Формула Бохнера – Мартинелли - Bochner–Martinelli formula

В математике формула Бохнера – Мартинелли является обобщением интегральной формулы Коши на функции нескольких комплексных переменных , введенной Энцо Мартинелли  ( 1938 ) и Саломоном Бохнером  ( 1943 ).

История

Формула (53) настоящей статьи и основанное на ней доказательство теоремы 5 были только что опубликованы Энцо Мартинелли (...) . Автору данной статьи может быть разрешено заявить, что эти результаты были представлены им в аспирантуре Принстона зимой 1940/1941 г. и впоследствии были включены в докторскую диссертацию Дональда К. Мэя в Принстоне (июнь 1941 г.), озаглавленную: Интегральный формула для аналитических функций k переменных с некоторыми приложениями.

-  Саломон Бохнер, ( Бохнер, 1943 , с. 652, сноска 1).

Однако это утверждение автора в loc. соч. сноска 1 о том, что он мог быть знаком с общей формой формулы до Мартинелли, была совершенно неоправданной и настоящим отменяется.

-  Саломон Бохнер, ( Бохнер 1947 , с. 15, сноска *).

Ядро Бохнера – Мартинелли

Для ζ , z в ядре Бохнера – Мартинелли ω ( ζ , z ) является дифференциальной формой в ζ бистепени ( n , n - 1), определяемой равенством ${\ Displaystyle \ mathbb {C} ^ {п}}$

${\ displaystyle \ omega (\ zeta, z) = {\ frac {(n-1)!} {(2 \ pi i) ^ {n}}} {\ frac {1} {| z- \ zeta | ^ {2n}}} \ sum _ {1 \ leq j \ leq n} ({\ overline {\ zeta}} _ {j} - {\ overline {z}} _ {j}) \, d {\ overline { \ zeta}} _ {1} \ land d \ zeta _ {1} \ land \ cdots \ land d \ zeta _ {j} \ land \ cdots \ land d {\ overline {\ zeta}} _ {n} \ земля d \ zeta _ {n}}$

(где член d ζ _j опущен).

Предположим , что F непрерывно дифференцируемая функция на замыкании области D в ℂ ^п с кусочно - гладкой границей ∂ D . Тогда формула Бохнера – Мартинелли утверждает, что если z находится в области D, то

${\ Displaystyle \ Displaystyle е (z) = \ int _ {\ partial D} f (\ zeta) \ omega (\ zeta, z) - \ int _ {D} {\ overline {\ partial}} f (\ zeta ) \ земля \ omega (\ zeta, z).}$

В частности, если f голоморфна, второй член обращается в нуль, поэтому

${\ displaystyle \ displaystyle f (z) = \ int _ {\ partial D} f (\ zeta) \ omega (\ zeta, z).}$

Смотрите также

• Формула Бергмана – Вейля

Примечания

использованная литература