Формула Андреотти – Норге - Andreotti–Norguet formula

Формула Андреотти-Норге , впервые введен Aldo Андреотти и Франсуа Норге ( 1964 , 1966 ), является многомерным аналогом интегральной формулы Коши для выражения производных от в голоморфной функции . Именно эта формула выражает значение частной производной любого мультииндексных порядка в виде голоморфной функции нескольких переменных , в любой внутренней точке данной ограниченной области , как гиперповерхность интеграл значений функции на границе самого домена . В этом отношении он аналогичен и обобщает формулу Бохнера – Мартинелли , сводясь к ней, когда модуль многоиндексного порядка дифференцирования равен $0$ . При рассмотрении функций от $n = 1$ комплексных переменных она сводится к обычной формуле Коши для производной голоморфной функции: однако, когда $n > 1$ , ее интегральное ядро не может быть получено простым дифференцированием ядра Бохнера – Мартинелли .

Историческая справка

Формула Андреотти – Норге была впервые опубликована в объявлении об исследовании ( Andreotti & Norguet 1964 , стр. 780); однако ее полное доказательство было опубликовано только позже в статье ( Andreotti & Norguet 1966 , стр. 207–208). Другое, отличное от этого доказательство формулы было дано Мартинелли (1975) . В 1977 и 1978 годах Лев Айзенберг дал еще одно доказательство и обобщение формулы, основанное на ядре Коши – Фантаппье – Лере, а не на ядре Бохнера – Мартинелли .

Формула интегрального представления Андреотти – Норге

Обозначение

Обозначения, принятые в следующем описании формулы интегрального представления, используются Кытмановым (1995 , с. 9) и Кытмановым и Мысливцем (2010 , с. 20): обозначения, используемые в оригинальных работах и в других ссылках, хотя и эквивалентны, но существенно отличаются. Точнее предполагается, что

$n > 1$ - фиксированное натуральное число ,
$ζ, z \in ℂ n$ - комплексные векторы ,
$α = (α 1, ..., α п) \in ℕ п$ является мультииндекс которого абсолютное значение является $| α |$ ,
$D \subset ℂ n$ - ограниченная область, замыкание которойесть $D$ ,
$(D)$ представляет собой функциональное пространство функцийголоморфных на внутренней части $D$ и непрерывных на его границе $\partialD$ .
итерированные производные Виртингера порядка $α$ от заданной комплекснозначной функции $f \in A (D)$ выражаются с использованием следующих упрощенных обозначений:

{\ Displaystyle \ partial ^ {\ alpha} f = {\ frac {\ partial ^ {| \ alpha |} f} {\ partial z_ {1} ^ {\ alpha _ {1}} \ cdots \ partial z_ {n } ^ {\ alpha _ {n}}}}.}

Ядро Андреотти – Норге

Определение 1. Для любого мультииндекса $α$ ядро Андреотти – Норге $ω α (ζ, z)$ является следующей дифференциальной формой по $ζ$ бистепени $(n, n - 1)$ :

{\ displaystyle \ omega _ {\ alpha} (\ zeta, z) = {\ frac {(n-1)! \ alpha _ {1}! \ cdots \ alpha _ {n}!} {(2 \ pi i ) ^ {n}}} \ sum _ {j = 1} ^ {n} {\ frac {(-1) ^ {j-1} ({\ bar {\ zeta}} _ {j} - {\ overline {z}} _ {j}) ^ {\ alpha _ {j} +1} \, d {\ bar {\ zeta}} ^ {\ alpha + I} [j] \ land d \ zeta} {\ left (| z_ {1} - \ zeta _ {1} | ^ {2 (\ alpha _ {1} +1)} + \ cdots + | z_ {n} - \ zeta _ {n} | ^ {2 (\ альфа _ {n} +1)} \ right) ^ {n}}},}

где $I = (1, ..., 1) \in ℕ n$ и

{\ displaystyle d {\ bar {\ zeta}} ^ {\ alpha + I} [j] = d {\ bar {\ zeta}} _ {1} ^ {\ alpha _ {1} +1} \ land \ cdots \ land d {\ bar {\ zeta}} _ {j-1} ^ {\ alpha _ {j + 1} +1} \ land d {\ bar {\ zeta}} _ {j + 1} ^ { \ alpha _ {j-1} +1} \ land \ cdots \ land d {\ bar {\ zeta}} _ {n} ^ {\ alpha _ {n} +1}}

Интегральная формула

Теорема 1 (Андреотти и Норге). Для любой функции $f \in A (D)$ , каждой точки $z \in D$ и любого мультииндекса $α$ справедлива следующая формула интегрального представления

{\ displaystyle \ partial ^ {\ alpha} f (z) = \ int _ {\ partial D} f (\ zeta) \ omega _ {\ alpha} (\ zeta, z).}

Смотрите также

Формула Бергмана – Вейля

Languages

In other projects