Классическая модульная кривая - Classical modular curve

В теории чисел , то классическая модульная кривая является неприводимым плоской алгебраической кривой задается уравнением

Ф п (х, у) = 0

,

такая, что $(x, y) = (j (nτ), j (τ))$ - точка на кривой. Здесь $j (τ)$ обозначает $j$ -инвариант .

Кривая иногда называется $X 0 (n)$ , хотя часто это обозначение используется для абстрактной алгебраической кривой, для которой существуют различные модели. Связанный объект - классический модульный многочлен , многочлен от одной переменной, определяемой как $Φ n (x, x)$ .

Важно отметить, что классические модульные кривые являются частью более широкой теории модульных кривых . В частности , он имеет еще одно выражение в качестве компактифицированного фактора комплексной верхней полуплоскости $H$ .

Геометрия модульной кривой

Узел на бесконечности

X 0 (11)

Классическая модульная кривая, которую мы назовем $X 0 (n)$ , имеет степень больше или равную $2 n,$ когда $n > 1$ , с равенством тогда и только тогда, когда $n$ - простое число. Многочлен $Φ n$ имеет целые коэффициенты и, следовательно, определен над каждым полем. Однако коэффициенты достаточно велики, поэтому вычислительная работа с кривой может быть затруднена. Как многочлен от $x$ с коэффициентами из $Z [y]$ , он имеет степень $ψ (n)$ , где $ψ$ - пси-функция Дедекинда . Поскольку $Φ n (x, y) = Φ n (y, x)$ , $X 0 (n)$ симметричен относительно прямой $y = x$ и имеет особые точки в повторяющихся корнях классического модульного многочлена, где он пересекает себя в комплексная плоскость. Это не единственные особенности, и в частности, когда $n > 2$ , есть две особенности на бесконечности, где $x = 0, y = \infty$ и $x = \infty, y = 0$ , которые имеют только одну ветвь и, следовательно, имеют инвариант узла который является настоящим узлом, а не просто звеном.

Параметризация модульной кривой

Для $n = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 12, 13, 16, 18$ или $25$ , $X 0 (n)$ имеет нулевой род и, следовательно, может быть параметризован [1 ] рациональными функциями. Простейший нетривиальный пример - $X 0 (2)$ , где:

{\ displaystyle j_ {2} (q) = q ^ {- 1} -24 + 276q-2048q ^ {2} + 11202q ^ {3} + \ cdots = \ left ({\ frac {\ eta (q)} {\ eta (q ^ {2})}} \ right) ^ {24}}

является (с точностью до постоянного члена) рядом Маккея – Томпсона для класса 2B Монстра , а $η$ - эта-функция Дедекинда , то

{\ displaystyle x = {\ frac {(j_ {2} +256) ^ {3}} {j_ {2} ^ {2}}},}

{\ displaystyle y = {\ frac {(j_ {2} +16) ^ {3}} {j_ {2}}}}

параметризует $X 0 (2)$ в терминах рациональных функций от $j 2$ . Для использования этой параметризации нет необходимости вычислять $j 2$ ; его можно принять как произвольный параметр.

Сопоставления

Кривая $C$ над $Q$ называется модулярной кривой, если для некоторого $n$ существует сюръективный морфизм $φ : X 0 (n) \to C$ , задаваемый рациональным отображением с целыми коэффициентами. Знаменитая теорема модульности говорит нам, что все эллиптические кривые над $Q$ модулярны.

Отображения также возникают в связи с $X 0 (n),$ поскольку точки на нем соответствуют некоторым $n$ -изогенным парам эллиптических кривых. Изогения между двумя эллиптическими кривыми является нетривиальным морфизм многообразий (определяется рациональным отображением) между кривыми , которые также уважают законы группы, и , следовательно , которая отправляет точку на бесконечности (выступающой в качестве идентичности группового закона) к точка в бесконечности. Такое отображение всегда сюръективно и имеет конечное ядро, порядок которого равен степени изогении. Точки на $X 0 (n)$ соответствуют парам эллиптических кривых, допускающих изогению степени $n$ с циклическим ядром.

Когда $X 0 (n)$ имеет род один, он сам будет изоморфен эллиптической кривой, которая будет иметь такой же $j$ -инвариант .

Так , например, $X 0 (11)$ имеет $J$ -инвариантную $-2 1211 -5 313$ , и изоморфна кривой $у 2 + у = х 3 - х 2 - 10 х - 20$ . Если подставить это значение $J$ для $у$ в $X 0 (5)$ , получаем два рациональных корней и фактор четвертой степени. Два рациональных корня соответствуют классам изоморфизма кривых с рациональными коэффициентами, которые 5-изогенны указанной выше кривой, но не изоморфны, имея другое функциональное поле. В частности, у нас есть шесть рациональных точек: x = -122023936 / 161051, y = -4096 / 11, x = -122023936 / 161051, y = -52893159101157376 / 11, и x = -4096 / 11, y = -52893159101157376 / 11, плюс три точки, меняющие местами $x$ и $y$ , все на $X 0 (5)$ , соответствующие шести изогениям между этими тремя кривыми.

Если в кривой $y 2 + y = x 3 - x 2 - 10 x - 20$ , изоморфной $X 0 (11),$ подставим

{\ displaystyle x \ mapsto {\ frac {x ^ {5} -2x ^ {4} + 3x ^ {3} -2x + 1} {x ^ {2} (x-1) ^ {2}}}}

{\ displaystyle y \ mapsto y - {\ frac {(2y + 1) (x ^ {4} + x ^ {3} -3x ^ {2} + 3x-1)} {x ^ {3} (x- 1) ^ {3}}}}

и множитель, мы получаем посторонний множитель рациональной функции $x$ и кривую $y 2 + y = x 3 - x 2$ с $j$ -инвариантом $-2 1211 -1$ . Следовательно, обе кривые модульны уровня $11$ , имея отображения из $X 0 (11)$ .

По теореме Henri Carayol , если эллиптическая кривая $Е$ имеет модульную конструкцию , то его проводник , изогения инвариантно описано первоначально в терминах когомологий , является наименьшее целое число $п$ такое , что существует рациональное отображение $ф : Х 0 (п) \to E$ . Поскольку теперь мы знаем, что все эллиптические кривые над $Q$ являются модульными, мы также знаем, что проводник - это просто уровень $n$ его минимальной модульной параметризации.

Теория Галуа модулярной кривой

Теорию Галуа модулярной кривой исследовал Эрих Гекке . Рассмотренный как многочлен от х с коэффициентами в $Z [у]$ , модульное уравнение $Φ 0 (п)$ есть многочлен степени $ф (п)$ в $х$ , корни которых генерируют расширение Галуа из $Q (у)$ . В случае $X 0 (р)$ с $р$ штрихом, где характерные полей не $р$ , в Галуа группой из $Q (х, у) / Q (у)$ является $PGL (2, р)$ , то проективным общим линейным группа из дробно - линейных преобразований в проективной линии поля $р$ элементов, который имеет $р + 1$ точки, степень $X 0 (р)$ .

Это расширение содержит алгебраическое расширение $F / Q,$ где если в обозначениях Гаусса, то: ${\ displaystyle p ^ {*} = (- 1) ^ {(p-1) / 2} p}$

{\ displaystyle F = \ mathbf {Q} \ left ({\ sqrt {p ^ {*}}} \ right).}

Если мы расширим поле констант до $F$ , мы получим расширение с помощью группы Галуа $PSL (2, p)$ , проективной специальной линейной группы поля с $p$ элементами, которая является конечной простой группой. По специализирующимся $у$ к элементу конкретной области, мы можем, за пределы тонкого набора, получим бесконечное множество примеров полей с группой Галуа $PSL (2, р)$ над $F$ , и $ПГЛ (2, р)$ над $Q$ .

Когда $n$ не является простым числом, группы Галуа можно анализировать с точки зрения множителей $n$ как сплетения .

Смотрите также

внешняя ссылка

Последовательность OEIS A001617 (Род модулярной группы Gamma_0 (n). Или род модулярной кривой X_0 (n))
[3] Коэффициенты $X 0 (n)$

Languages

In other projects