Аксиома Playfair - Playfair's axiom
В геометрии , аксиома Playfair в это аксиома , что может быть использовано вместо пятого постулата Евклида (The постулат ):
На плоскости , для которой задана линия и точка не на ней, через точку можно провести не более одной линии, параллельной данной линии.
Он эквивалентен параллельному постулату Евклида в контексте евклидовой геометрии и был назван в честь шотландского математика Джона Плейфэра . Предложение «не больше» - это все, что нужно, поскольку с помощью остальных аксиом можно доказать, что существует по крайней мере одна параллельная линия. В заявлении часто используется фраза «есть одна и только одна параллель». В «Элементах» Евклида две линии называются параллельными, если они никогда не встречаются, и другие характеристики параллельных линий не используются.
Эта аксиома используется не только в евклидовой геометрии, но и в более широком изучении аффинной геометрии, где концепция параллелизма является центральной. В настройке аффинной геометрии необходима более сильная форма аксиомы Плейфэра (где «самое большее» заменено «одним и только одним»), поскольку аксиомы нейтральной геометрии не присутствуют, чтобы обеспечить доказательство существования. Версия аксиомы Плейфэра стала настолько популярной, что ее часто называют параллельной аксиомой Евклида , хотя это и не была версия аксиомы Евклида. Следствие аксиомы состоит в том, что бинарное отношение параллельных прямых является последовательным отношением .
История
Прокл (410–485 гг. Н. Э.) Ясно делает это утверждение в своем комментарии к Евклиду I.31 (Книга I, предложение 31).
В 1785 году Уильям Лудлам сформулировал аксиому параллельности следующим образом:
- Две прямые, пересекающиеся в одной точке, не параллельны третьей линии.
Это краткое выражение евклидова параллелизма было принято Плейфэром в его учебнике « Элементы геометрии» (1795 г.), который часто переиздавался. Он написал
- Две пересекающиеся друг с другом прямые не могут быть параллельны одной и той же прямой.
Playfair поблагодарил Лудлама и других за упрощение евклидова утверждения. В более поздних разработках точка пересечения двух линий появилась первой, и отрицание двух параллелей стало выражаться как уникальная параллель, проходящая через данную точку.
Шопенгауэр выразил поддержку аксиоме в The World as Will and Idea Vol II, Sup. гл 13.
В 1883 году Артур Кейли был президентом Британской ассоциации и выразил это мнение в своем обращении к Ассоциации:
- Я считаю, что Двенадцатая Аксиома Евклида в ее форме Плейфэра не нуждается в демонстрации, но является частью нашего представления о пространстве, физического пространства нашего опыта, которое является представлением, лежащим в основе всего внешнего опыта.
Когда Дэвид Гильберт написал свою книгу « Основы геометрии» (1899), в которой был предложен новый набор аксиом для евклидовой геометрии, он использовал форму аксиомы Плейфэра вместо первоначальной евклидовой версии для обсуждения параллельных прямых.
Связь с пятым постулатом Евклида
Параллельный постулат Евклида гласит:
Если линейный сегмент пересекает две прямые линии, образующие два внутренних угла на одной стороне, сумма которых меньше двух прямых углов , то две прямые, если они растянуты бесконечно, встречаются на той стороне, на которой сумма углов меньше двух прямых углов.
Сложность этого утверждения по сравнению с формулировкой Playfair, безусловно, является ведущим вкладом в популярность цитирования аксиомы Playfair при обсуждении параллельного постулата.
В контексте абсолютной геометрии эти два утверждения эквивалентны, что означает, что каждое может быть доказано, предполагая другое при наличии остальных аксиом геометрии. Это не означает , что высказывания логически эквивалентны (т.е. один может быть доказано от друга , используя только формальные манипуляции логики), так как , например, при интерпретации в сферической модели с эллиптической геометрии одно утверждение верно и другое нет. Логически эквивалентные утверждения имеют одинаковую ценность истинности во всех моделях, в которых они интерпретируются.
Приведенные ниже доказательства предполагают, что все аксиомы абсолютной (нейтральной) геометрии верны.
Пятый постулат Евклида следует аксиоме Playfair
Самый простой способ показать это - использовать теорему Евклида (эквивалент пятого постулата), которая утверждает, что сумма углов треугольника равна двум прямым углам. Принимая во внимание линию и точку P не на этой линии, построить линию, т , перпендикулярную к данному одному через точку P , а затем перпендикулярно к этой перпендикуляра в точке P . Эта линия параллельна, потому что она не может пересекаться и образовывать треугольник, как указано в Книге 1, Предложение 27 в «Элементах» Евклида . Теперь видно, что других параллелей не существует. Если n было второй линией, проходящей через P , то n образует острый угол с t (так как это не перпендикуляр), и гипотеза пятого постулата верна, и, таким образом, n встречается .
Из аксиомы Playfair следует пятый постулат Евклида.
Учитывая, что постулат Playfair подразумевает, что только перпендикуляр к перпендикуляру является параллелью, линии конструкции Евклида должны будут пересекать друг друга в точке. Также необходимо доказать, что они сделают это на той стороне, где сумма углов меньше двух прямых углов, но это сложнее.
Транзитивность параллелизма
Предложение 30 Евклида гласит: «Две прямые, каждая из которых параллельна третьей, параллельны друг другу». Август де Морган заметил, что это предложение логически эквивалентно аксиоме Плейфэра. Это замечание было пересказано Т.Л. Хитом в 1908 году. Аргумент Де Моргана выглядит следующим образом: пусть X - это множество пар различных прямых, которые пересекаются, а Y - множество различных пар прямых, каждая из которых параллельна одной общей прямой. Если z представляет собой пару отдельных строк, то утверждение,
- Для всех z , если z находится в X, то z не находится в Y ,
является аксиомой Плейфэра (в терминах Де Моргана, Нет X есть Y ) и ее логически эквивалентным контрапозитивом ,
- Для всех z , если z находится в Y, то z не находится в X ,
- это Евклид I.30, транзитивность параллелизма ( Y не является X ).
Совсем недавно импликация была сформулирована иначе в терминах бинарного отношения, выраженного параллельными линиями : в аффинной геометрии отношение считается отношением эквивалентности , что означает, что линия считается параллельной самой себе . Энди Лю писал: «Пусть P - точка не на прямой 2. Предположим, что прямая 1 и прямая 3 проходят через P и параллельны прямой 2. В силу транзитивности они параллельны друг другу и, следовательно, не могут иметь ровно P общих. . Отсюда следует, что это одна и та же линия, что является аксиомой Playfair ».
Примечания
Рекомендации
- Плейфэр, Джон (1846). Элементы геометрии . МЫ Дин.
- Евс, Ховард (1963), Обзор геометрии (том первый) , Бостон: Аллин и Бэкон
- Гринберг, Марвин Джей (1974), Евклидова и неевклидова геометрия / Развитие и история , Сан-Франциско: WH Freeman, ISBN 0-7167-0454-4
- Хит, Томас Л. (1956). Тринадцать книг элементов Евклида ([Факсимиле. Оригинал публикации: Cambridge University Press , 1908] 2-е изд.). Нью-Йорк: Dover Publications .
- (3 тт.): ISBN 0-486-60088-2 (т. 1), ISBN 0-486-60089-0 (т. 2), ISBN 0-486-60090-4 (т. 3).