Аффинная плоскость (геометрия падения) - Affine plane (incidence geometry)

В геометрии , аффинная плоскость представляет собой систему точек и линий , которые удовлетворяют следующим аксиомам:

• Любые две различные точки лежат на единственной прямой.
• Каждая линия имеет не менее двух точек.
• Для любой линии и любой точки не на этой линии существует уникальная линия, которая содержит точку и не соответствует данной линии. ( Аксиома Playfair )
• Существуют три неколлинеарные точки (точки не на одной прямой).

На аффинной плоскости две прямые называются параллельными, если они равны или не пересекаются . Используя это определение, аксиому Playfair, приведенную выше, можно заменить следующим:

• Для данной точки и линии существует уникальная линия, которая содержит точку и параллельна прямой.

Параллелизм - это отношение эквивалентности на линиях аффинной плоскости.

Поскольку в аксиомах не задействованы никакие другие концепции, кроме тех, которые связаны с отношениями между точками и линиями, аффинная плоскость является объектом изучения геометрии инцидентности . Это невырожденные линейные пространства, удовлетворяющие аксиоме Плейфэра.

Знакомая евклидова плоскость - это аффинная плоскость. Есть много конечных и бесконечных аффинных плоскостей. Помимо аффинных плоскостей над полями (и телом ), существует также много недезарговских плоскостей , не полученных из координат в телеминге, удовлетворяющих этим аксиомам. Плоскость Моултона является примером одного из них.

Конечные аффинные плоскости

Аффинная плоскость порядка 3
9 точек, 12 линий

Если количество точек в аффинной плоскости конечно, то если одна прямая плоскости содержит n точек, то:

• каждая строка содержит n точек,
• каждая точка содержится в n + 1 строках,
• всего n ² баллов, и
• всего n ² + n строк.

Число n называется порядком аффинной плоскости.

Все известные конечные аффинные плоскости имеют порядки, являющиеся простыми числами или целыми числами в простой степени. Наименьшая аффинная плоскость (порядка 2) получается удалением прямой и трех точек на этой прямой из плоскости Фано . Подобная конструкция, начиная с проективной плоскости третьего порядка, дает аффинную плоскость третьего порядка, иногда называемую конфигурацией Гессе . Аффинная плоскость порядка n существует тогда и только тогда, когда существует проективная плоскость порядка n (однако определение порядка в этих двух случаях не то же самое). Таким образом, не существует аффинной плоскости порядка 6 или порядка 10, поскольку нет проективных плоскостей этих порядков. Теорема Брука – Райзера – Чоула дает дополнительные ограничения на порядок проективной плоскости и, таким образом, на порядок аффинной плоскости.

В п ² + п линии аффинной плоскости порядка п попадет в п + 1 классы эквивалентности п линии поштучно по отношению эквивалентности параллелизма. Эти классы называются параллельными классами прямых. Прямые в любом параллельном классе образуют разбиение точек аффинной плоскости. Каждая из n + 1 прямых, проходящих через одну точку, принадлежит другому параллельному классу.

Структура параллельных классов аффинной плоскости порядка n может использоваться для построения набора из n - 1 взаимно ортогональных латинских квадратов . Для этой конструкции нужны только отношения инцидентности.

Связь с проективными плоскостями

Аффинная плоскость может быть получена из любой проективной плоскости , удалив линию и все точки на ней, и, наоборот, любую аффинную плоскость можно использовать для построения проективной плоскости, добавив линию на бесконечности , каждая из точек которой является этой точкой на бесконечности. где встречается класс эквивалентности параллельных прямых.

Если проективная плоскость недезаргова , удаление различных прямых может привести к неизоморфным аффинным плоскостям. Например, есть ровно четыре проективных плоскости девятого порядка и семь аффинных плоскостей девятого порядка. Дезарговской плоскости девятого порядка соответствует только одна аффинная плоскость, поскольку группа коллинеаций этой проективной плоскости действует транзитивно на прямых этой плоскости. Каждая из трех недезарговских плоскостей девятого порядка имеет группы коллинеаций, имеющих две орбиты на прямых, что дает две неизоморфные аффинные плоскости девятого порядка, в зависимости от того, с какой орбиты выбрана удаляемая линия.

Аффинные плоскости перевода

Линия л в проективной плоскости П является перевод строки , если группа элации с осью л действует транзитивно на точках аффинной плоскости , полученной удалением л от плоскости П . Проективная плоскость с линией трансляции называется плоскостью трансляции, а аффинная плоскость, полученная путем удаления линии трансляции, называется аффинной плоскостью трансляции . Хотя в целом часто легче работать с проективными плоскостями, в этом контексте предпочтительны аффинные плоскости, и некоторые авторы просто используют термин «плоскость трансляции» для обозначения аффинной плоскости трансляции.

Альтернативный вид аффинных плоскостей перевода может быть получен следующим образом : Пусть V быть 2 п - мерное векторное пространство над полем F . Спрэд из V представляет собой набор S из п - мерных подпространств V , что разбивает ненулевые векторы V . Члены S называются компоненты из разброса , и если V _я и V _J являются отдельными компонентами , то V _I ⊕ V _J = V . Пусть быть структурой заболеваемости , точки которого являются векторами V и чьи линии являются смежными классами компонентов, то есть множества вида V + U , где V представляет собой вектор V и U представляет собой компонент распространения S . Потом:

A - аффинная плоскость, а группа сдвигов x → x + w вектора w - это группа автоморфизмов, регулярно действующих в точках этой плоскости.

Обобщение: k- сети

Структура заболеваемости более общая , чем конечная аффинная плоскость является к - сеть порядка п . Он состоит из n ² точек и nk прямых, таких что:

• Параллелизм (как определено в аффинных плоскостях) - это отношение эквивалентности на множестве прямых.
• Каждая линия имеет ровно n точек, и каждый параллельный класс имеет n прямых (поэтому каждый параллельный класс прямых разделяет набор точек).
• Есть k параллельных классов прямых. Каждая точка лежит ровно на k прямых, по одной от каждого параллельного класса.

( П + 1) -сетью порядка п именно аффинная плоскость порядка п .

К - сеть порядка п эквивалентна набору к - 2 взаимно ортогональных латинских квадратов порядка п .

Пример: сети перевода

Для произвольного поля F пусть Σ будет набором n -мерных подпространств векторного пространства F ^{2 n} , любые два из которых пересекаются только в {0} (так называемый частичный разброс ). Члены Σ и их смежные классы в F ^{2 n} образуют линии сети трансляций в точках F ^{2 n} . Если | Σ | = k это k -сеть порядка | F ⁿ | . Начиная с аффинной плоскости трансляции , любое подмножество параллельных классов образует сеть трансляции.

При наличии трансляционной сети не всегда возможно добавить к ней параллельные классы, чтобы сформировать аффинную плоскость. Однако, если F - бесконечное поле, любой частичный разброс Σ с меньшим, чем | F | члены могут быть расширены, а сеть трансляции может быть дополнена до аффинной плоскости трансляции.

Геометрические коды

Учитывая «линия / точка» матрицу инцидентности любой конечной структуры заболеваемости , M , и любого поля , F строки пространства М над F представляет собой линейный код , который мы можем обозначать C = C _F ( M ) . Другой связанный код , который содержит информацию о структуре заболеваемости является Халл из C , которая определяется следующим образом:

${\ displaystyle \ operatorname {Hull} (C) = C \ cap C ^ {\ perp},}$

где C ^⊥ является ортогональным кодом C .

Об этих кодах на этом уровне общности можно сказать немногое, но если структура инцидентности имеет некоторую «регулярность», коды, полученные таким образом, могут быть проанализированы, и информация о кодах и структурах инцидентности может быть извлечена друг из друга. Когда структура инцидентности представляет собой конечную аффинную плоскость, коды принадлежат классу кодов, известному как геометрические коды . Объем информации, переносимой кодом об аффинной плоскости, частично зависит от выбора поля. Если характеристика поля не разделяет порядок плоскости, генерируемый код представляет собой полное пространство и не несет никакой информации. С другой стороны,

• Если π - аффинная плоскость порядка n и F - поле характеристики p , где p делит n , то минимальный вес кода B = Hull ( C _F ( π )) ^⊥ равен n, а все векторы минимального веса равны постоянные кратные векторов, элементы которых равны нулю или единице.

Более того,

• Если π - аффинная плоскость порядка p и F - поле характеристики p , то C = Hull ( C _F ( π )) ^⊥ и векторы минимального веса являются в точности скалярными кратными (векторам инцидентности) прямых π .

Когда π = AG (2, q ) сгенерированный геометрический код является q- мерным кодом Рида-Маллера .

Аффинные пространства

Аффинные пространства можно определить аналогично построению аффинных плоскостей из проективных плоскостей. Также возможно предоставить систему аксиом для многомерных аффинных пространств, которая не относится к соответствующему проективному пространству .

Заметки

Рекомендации

• Ассмус-младший, EF; Ключ, JD (1992), образцы и их коды , Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-41361-9
• Кэмерон, Питер Дж. (1991), Проективные и полярные пространства , QMW Maths Notes, 13 , Лондон: Школа математических наук колледжа Королевы Марии и Вестфилда, MR  1153019
• Хартсхорн, Р. (2000), Геометрия: Евклид и не только , Спрингер, ISBN 0387986502
• Hughes, D .; Пайпер, Ф. (1973), Проективные плоскости , Springer-Verlag, ISBN 0-387-90044-6
• Ленц, Х. (1961), Grundlagen der Elementarmathematik , Берлин: Deutscher Verlag d. Wiss.
• Мурхаус, Эрик (2007), Геометрия падения (PDF)

дальнейшее чтение

• Касс, Рей (2006), Проективная геометрия: Введение , Оксфорд: Oxford University Press, ISBN 0-19-929886-6
• Дембовски, Питер (1968), Конечная геометрия , Берлин: Springer Verlag
• Kárteszi, F. (1976), Введение в конечную геометрию , Амстердам: Северная Голландия, ISBN 0-7204-2832-7
• Линднер, Чарльз С .; Роджер, Кристофер А. (1997), Теория дизайна , CRC Press, ISBN 0-8493-3986-3
• Люнебург, Хайнц (1980), Самолеты перевода , Берлин: Springer Verlag, ISBN 0-387-09614-0
• Стивенсон, Фредерик В. (1972), Проективные самолеты , Сан-Франциско: WH Freeman and Company, ISBN 0-7167-0443-9