Теорема Линдеманна – Вейерштрасса - Lindemann–Weierstrass theorem

В теории трансцендентных чисел , то теорема Линдеман-Вейерштрасса является результатом , который является очень полезным в установлении трансцендентности чисел. В нем говорится следующее.

Теорема Lindemann-Вейерштрасса  -  если α 1 , ..., α п являются алгебраические числа , которые линейно независимы над рациональными числами , то е α 1 , ...,  е α п являются алгебраически независимы над .

Другими словами, поле расширения ( e α 1 , ...,  e α n ) имеет степень трансцендентности n над .

Эквивалентная формулировка ( Бейкер 1990 , глава 1, теорема 1.4) следующая.

Эквивалентная формулировка  -  Если α 1 , ..., α п являются различными алгебраические числа, то экспонент е α 1 , ...,  е α п линейно независимы над алгебраическими числами.

Эта эквивалентность преобразует линейное отношение над алгебраическими числами в алгебраическое отношение над , используя тот факт, что симметричный многочлен , все аргументы которого являются сопряженными друг другу, дает рациональное число.

Теорема названа в честь Фердинанда фон Линдеманна и Карла Вейерштрасса . Линдеманн доказал в 1882 г., что e α трансцендентно для любого ненулевого алгебраического числа α, тем самым установив, что π трансцендентно (см. Ниже). Вейерштрасс доказал приведенное выше более общее утверждение в 1885 году.

Теорема, наряду с теоремой Гельфонда – Шнайдера , расширяется теоремой Бейкера , и все они далее обобщаются гипотезой Шенуэля .

Соглашение об именовании

Теорема также известна по- разному как теоремы Эрмита-Lindemann и теоремы Эрмита-Линдеманн-Вейерштрасса . Чарльз Эрмит первым доказал более простую теорему, в которой показатели α i должны быть рациональными целыми числами, а линейная независимость гарантируется только для рациональных целых чисел, результат, который иногда называют теоремой Эрмита. Хотя, по-видимому, это довольно частный случай вышеупомянутой теоремы, общий результат можно свести к этому более простому случаю. Линдеманн был первым, кто ввел алгебраические числа в работу Эрмита в 1882 году. Вскоре после этого Вейерштрасс получил полный результат, а некоторые математики, в первую очередь Дэвид Гильберт и Пол Гордан, сделали дальнейшие упрощения .

Трансцендентность e и π

Трансцендентность из е и П является прямым следствием этой теоремы.

Предположим, что α - ненулевое алгебраическое число; тогда {α} - линейно независимое множество над рациональными числами, и поэтому согласно первой формулировке теоремы { e α } является алгебраически независимым множеством; или, другими словами, e α трансцендентен. В частности, e 1 = e трансцендентно. (Более элементарное доказательство того, что е трансцендентно, изложено в статье о трансцендентных числах .)

В качестве альтернативы, согласно второй формулировке теоремы, если α - ненулевое алгебраическое число, то {0, α} является набором различных алгебраических чисел, и поэтому набор { e 0e α } = {1,  e α } линейно независима над алгебраическими числами, и, в частности, e α не может быть алгебраическим и поэтому трансцендентно.

Чтобы доказать, что π трансцендентно, мы докажем, что оно не алгебраично. Если бы π было алгебраическим, π i также было бы алгебраическим, и тогда по теореме Линдемана – Вейерштрасса e π i = −1 (см . Тождество Эйлера ) было бы трансцендентным, противоречие. Следовательно, π не является алгебраическим, а это означает, что он трансцендентен.

Небольшой вариант того же доказательства покажет, что если α ненулевое алгебраическое число, то sin (α), cos (α), tan (α) и их гиперболические аналоги также трансцендентны.

p -адическая гипотеза

p -адическая гипотеза Линдемана – Вейерштрасса.  - Пусть р некотороепростое числоиα 1 , ..., α п являются р -адические числа, алгебраические и линейно независимы над, напримерчто| α i | p  <1 / p для всех i ; то p -адические экспонентыexp p 1 ),. . . , Ехр р п )являются р -адическая числа, которые алгебраически независимы над.

Модульная гипотеза

Аналог теоремы о модулярной функции j был выдвинут Даниэлем Бертраном в 1997 г. и остается открытой проблемой. Записывая q  =  e 2 π i τ для квадрата нома и j (τ) =  J ( q ), гипотеза следующая.

Модульная гипотеза  -  Пусть д 1 , ..., д п быть ненулевые алгебраические числа в комплексном единичном круге таким образом, что на 3 п чисел

алгебраически зависимы над . Тогда существуют два индекса 1 ≤  i  <  j  ≤  n такие, что q i и q j мультипликативно зависимы.

Теорема Линдеманна – Вейерштрасса

Теорема Линдеманна – Вейерштрасса (переформулировка Бейкера).  -  Если a 1 , ..., a n - алгебраические числа, а α 1 , ..., α n - различные алгебраические числа, то

имеет только тривиальное решение для всех

Доказательство

Доказательство опирается на две предварительные леммы. Обратите внимание, что самой леммы B уже достаточно, чтобы вывести исходное утверждение теоремы Линдеманна – Вейерштрасса.

Предварительные леммы

Лемма A.  -  Пусть c (1), ..., c ( r ) - целые числа и для каждого k от 1 до r , пусть { γ ( k ) 1 , ..., γ ( k ) m ( k ) } быть корнями ненулевого многочлена с целыми коэффициентами . Если γ ( k ) i  ≠  γ ( u ) v всякий раз, когда ( ki ) ≠ ( uv ) , то

имеет только тривиальное решение для всех

Доказательство леммы A. Для упрощения набора обозначений:

Тогда утверждение становится

Пусть p - простое число, и определим следующие многочлены:

где - ненулевое целое число, такое, что все являются целыми алгебраическими числами. Определять

Используя интегрирование по частям, приходим к

где это степень из , и является J -й производной . Это также верно для s- комплекса (в этом случае интеграл следует рассматривать как контурный интеграл, например, по прямому отрезку от 0 до s ), потому что

примитив .

Рассмотрим следующую сумму:

В последней строке мы предположили, что заключение леммы неверно. Для завершения доказательства нам нужно прийти к противоречию. Мы сделаем это, оценив двумя разными способами.

Во-первых , это целое алгебраическое число, которое делится на p ! для и исчезает, если и , в этом случае он равен

Это не делится на p, когда p достаточно велико, потому что в противном случае, положив

(которое является ненулевым алгебраическим целым числом) и вызывая произведение его сопряженных (которое все еще не равно нулю), мы получили бы, что p делится , что неверно.

Итак, ненулевое целое алгебраическое число делится на ( p  - 1) !. Теперь

Поскольку каждый из них получается делением фиксированного многочлена с целыми коэффициентами на , он имеет вид

где - многочлен (с целыми коэффициентами), не зависящий от i . То же самое и с производными .

Следовательно, по основной теореме о симметрических многочленах

является фиксированным многочленом с рациональными коэффициентами, вычисляемыми в (это видно путем группировки тех же степеней появления в разложении и использования того факта, что эти алгебраические числа являются полным набором сопряженных чисел). Таким образом, то же самое верно , т.е. оно равно , где G - многочлен с рациональными коэффициентами, не зависящими от i .

Наконец , рационально (опять же по основной теореме о симметрических многочленах) и является ненулевым алгебраическим целым числом, делящимся на (поскольку 's - алгебраические целые числа, делящиеся на ). Следовательно

Однако у одного явно есть:

где F i - многочлен, коэффициенты которого являются абсолютными значениями коэффициентов f i (это непосредственно следует из определения ). Таким образом

и поэтому по построению 's мы имеем для достаточно большого C, не зависящего от p , что противоречит предыдущему неравенству. Это доказывает лемму A. ∎

Лемма B.  -  Если b (1), ..., b ( n ) - целые числа, а γ (1), ..., γ ( n ) - различные алгебраические числа , то

имеет только тривиальное решение для всех

Доказательство леммы B: предположение

получим противоречие и тем самым докажем лемму B.

Выберем многочлен с целыми коэффициентами, равными нулю на всех 's, и пусть будут все его различные корни. Пусть b ( n  + 1) = ... =  b ( N ) = 0.

Полином

обращается в нуль по предположению. Поскольку продукт является симметричным, для любых одночленов и имеет одинаковый коэффициент в разложении Р .

Таким образом, расширяя соответствующим образом и группируя члены с одинаковым показателем степени, мы видим, что полученные показатели образуют полный набор сопряженных значений, и, если два члена имеют сопряженные показатели степени, они умножаются на один и тот же коэффициент.

Итак, мы находимся в ситуации леммы A. Чтобы прийти к противоречию, достаточно увидеть, что хотя бы один из коэффициентов отличен от нуля. Это видно, если снабдить C лексикографическим порядком и выбрать для каждого фактора в продукте термин с ненулевым коэффициентом, который имеет максимальный показатель в соответствии с этим порядком: произведение этих терминов имеет ненулевой коэффициент в разложении и не упрощаться никаким другим термином. Это доказывает лемму B. ∎

Заключительный этап

Теперь перейдем к доказательству теоремы: пусть a (1), ..., a ( n ) - ненулевые алгебраические числа , а α (1), ..., α ( n ) - различные алгебраические числа. Тогда предположим, что:

Мы покажем, что это приводит к противоречию, и тем самым докажем теорему. Доказательство очень похоже на доказательство леммы B, за исключением того, что на этот раз выбор сделан по a ( i ):

Для любого i ∈ {1, ..., n } a ( i ) алгебраический, поэтому он является корнем неприводимого многочлена с целыми коэффициентами степени d ( i ). Обозначим различные корни этого многочлена a ( i ) 1 , ..., a ( i ) d ( i ) , причем a ( i ) 1 = a ( i ).

Пусть S - функции σ, которые выбирают по одному элементу из каждой из последовательностей (1, ..., d (1)), (1, ..., d (2)), ..., (1, .. ., d ( n )), так что для каждого 1 ≤  i  ≤  n σ ( i ) является целым числом от 1 до d ( i ). Сформируем многочлен от переменных

Поскольку произведение производится по всем возможным функциям выбора σ, Q симметрично относительно для каждого i . Следовательно, Q - многочлен с целыми коэффициентами от элементарных симметричных многочленов от указанных выше переменных для каждого i и от переменных y i . Каждый из последних симметричных многочленов является рациональным числом при вычислении в .

Вычисленный многочлен обращается в нуль, потому что один из возможных вариантов - просто σ ( i ) = 1 для всех i , для которых соответствующий множитель равен нулю в соответствии с нашим предположением выше. Таким образом, вычисленный полином представляет собой сумму вида

где мы уже сгруппировали члены с одинаковым показателем степени. Итак, в левой части у нас есть различные значения β (1), ..., β ( N ), каждое из которых по-прежнему является алгебраическим (являющимся суммой алгебраических чисел) и коэффициентами . Сумма нетривиальна: если она максимальна в лексикографическом порядке, коэффициент является просто произведением a ( i ) j (с возможными повторениями), которое не равно нулю.

Умножая уравнение на соответствующий целочисленный множитель, мы получаем идентичное уравнение, за исключением того, что теперь все b (1), ..., b ( N ) являются целыми числами. Следовательно, согласно лемме B равенство не может выполняться, и мы приходим к противоречию, которое завершает доказательство. ∎

Заметим , что лемма А достаточно , чтобы доказать , что е является иррациональным , так как в противном случае мы можем написать е = р / д , где и р и д ненулевые целые числа, а по лемме А мы бы QE  -  р ≠ 0, что противоречие. Леммы A также достаточно, чтобы доказать, что π иррационально, иначе мы можем написать π = k / n , где k и n - целые числа) и тогда ± i π - корни n 2 x 2 + k 2 = 0; таким образом, 2 - 1 - 1 = 2 e 0 + e i π + e - i π ≠ 0; но это неправда.

Точно так же леммы B достаточно для доказательства трансцендентности e , поскольку лемма B утверждает, что если a 0 , ..., a n - целые числа, не все из которых равны нулю, то

Леммы B также достаточно, чтобы доказать трансцендентность π , иначе мы имели бы 1 +  e i π  ≠ 0.

Эквивалентность двух утверждений

Формулировка теоремы Бейкера явно подразумевает первую формулировку. Действительно, если - алгебраические числа, линейно независимые над , и

- многочлен с рациональными коэффициентами, то имеем

и поскольку являются алгебраическими числами, которые линейно независимы над рациональными числами, числа являются алгебраическими и различны для различных n -наборов . Итак, из формулировки теоремы Бейкера мы получаем для всех n -наборов .

Предположим теперь, что верна первая формулировка теоремы. Поскольку формулировка Бейкера тривиальна, давайте предположим, что , и пусть будут ненулевые алгебраические числа и различные алгебраические числа такие, что:

Как было показано в предыдущем разделе и с теми же обозначениями, используемыми там, значение полинома

в

имеет выражение в форме

где мы сгруппировали экспоненты с одинаковым показателем. Здесь, как доказано выше, - рациональные числа, не все равные нулю, и каждый показатель представляет собой линейную комбинацию с целыми коэффициентами. Тогда, так и попарно различны, то -векторное подпространство в порождена не тривиально , и мы можем выбрать , чтобы сформировать основу для Для каждого , мы имеем

Для каждого пусть будет наименьшее общее кратное всех for , и положим . Затем идут алгебраические числа, они составляют основу , и каждое представляет собой линейную комбинацию чисел с целыми коэффициентами. Умножая соотношение

на , где - достаточно большое положительное целое число, мы получаем нетривиальное алгебраическое соотношение с рациональными коэффициентами, соединяющими , вопреки первой формулировке теоремы.

Смотрите также

Примечания

использованная литература

  • Гордан, П. (1893), "Transcendenz von e und π ." , Mathematische Annalen , 43 : 222-224, DOI : 10.1007 / bf01443647 , S2CID  123203471
  • Эрмит, К. (1873 г.), «Sur la fonction exponentielle». , Comptes rendus de l'Académie des Sciences de Paris , 77 : 18–24.
  • Эрмит, К. (1874 г.), Sur la fonction exponentielle. , Париж: Готье-Виллар
  • Гильберт, Д. (1893), "Ueber die Transcendenz der Zahlen e und π ." , Mathematische Annalen , 43 : 216–219, doi : 10.1007 / bf01443645 , S2CID  179177945 , заархивировано из оригинала 06.10.2017 , получено 24.12.2018
  • Линдеманн, Ф. (1882), «Über die Ludolph'sche Zahl». , Sitzungsberichte der Königlich Preussischen Akademie der Wissenschaften zu Berlin , 2 : 679–682
  • Lindemann, F. (1882), "Über die Zahl π ." , Mathematische Annalen , 20 : 213–225, doi : 10.1007 / bf01446522 , S2CID  120469397 , заархивировано из оригинала 06.10.2017 , получено 24.12.2018
  • Вейерштрасс, К. (1885), «Abhandlung Зу Линдеманна». Über die Ludolph'sche Zahl ». , Sitzungsberichte der Königlich Preussischen Akademie der Wissen-schaften zu Berlin , 5 : 1067–1085

дальнейшее чтение

внешние ссылки