ Displaystyle \ mathbb {R}}$${\ displaystyle (b, a) \ cdot x = b + ax}$${\ Displaystyle д \ му (Ь, а) = а ^ {- 2} \; дб \; да}$${\ displaystyle a ^ {- 1} \; db \; da}$${\ Displaystyle L ^ {2} (\ mathbb {R}, dx)}$${\ Displaystyle L ^ {2} (\ mathbb {R}, dx)}$${\ Displaystyle \ varphi (х)}$${\ displaystyle x}$${\ Displaystyle U (Ь, а)}$

${\ displaystyle (U (b, a) \ varphi) (x) = {\ frac {1} {\ sqrt {\ vert a \ vert}}} \; \ varphi \ left ({\ frac {xb} {a }} \ right) = {\ frac {1} {\ sqrt {\ vert a \ vert}}} \; \ varphi \ left ((b, a) ^ {- 1} \ cdot x \ right) \ ;. }$

Если - функция в такой, что ее преобразование Фурье удовлетворяет условию (допустимости) ${\ displaystyle \ psi}$${\ Displaystyle L ^ {2} (\ mathbb {R}, dx)}$ ${\ displaystyle {\ widehat {\ psi}}}$

${\ displaystyle \ int _ {\ mathbb {R}} {\ frac {\ vert {\ widehat {\ psi}} (k) \ vert ^ {2}} {\ vert k \ vert}} \; dk <\ infty \ ;,}$

то можно показать, что это допустимый вектор, т. е.

${\ displaystyle c (\ psi) = \ int _ {G _ {\ text {Aff}}} \ vert \ langle \ psi | U (b, a) \ psi \ rangle \ vert ^ {2} \; {\ frac {db \; da} {a ^ {2}}} <\ infty \ ;.}$

Таким образом, следуя общей конструкции, изложенной выше, векторы

${\ displaystyle | b, a \ rangle = {\ frac {1} {\ sqrt {c (\ psi)}}} \; U (b, a) \ psi \;, \ qquad (b, a) \ in G _ {\ text {Aff}}}$

определить семейство обобщенных когерентных состояний и получить разрешение тождества

${\ displaystyle \ int _ {G _ {\ text {Aff}}} | b, a \ rangle \ langle b, a | \; {\ frac {db \; da} {a ^ {2}}} = I}$

на . В литературе по анализу сигналов вектор, удовлетворяющий вышеуказанному условию допустимости, называется материнским вейвлетом, а обобщенные когерентные состояния называются вейвлетами . Затем сигналы идентифицируются векторами в и функция ${\ Displaystyle L ^ {2} (\ mathbb {R}, dx)}$${\ displaystyle | b, a \ rangle}$${\ displaystyle | \ varphi \ rangle}$${\ Displaystyle L ^ {2} (\ mathbb {R}, dx)}$

${\ Displaystyle F (b, a) = \ langle b, a | \ varphi \ rangle \ ;,}$

называется непрерывным вейвлет-преобразованием сигнала . ${\ displaystyle \ varphi}$

Эту концепцию можно расширить до двух измерений, заменив группу так называемой группой подобия плоскости, которая состоит из смещений плоскости, поворотов и глобальных расширений. Полученные двумерные вейвлеты и некоторые их обобщения широко используются при обработке изображений . ${\ Displaystyle G _ {\ text {Aff}} \;}$

Когерентные состояния Гилмора – Переломова.

Построения когерентных состояний с использованием описанных выше представлений групп недостаточно. Он уже не может дать CCS, поскольку они индексируются не элементами группы Гейзенберга , а скорее точками отношения последней к ее центру, причем именно это частное . Ключевое наблюдение состоит в том, что центр группы Гейзенберга оставляет вакуумный вектор инвариантным с точностью до фазы. Обобщая эту идею, Гилмор и Переломов рассматривают локально компактную группу и унитарное неприводимое представление группы в гильбертовом пространстве , не обязательно квадратично интегрируемое. Зафиксируем вектор in единичной нормы и обозначим подгруппой из, состоящей из всех элементов, которые оставляют его инвариантным с точностью до фазы , т. Е. ${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {2}}$${\ displaystyle | 0 \ rangle}$${\ displaystyle G}$${\ displaystyle U}$${\ displaystyle G}$${\ displaystyle {\ mathfrak {H}}}$${\ displaystyle | \ psi \ rangle}$${\ displaystyle {\ mathfrak {H}}}$${\ displaystyle H}$${\ displaystyle G}$${\ displaystyle h}$

${\ Displaystyle U (h) \ mid \ psi \ rangle = e ^ {я \ omega (h)} \ mid \ psi \ rangle \ ,,}$

где - действительная функция от . Позвольте быть левое пространство смежности и произвольный элемент в . Выбирая представителя смежного класса , для каждого смежного класса мы определяем векторы ${\ displaystyle \ omega}$${\ displaystyle h}$${\ Displaystyle X = G / H}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle g (x) \ in G}$${\ displaystyle x}$

${\ displaystyle | x \ rangle = U (g (x)) | \ psi \ rangle \ in {\ mathfrak {H}}.}$

Зависимость этих векторов от конкретного выбора представителя смежного класса носит фазовый характер. Действительно, если бы вместо этого мы взяли другого представителя для одного и того же смежного класса , то, поскольку для некоторых , мы бы имели . Следовательно, квантово-механически оба и представляют одно и то же физическое состояние, и, в частности, оператор проекции зависит только от смежного класса. Определенные таким образом векторы называются когерентными состояниями Гилмора – Переломова . Поскольку предполагается, что они неприводимы, множество всех этих векторов при пробеге плотно в . В этом определении обобщенных когерентных состояний не постулируется разрешение идентичности. Однако, если несет инвариантную меру, под естественным действием , и если формальный оператор, определенный как ${\ displaystyle g (x)}$${\ displaystyle g (x)}$${\ displaystyle g (x) '\ in G}$${\ displaystyle x}$${\ Displaystyle г (х) '= г (х) ч}$${\ displaystyle h \ in H}$${\ Displaystyle U (г (х) ') | \ psi \ rangle = e ^ {я \ omega (h)} | x \ rangle}$${\ Displaystyle | х \ rangle}$${\ Displaystyle U (г (х) ') | \ psi \ rangle}$${\ Displaystyle | х \ rangle \ langle x |}$${\ Displaystyle | х \ rangle}$${\ displaystyle U}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle G / H}$${\ displaystyle {\ mathfrak {H}}}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle G}$${\ displaystyle B}$

${\ displaystyle B = \ int _ {X} | x \ rangle \ langle x | \; d \ mu (x) \ ;,}$

ограничен, то он обязательно кратен идентичности, и снова восстанавливается разрешение идентичности.

Когерентные состояния Гилмора – Переломова были обобщены на квантовые группы , но для этого мы обратимся к литературе.

Дальнейшее обобщение: когерентные состояния на смежных пространствах.

Конструкцию Переломова можно использовать для определения когерентных состояний любой локально компактной группы. С другой стороны, особенно в случае отказа конструкции Гилмора – Переломова, существуют другие конструкции обобщенных когерентных состояний, использующие представления групп, которые обобщают понятие квадратичной интегрируемости на однородные пространства группы.

Вкратце, в этом подходе каждый начинает с унитарного неприводимого представления и пытается найти вектор , подгруппу и сечение, такие что ${\ displaystyle U}$${\ displaystyle | \ psi \ rangle}$${\ displaystyle H}$ ${\ displaystyle \ sigma: G / H \ to G}$

${\ displaystyle \ int _ {G / H} | x \ rangle \ langle x | \; d \ mu (x) = T \ ;,}$

где , - ограниченный положительный оператор с ограниченным обратным и - квазиинвариантная мера на . Не предполагается, что будет инвариантным до фазы под действием, и ясно, что лучшая ситуация - это когда является кратным тождеству. Хотя эта общая конструкция несколько техническая, она обладает огромной универсальностью для полупрямых групп продуктов типа , где - замкнутая подгруппа . Таким образом, это полезно для многих физически важных групп, таких как группа Пуанкаре или евклидова группа , которые не имеют квадратично интегрируемых представлений в смысле предыдущего определения. В частности, интегральное условие, определяющее оператор, гарантирует, что любой вектор в может быть записан в терминах обобщенных когерентных состояний, а именно ${\ Displaystyle | х \ rangle = U (\ sigma (x)) | \ psi \ rangle}$${\ Displaystyle T \;}$${\ displaystyle d \ mu}$${\ Displaystyle X = G / H}$${\ displaystyle | \ psi \ rangle}$${\ displaystyle H}$${\ displaystyle T}$${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n} \ rtimes K}$${\ displaystyle K}$${\ Displaystyle GL (п, \ mathbb {R})}$${\ displaystyle T}$${\ displaystyle | \ phi \ rangle}$${\ Displaystyle {\ mathfrak {H}} \;}$${\ Displaystyle | х \ rangle}$

${\ displaystyle | \ phi \ rangle = \ int _ {X} \ Psi (x) | x \ rangle \; d \ mu (x) \;, \ qquad \ Psi (x) = \ langle x | T ^ { -1} \ phi \ rangle \ ;,}$

что является основной целью любых когерентных состояний.

Когерентные состояния: байесовская конструкция для квантования множества мер

Теперь мы отойдем от стандартной ситуации и представим общий метод построения когерентных состояний, исходя из нескольких наблюдений за структурой этих объектов как суперпозиций собственных состояний некоторого самосопряженного оператора, как и гамильтониан гармонического осциллятора для стандартного CS. . Суть квантовой механики состоит в том, что эта суперпозиция имеет вероятностный привкус. Фактически, мы замечаем, что вероятностная структура канонических когерентных состояний включает два распределения вероятностей, которые лежат в основе их построения. Существует своего рода дуальность: распределение Пуассона, определяющее вероятность обнаружения возбуждений, когда квантовая система находится в когерентном состоянии , и гамма-распределение на множестве комплексных параметров, точнее на диапазоне квадрата радиального Переменная. Обобщение следует этой схеме двойственности. Пусть будет набор параметров, снабженный мерой и связанным с ней гильбертовым пространством комплекснозначных функций, квадратично интегрируемых по . Выберем в конечном или счетном ортонормированном множестве : ${\ displaystyle n}$${\ Displaystyle | г \ rangle}$${\ displaystyle \ mathbb {C}}$${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {+}}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle \ mu}$${\ Displaystyle L ^ {2} (X, d \ mu)}$${\ displaystyle \ mu}$${\ Displaystyle L ^ {2} (X, d \ mu)}$${\ Displaystyle {\ mathcal {O}} = \ {\ phi _ {n} \ ,, \, n = 0,1, \ точки \}}$

${\ displaystyle \ langle \ phi _ {m} | \ phi _ {n} \ rangle = \ int _ {X} {\ overline {\ phi _ {m} (x)}} \, \ phi _ {n} (x) \, d \ mu (x) = \ delta _ {mn} \ ,.}$

В случае бесконечной счетности это множество должно подчиняться (решающему) условию конечности:

${\ displaystyle 0 <{\ mathcal {N}} (x): = \ sum _ {n} \ vert \ phi _ {n} (x) \ vert ^ {2} <\ infty \, \ quad \ mathrm { ае} \ ,.}$

Пусть - сепарабельное комплексное гильбертово пространство с ортонормированным базисом во взаимно однозначном соответствии с элементами . Два приведенных выше условия подразумевают, что семейство нормированных когерентных состояний в , которые определяются формулой ${\ displaystyle {\ mathfrak {H}}}$${\ displaystyle \ {| e_ {n} \ rangle \ ,, \, n = 0,1, \ точки \}}$${\ displaystyle {\ mathcal {O}}}$${\ Displaystyle {\ mathcal {F}} _ {\ mathfrak {H}} = \ {| x \ rangle \ ,, \, x \ in X \}}$${\ displaystyle {\ mathfrak {H}}}$

${\ displaystyle | x \ rangle = {\ frac {1} {\ sqrt {{\ mathcal {N}} (x)}}} \ sum _ {n} {\ overline {\ phi _ {n} (x) }} \, | e_ {n} \ rangle \ ,,}$

разрешает личность в : ${\ displaystyle {\ mathfrak {H}}}$

${\ displaystyle \ int _ {X} d \ mu (x) \, {\ mathcal {N}} (x) \, | x \ rangle \ langle x | = I _ {\ mathfrak {H}} \ ,.}$

Такое отношение позволяет нам реализовать когерентное состояние или квантование кадра набора параметров путем связывания с функцией, которая удовлетворяет соответствующим условиям, следующий оператор в  : ${\ displaystyle X}$${\ Displaystyle X \ ni x \ mapsto f (x)}$${\ displaystyle {\ mathfrak {H}}}$

${\ Displaystyle f (x) \ mapsto A_ {f}: = \ int _ {X} \ mu (dx) \, {\ mathcal {N}} (x) \, f (x) \, | x \ rangle \ langle x | \ ,.}$

Оператор является симметричным, если он вещественен, и самосопряженным (как квадратичная форма), если он вещественен и полуограничен. Оригинал - это верхний символ , обычно неуникальный для оператора . Он будет называться классической наблюдаемой по отношению к семье , если так называемый нижний символ из , определяемый как ${\ displaystyle A_ {f}}$${\ displaystyle f (x)}$${\ displaystyle f (x)}$${\ displaystyle f (x)}$${\ displaystyle A_ {f}}$${\ Displaystyle {\ mathcal {F}} _ {\ mathfrak {H}}}$${\ displaystyle A_ {f}}$

${\ displaystyle {\ check {f}} (x): = \ langle x | A_ {f} | x \ rangle = \ int _ {X} \ mu (dx ') \, {\ mathcal {N}} ( x ') \, f (x') \, \ vert \ langle x | x '\ rangle \ vert ^ {2} \ ,.}$

имеет умеренные функциональные свойства, которые необходимо уточнить в соответствии с дополнительными топологическими свойствами, предоставленными исходному набору . Последний пункт этого построения пространства квантовых состояний касается его статистических аспектов. Между двумя распределениями вероятностей действительно существует взаимодействие: ${\ displaystyle X}$

(я) Для почти каждого , A дискретного распределения, ${\ displaystyle x}$

${\ displaystyle n \ mapsto {\ frac {\ vert \ phi _ {n} (x) \ vert ^ {2}} {{\ mathcal {N}} (x)}}.}$

Эту вероятность можно рассматривать как относящиеся к экспериментам, проводимым над системой в рамках некоторого экспериментального протокола, чтобы измерить спектральные значения определенного самосопряженного оператора , то есть квантовой наблюдаемой , действующей в дискретном спектральном разрешении и имеющей дискретное спектральное разрешение . ${\ displaystyle A}$${\ displaystyle {\ mathfrak {H}}}$${\ displaystyle A = \ sum _ {n} a_ {n} | e_ {n} \ rangle \ langle e_ {n} |}$

(ii) Для каждого , непрерывное распределение на , ${\ displaystyle n}$${\ Displaystyle (Х, \ му)}$

${\ Displaystyle X \ ni x \ mapsto \ vert \ phi _ {n} (x) \ vert ^ {2} \ ,.}$

Здесь мы наблюдаем байесовскую двойственность, типичную для когерентных состояний. Есть две интерпретации: разрешение единства, подтвержденное когерентными состояниями, вводит предпочтительную априорную меру на множестве , которая является набором параметров дискретного распределения, причем само это распределение играет роль функции правдоподобия . Связанные дискретно проиндексированные непрерывные распределения становятся связанным условным апостериорным распределением . Следовательно, вероятностный подход к экспериментальным наблюдениям относительно должен служить ориентиром при выборе набора 's. Отметим, что непрерывное априорное распределение будет иметь отношение к квантованию, тогда как дискретное апостериорное распределение характеризует измерение физического спектра, из которого строится когерентная суперпозиция квантовых состояний . ${\ Displaystyle | х \ rangle}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle A}$${\ Displaystyle \ phi _ {п} (х)}$${\ displaystyle | e_ {n} \ rangle}$

Смотрите также

• Когерентные состояния
• Гипотеза Либа
• Квантование

Рекомендации