Тензор Вейля - Weyl tensor

В дифференциальной геометрии , то тензор кривизны Вейля , названный в честь Герман Вейль , является мерой кривизны в пространстве - времени , или, более общо, псевдориманово многообразие . Как и тензор кривизны Римана, тензор Вейля выражает приливную силу, которую тело испытывает при движении по геодезической . Тензор Вейля отличается от тензора кривизны Римана тем, что он не передает информацию о том, как изменяется объем тела, а только о том, как форма тела искажается приливной силой. Кривизна Риччи , или след компонент тензора Римана содержит ровно информацию о том , как объемы изменяются в присутствии приливных сил, поэтому тензор Вейля является бесследовый компонент тензора Римана. Это тензор , имеющий ту же симметрию, что и тензор Римана, с дополнительным условием, что он не имеет следов: сжатие метрики на любой паре индексов дает ноль.

В общей теории относительности кривизна Вейля - это единственная часть кривизны, которая существует в свободном пространстве - решение вакуумного уравнения Эйнштейна - и она управляет распространением гравитационных волн через области пространства, лишенные материи. В более общем плане кривизна Вейля является единственной составляющей кривизны для Риччи-плоских многообразий и всегда определяет характеристики полевых уравнений многообразия Эйнштейна .

В размерностях 2 и 3 тензор кривизны Вейля тождественно равен нулю. В размерностях ≥ 4 кривизна Вейля, как правило, отлична от нуля. Если тензор Вейля обращается в нуль в размерности ≥ 4, то метрика локально конформно плоская : существует локальная система координат, в которой метрический тензор пропорционален постоянному тензору. Этот факт был ключевым компонентом теории гравитации Нордстрема , которая была предшественницей общей теории относительности .

Определение

Тензор Вейля может быть получен из полного тензора кривизны путем вычитания различных следов. Это проще всего сделать, записав тензор Римана как тензор валентности (0,4) (путем сжатия метрики). Тензор Вейля валентности (0,4) тогда ( Петерсен, 2006 , с. 92)

{\ displaystyle C = R - {\ frac {1} {n-2}} \ left (\ mathrm {Ric} - {\ frac {s} {n}} g \ right) \ wedge \! \! \! \! \! \! \ bigcirc g - {\ frac {s} {2n (n-1)}} g \ wedge \! \! \! \! \! \! \ bigcirc g}

где n - размерность многообразия, g - метрика, R - тензор Римана, Ric - тензор Риччи , s - скалярная кривизна и обозначает произведение Кулькарни – Номидзу двух симметричных (0,2) тензоров: ${\ Displaystyle ч \ клин \! \! \! \! \! \! \ bigcirc k}$

{\ displaystyle {\ begin {align} (ч \ клин \! \! \! \! \! \! \ bigcirc k) \ left (v_ {1}, v_ {2}, v_ {3}, v_ {4 } \ right) = \ quad & h \ left (v_ {1}, v_ {3} \ right) k \ left (v_ {2}, v_ {4} \ right) + h \ left (v_ {2}, v_ {4} \ right) k \ left (v_ {1}, v_ {3} \ right) \\ - {} & h \ left (v_ {1}, v_ {4} \ right) k \ left (v_ {2 }, v_ {3} \ right) -h \ left (v_ {2}, v_ {3} \ right) k \ left (v_ {1}, v_ {4} \ right) \ end {align}}}

В обозначениях компонент тензора это можно записать как

{\ displaystyle {\ begin {align} C_ {ik \ ell m} = R_ {ik \ ell m} + {} & {\ frac {1} {n-2}} \ left (R_ {im} g_ {k \ ell} -R_ {i \ ell} g_ {km} + R_ {k \ ell} g_ {im} -R_ {km} g_ {i \ ell} \ right) \\ {} + {} & {\ frac {1} {(n-1) (n-2)}} R \ left (g_ {i \ ell} g_ {km} -g_ {im} g_ {k \ ell} \ right). \ \ End {выровнено }}}

Обычный (1,3) валентный тензор Вейля затем получается путем сворачивания вышеуказанного с обратной метрикой.

Разложение ( 1 ) выражает тензор Римана как ортогональную прямую сумму в том смысле, что

{\ displaystyle | R | ^ {2} = | C | ^ {2} + \ left | {\ frac {1} {n-2}} \ left (\ mathrm {Ric} - {\ frac {s} { n}} g \ right) \ wedge \! \! \! \! \! \! \ bigcirc g \ right | ^ {2} + \ left | {\ frac {s} {2n (n-1)}} g \ wedge \! \! \! \! \! \! \ bigcirc g \ right | ^ {2}.}

Это разложение, известное как разложение Риччи , выражает тензор кривизны Римана на его неприводимые компоненты под действием ортогональной группы ( Singer & Thorpe 1968 ) . В размерности 4 тензор Вейля далее разлагается на инвариантные множители для действия специальной ортогональной группы , самодвойственной и антисамодуальной частей C ⁺ и C ^- .

Тензор Вейля также может быть выражен с помощью тензора Схоутена , который является скорректированным по следу кратным тензору Риччи,

{\ displaystyle P = {\ frac {1} {n-2}} \ left (\ mathrm {Ric} - {\ frac {s} {2 (n-1)}} g \ right).}

потом

{\ Displaystyle C = RP \ клин \! \! \! \! \! \! \ bigcirc g.}

В индексах

{\ displaystyle C_ {abcd} = R_ {abcd} - {\ frac {2} {n-2}} \ left (g_ {a [c} R_ {d] b} -g_ {b [c} R_ {d ] a} \ right) + {\ frac {2} {(n-1) (n-2)}} R ~ g_ {a [c} g_ {d] b}}

где - тензор Римана, - тензор Риччи, - это скаляр Риччи (скалярная кривизна), а скобки вокруг индексов относятся к антисимметричной части . Эквивалентно, ${\ displaystyle R_ {abcd}}$ ${\ displaystyle R_ {ab}}$ ${\ displaystyle R}$

{\ displaystyle {C_ {ab}} ^ {cd} = {R_ {ab}} ^ {cd} -4S _ {[a} ^ {[c} \ delta _ {b]} ^ {d]}}

где S обозначает тензор Схоутена .

Характеристики

Конформное изменение масштаба

Тензор Вейля обладает особым свойством инвариантности относительно конформных изменений метрики . То есть, если для некоторой положительной скалярной функции, то (1,3) валентный тензор Вейля удовлетворяет . По этой причине тензор Вейля также называют конформным тензором . Отсюда следует, что для того, чтобы риманово многообразие было конформно плоским, необходимым условием является обращение в нуль тензора Вейля. В размерностях ≥ 4 этого условия также достаточно . В размерности 3 обращение в нуль тензора Коттона является необходимым и достаточным условием для того, чтобы риманово многообразие было конформно плоским. Любое двумерное (гладкое) риманово многообразие является конформно плоским, что является следствием существования изотермических координат . ${\ displaystyle g _ {\ mu \ nu} \ mapsto g '_ {\ mu \ nu} = fg _ {\ mu \ nu}}$ ${\ displaystyle f}$ ${\ Displaystyle {C '} _ {\ \ bcd} ^ {a} = C _ {\ \ bcd} ^ {a}}$