Теорема Кэли - Cayley's theorem

В теории групп , теорема Кэли , названная в честь Артура Кэли , утверждает , что каждая группа G является изоморфной к подгруппе из симметрической группы , действующей на G . Это может быть понято как пример действия группы из G на элементах G . Теорема может быть получена путем явного построения представления внутри представления симметрической группы матриц перестановок, которое иногда называют регулярным представлением .

Перестановка множества G любая биективен функция принимает G на G . Множество всех перестановок группы G образует группу относительно композиции функций , называемую симметрической группой на G и записываемой как Sym ( G ).

Теорема Кэли ставит все группы на одну и ту же основу, рассматривая любую группу (включая бесконечные группы, такие как ( R , +)) как группу перестановок некоторого основного множества. Таким образом, теоремы, которые верны для подгрупп групп перестановок, верны и для групп в целом. Тем не менее, Alperin и Белл отмечает , что «в целом тот факт , что конечные группы вкладываются в симметричных группах не повлиял на методы , используемые для изучения конечных групп».

Регулярное действие используется в стандартном доказательстве теоремы Кэли не дает представление G в минимальной - порядка группы перестановок. Например, сама уже симметрична группа порядка 6, будет представлено регулярным действием в качестве подгруппы (группы порядка 720). Действительно, комплексное регулярное представление конечных групп фактически образовано прямой суммой всех неприводимых представлений с кратностью, равной их размерности. Проблема вложения группы в симметрическую группу минимального порядка довольно сложна. ${\ displaystyle S_ {3}}$${\ displaystyle S_ {6}}$

История

Хотя это кажется достаточно элементарным, в то время современных определений не существовало, и когда Кэли представил то, что теперь называется группами, не сразу стало ясно, что это эквивалентно ранее известным группам, которые теперь называются группами перестановок . Теорема Кэли объединяет их.

Хотя Бернсайд приписывает теорему Джордану , Эрик Нуммела, тем не менее, утверждает, что стандартное название - «Теорема Кэли» - действительно уместно. Кэли в своей оригинальной статье 1854 года показал, что соответствие в теореме взаимно однозначно, но ему не удалось явно показать, что это гомоморфизм (и, следовательно, вложение). Тем не менее, Нуммела отмечает, что Кейли сделал этот результат известным математическому сообществу в то время, таким образом опередив Иорданию примерно на 16 лет.

Теорема была позже опубликована Вальтером Дайком в 1882 году и приписывается Дейку в первом издании книги Бернсайда.

Доказательство теоремы

Если г любой элемент из группы G с операцией *, рассмотрим функцию F _г  : G → G , определяется ф _г ( х ) = г * х . Наличие инверсий, эта функция имеет двусторонний обратную, . Таким образом, умножение на g действует как биективная функция. Таким образом, f _g является перестановкой G , а значит, и членом Sym ( G ). ${\ displaystyle f_ {g ^ {- 1}}}$

Множество К = { е _г  : г ∈ G } является подгруппой Sym ( G ) , что изоморфна G . Быстрый способ установить это, чтобы рассмотреть функцию T  : G → Sym ( G ) с Т ( г ) = е _г для каждого г в G . T - гомоморфизм групп, потому что (используя · для обозначения композиции в Sym ( G )):

${\ Displaystyle (f_ {g} \ cdot f_ {h}) (x) = f_ {g} (f_ {h} (x)) = f_ {g} (h * x) = g * (h * x) = (g * h) * x = f_ {g * h} (x),}$

для всех x в G и, следовательно,:

${\ Displaystyle T (g) \ cdot T (h) = f_ {g} \ cdot f_ {h} = f_ {g * h} = T (g * h).}$

Гомоморфизм Т является инъективны , так как Т ( г ) = Идентификатор _G (единичный элемент Sym ( G )) следует , что г * х = х для всех х в G , и принимая х , чтобы быть единичный элемент е из G дает г = g ∗ e = e , т.е. ядро ​​тривиально. С другой стороны, T также инъективен, поскольку g ∗ x = g ′ ∗ x влечет, что g = g ′ (поскольку каждая группа сокращается ).

Таким образом , G изоморфна образу T , который является подгруппой К .

T иногда называют регулярное представление G .

Альтернативная установка доказательства

В альтернативной настройке используется язык групповых действий . Мы рассматриваем группу как действующую на себя посредством левого умножения, т. Е. Имеющую, скажем, перестановочное представление . ${\ displaystyle G}$${\ displaystyle g \ cdot x = gx}$${\ displaystyle \ phi: G \ to \ mathrm {Sym} (G)}$

Представление является точным, если оно инъективно, то есть если ядро тривиально. Допустим . Тогда . Таким образом, это тривиально. Результат следует путем использования первой теоремы изоморфизма , из которого мы получаем . ${\ displaystyle \ phi}$${\ displaystyle \ phi}$${\ displaystyle g \ in \ ker \ phi}$${\ displaystyle g \ cdot e = ge = g = e}$${\ displaystyle \ ker \ phi}$${\ Displaystyle \ mathrm {Im} \, \ phi \ cong G}$

Замечания о регулярном представлении группы

Идентификационный элемент группы соответствует перестановке идентичности. Все остальные элементы группы соответствуют расстройствам : перестановкам, которые не оставляют ни одного элемента неизменным. Поскольку это также применимо к степеням элемента группы, ниже, чем порядок этого элемента, каждый элемент соответствует перестановке, которая состоит из циклов одинаковой длины: эта длина является порядком этого элемента. Элементы в каждом цикле образуют правый смежный класс подгруппы, порожденной элементом.

Примеры регулярного группового представления

Z ₂ = {0,1} со сложением по модулю 2; элемент группы 0 соответствует тождественной перестановке e, элемент группы 1 - перестановке (12). Например, 0 +1 = 1 и 1 + 1 = 0, поэтому 1 -> 0 и 0 -> 1, как при перестановке.

Z ₃ = {0,1,2} со сложением по модулю 3; элемент группы 0 соответствует тождественной перестановке e, элемент группы 1 - перестановке (123), а элемент группы 2 - перестановке (132). Например, 1 + 1 = 2 соответствует (123) (123) = (132).

Z ₄ = {0,1,2,3} с сложения по модулю 4; элементы соответствуют e, (1234), (13) (24), (1432).

Элементы четырехгруппы Клейна {e, a, b, c} соответствуют e, (12) (34), (13) (24) и (14) (23).

S ₃ ( группа диэдра порядка 6 ) - это группа всех перестановок из 3 объектов, но также группа перестановок из 6 элементов группы, и последняя - это то, как она реализуется с помощью своего регулярного представления.

Более общая формулировка теоремы

Более общее утверждение теоремы Кэли состоит в рассмотрении ядра произвольной группы . В общем , если это группа и подгруппа с , то изоморфна подгруппе . В частности, если это конечная группа и мы устанавливаем, то получаем классический результат. ${\ displaystyle G}$${\ displaystyle G}$${\ displaystyle H}$${\ displaystyle | G: H | <\ infty}$${\ displaystyle G / {\ text {Core}} _ {G} (H)}$${\ Displaystyle \ Sigma _ {| G: H |}}$${\ displaystyle G}$${\ displaystyle H = 1}$

Смотрите также

• Теорема Вагнера – Престона является аналогом для инверсных полугрупп.
• порядок включения , аналогичный результат в теории порядка
• По теореме Фрухта каждая конечная группа является группой автоморфизмов графа
• Лемма Йонеды , обобщение теоремы Кэли в теории категорий
• Теорема представления

Примечания

использованная литература

• Джейкобсон, Натан (2009), Основная алгебра (2-е изд.), Довер, ISBN 978-0-486-47189-1.