Классификация Петрова - Petrov classification

В дифференциальной геометрии и теоретической физике , то классификация Петровой (также известная как классификации Петров-Пирани-Пенроуз) описывает возможные алгебраические симметрии этого тензора Вейля на каждом случае в лоренцевском многообразии .

Чаще всего применяется при изучении точных решений из уравнений Эйнштейна , но , строго говоря классификацию является теоремой в чистой математике , применяемая к любому лоренцевскому многообразию, независимо от какой - либо физической интерпретации. Классификация была основана в 1954 году А.З. Петровым и независимо Феликсом Пирани в 1957 году.

Теорема классификации

Мы можем представить себе тензор четвертого ранга, такой как тензор Вейля , вычисляемый в каком-то событии , как действующий в пространстве бивекторов в этом событии как линейный оператор, действующий в векторном пространстве:

${\ displaystyle X ^ {ab} \ rightarrow {\ frac {1} {2}} \, {C ^ {ab}} _ {mn} X ^ {mn}}$

Затем естественно рассмотреть задачу поиска собственных значений и собственных векторов (которые теперь называются собственными бивекторами) таких, что ${\ displaystyle \ lambda}$${\ displaystyle X ^ {ab}}$

${\ displaystyle {\ frac {1} {2}} \, {C ^ {ab}} _ {mn} \, X ^ {mn} = \ lambda \, X ^ {ab}}$

В (четырехмерном) лоренцевом пространстве-времени существует шестимерное пространство антисимметричных бивекторов в каждом событии. Однако из симметрии тензора Вейля следует, что любые собственные бивекторы должны принадлежать четырехмерному подмножеству. Таким образом, тензор Вейля (в данном событии) фактически может иметь не более четырех линейно независимых собственных бивекторов.

Как и в теории собственных векторов обычного линейного оператора, собственные бивекторы тензора Вейля могут встречаться с различной кратностью . Как и в случае обычных линейных операторов, любая кратность собственных бивекторов указывает на некую алгебраическую симметрию тензора Вейля в данном событии. Как и следовало ожидать от теории собственных значений обычного линейного оператора в четырехмерном векторном пространстве, различные типы тензора Вейля (в данном событии) могут быть определены путем решения характеристического уравнения , в данном случае квартики уравнение .

Эти собственные бивекторы связаны с определенными нулевыми векторами в исходном пространстве-времени, которые называются главными нулевыми направлениями (в данном событии). Соответствующая полилинейная алгебра в некоторой степени задействована (см. Цитаты ниже), но полученная классификационная теорема утверждает, что существует ровно шесть возможных типов алгебраической симметрии. Они известны как типы Петрова :

• Тип I : четыре простых основных нулевых направления,
• Тип II : одно двойное и два простых главных нулевых направления,
• Тип D : два двойных главных нулевых направления,
• Тип III : одно тройное и одно простое главное нулевое направление,
• Тип N : одно четырехкратное главное нулевое направление,
• Тип O : тензор Вейля исчезает.

Возможные переходы между типами Петрова показаны на рисунке, что также можно интерпретировать как указание на то, что некоторые из типов Петрова «более особенные», чем другие. Так , например, типа I , наиболее общий тип, может вырождаются к типам II или D , в то время как тип II , может вылиться типам III , N или D .

Различные события в данном пространстве-времени могут иметь разные типы Петрова. Тензор Вейля, имеющий тип I (в некоторых случаях), называется алгебраически общим ; в противном случае он называется алгебраически особенным (в этом случае). В общей теории относительности пространства-времени типа O конформно плоские .

Формализм Ньюмана – Пенроуза

На практике для классификации часто используется формализм Ньюмана – Пенроуза . Рассмотрим следующий набор бивекторов:

${\ displaystyle U_ {ab} = - l _ {[a} {\ bar {m}} _ {b]}}$

${\ displaystyle V_ {ab} = n _ {[a} m_ {b]}}$

${\ displaystyle W_ {ab} = m _ {[a} {\ bar {m}} _ {b]} - n _ {[a} l_ {b]}.}$

Тензор Вейля можно выразить как комбинацию этих бивекторов через

${\ displaystyle {\ begin {align} C_ {abcd} & = \ Psi _ {0} U_ {ab} U_ {cd} \\ & \, \, \, + \ Psi _ {1} (U_ {ab} W_ {cd} + W_ {ab} U_ {cd}) \\ & \, \, \, + \ Psi _ {2} (V_ {ab} U_ {cd} + U_ {ab} V_ {cd} + W_ {ab} W_ {cd}) \\ & \, \, \, + \ Psi _ {3} (V_ {ab} W_ {cd} + W_ {ab} V_ {cd}) \\ & \, \, \, + \ Psi _ {4} V_ {ab} V_ {cd} + cc \ end {выровнено}}}$

где - скаляры Вейля, а cc - комплексное сопряжение. Шесть различных типов Петрова различаются по тому, какие из скаляров Вейля исчезают. Условия ${\ Displaystyle \ {\ Psi _ {j} \}}$

• Тип I : ,${\ displaystyle \ Psi _ {0} = 0}$
• Тип II  : ,${\ Displaystyle \ Psi _ {0} = \ Psi _ {1} = 0}$
• Тип D : ,${\ Displaystyle \ Psi _ {0} = \ Psi _ {1} = \ Psi _ {3} = \ Psi _ {4} = 0}$
• Тип III  : ,${\ Displaystyle \ Psi _ {0} = \ Psi _ {1} = \ Psi _ {2} = 0}$
• Тип N : ,${\ Displaystyle \ Psi _ {0} = \ Psi _ {1} = \ Psi _ {2} = \ Psi _ {3} = 0}$
• Тип O : .${\ Displaystyle \ Psi _ {0} = \ Psi _ {1} = \ Psi _ {2} = \ Psi _ {3} = \ Psi _ {4} = 0}$

Бел критерии

Если дана метрика на лоренцевом многообразии , тензор Вейля для этой метрики может быть вычислен. Если тензор Вейля является алгебраически особенным в некоторой точке , существует полезный набор условий, найденных Луисом (или Луисом) Белом и Робертом Дебевером, для точного определения типа Петрова в точке . Обозначая компоненты тензора Вейля at как (предполагается, что они не равны нулю, т. Е. Не относятся к типу O ), критерии Bel могут быть сформулированы как: ${\ displaystyle M}$${\ displaystyle C}$${\ displaystyle p \ in M}$${\ displaystyle p}$${\ displaystyle p}$${\ displaystyle C_ {abcd}}$

• ${\ displaystyle C_ {abcd}}$является типом N тогда и только тогда, когда существует вектор, удовлетворяющий${\ Displaystyle к (р)}$

${\ Displaystyle C_ {abcd} \, k ^ {d} = 0}$

где обязательно нулевое и уникальное (с точностью до масштабирования). ${\ displaystyle k}$

• Если не является типом N , то имеет тип III тогда и только тогда, когда существует вектор, удовлетворяющий${\ displaystyle C_ {abcd}}$${\ displaystyle C_ {abcd}}$${\ Displaystyle к (р)}$

${\ Displaystyle C_ {abcd} \, k ^ {b} k ^ {d} = 0 = {^ {*} C} _ {abcd} \, k ^ {b} k ^ {d}}$

где обязательно нулевое и уникальное (с точностью до масштабирования). ${\ displaystyle k}$

• ${\ displaystyle C_ {abcd}}$имеет тип II тогда и только тогда, когда существует вектор, удовлетворяющий${\ displaystyle k}$

${\ displaystyle C_ {abcd} \, k ^ {b} k ^ {d} = \ alpha k_ {a} k_ {c}}$и ( )${\ displaystyle {} ^ {*} C_ {abcd} \, k ^ {b} k ^ {d} = \ beta k_ {a} k_ {c}}$${\ Displaystyle \ альфа \ бета \ neq 0}$

где обязательно нулевое и уникальное (с точностью до масштабирования). ${\ displaystyle k}$

• ${\ displaystyle C_ {abcd}}$имеет тип D тогда и только тогда, когда существуют два линейно независимых вектора , удовлетворяющих условиям${\ displaystyle k}$${\ displaystyle k '}$

${\ displaystyle C_ {abcd} \, k ^ {b} k ^ {d} = \ alpha k_ {a} k_ {c}}$, ( )${\ displaystyle {} ^ {*} C_ {abcd} \, k ^ {b} k ^ {d} = \ beta k_ {a} k_ {c}}$${\ Displaystyle \ альфа \ бета \ neq 0}$

а также

${\ displaystyle C_ {abcd} \, k '^ {b} k' ^ {d} = \ gamma k '_ {a} k' _ {c}}$, ( ).${\ displaystyle {} ^ {*} C_ {abcd} \, k '^ {b} k' ^ {d} = \ delta k '_ {a} k' _ {c}}$${\ displaystyle \ gamma \ delta \ neq 0}$

где - двойственный к тензору Вейля в . ${\ displaystyle {{} ^ {*} C} _ {abcd}}$${\ displaystyle p}$

Фактически, для каждого критерия, приведенного выше, существуют эквивалентные условия для того, чтобы тензор Вейля имел этот тип. Эти эквивалентные условия сформулированы в терминах двойственного и самодуального тензора Вейля и некоторых бивекторов и собраны вместе в Hall (2004).

Критерии Бэля находят применение в общей теории относительности, где определение типа алгебраически специальных тензоров Вейля типа Петрова осуществляется путем поиска нулевых векторов.

Физическая интерпретация

Согласно общей теории относительности , различные алгебраически специальные типы Петрова имеют некоторые интересные физические интерпретации, причем эту классификацию иногда называют классификацией гравитационных полей .

Области типа D связаны с гравитационными полями изолированных массивных объектов, таких как звезды. Точнее, поля типа D возникают как внешнее поле гравитирующего объекта, которое полностью характеризуется его массой и угловым моментом. (Более общий объект может иметь ненулевые высшие мультипольные моменты .) Два двойных главных нулевых направления определяют «радиальные» входящие и исходящие нулевые конгруэнции рядом с объектом, который является источником поля.

Электрогравитационного тензор (или приливной тензор ) в тип D области очень близко аналогичны гравитационных полей , которые описаны в ньютоновской гравитации с помощью кулоновского типа гравитационного потенциала . Такое приливное поле характеризуется напряжением в одном направлении и сжатием в ортогональных направлениях; собственные значения имеют вид (-2,1,1). Например, космический корабль, вращающийся вокруг Земли, испытывает крошечное растяжение по радиусу от центра Земли и крошечное сжатие в ортогональных направлениях. Как и в случае ньютоновской гравитации, это приливное поле обычно затухает как , где - расстояние от объекта. ${\ Displaystyle О (г ^ {- 3})}$${\ displaystyle r}$

Если объект вращается вокруг какой-либо оси , помимо приливных эффектов, будут возникать различные гравитомагнитные эффекты, такие как спин-спиновые силы на гироскопах, переносимых наблюдателем. В керровском вакууме , который является наиболее известным примером вакуумного решения типа D , эта часть поля затухает как . ${\ Displaystyle O (г ^ {- 4})}$

Области типа III связаны с своего рода продольным гравитационным излучением. В таких регионах приливные силы имеют сдвигающий эффект. Этой возможностью часто пренебрегают, отчасти потому, что гравитационное излучение, которое возникает в теории слабого поля, относится к типу N , а отчасти потому, что излучение типа III распадается как , что быстрее, чем излучение типа N.${\ Displaystyle О (г ^ {- 2})}$

Области типа N связаны с поперечным гравитационным излучением, которое астрономы обнаружили с помощью LIGO . Четверное главное нулевое направление соответствует волновому вектору, описывающему направление распространения этого излучения. Это , как правило , убывает как , так что поле излучения дальнего типа N . ${\ Displaystyle О (г ^ {- 1})}$

Области типа II объединяют эффекты, отмеченные выше для типов D , III и N , довольно сложным нелинейным образом.

Области типа O или конформно плоские области связаны с местами, где тензор Вейля одинаково обращается в нуль. В этом случае кривизна называется чистой Риччи . В конформно-плоской области любые гравитационные эффекты должны происходить из-за непосредственного присутствия материи или энергии поля некоторого негравитационного поля (например, электромагнитного поля ). В некотором смысле это означает, что какие-либо далекие объекты не оказывают какого-либо дальнего влияния на события в нашем регионе. Точнее, если в далеких регионах есть изменяющиеся во времени гравитационные поля, новости еще не достигли нашей конформно-плоской области.

Гравитационное излучение, испускаемое изолированной системой, обычно не будет алгебраически особенным. Теорема отслаивания описывает способ, которым по мере удаления от источника излучения различные компоненты поля излучения «отслаиваются», пока, наконец, на больших расстояниях не будет заметно только излучение типа N. Это похоже на теорему об электромагнитном отслаивании .

Примеры

В некоторых (более или менее) знакомых решениях тензор Вейля в каждом событии имеет один и тот же тип Петрова:

• вакуума Керра всюду типа D ,
• некоторые пылесосы Робинсона / Траутмана везде относятся к типу III ,
• пространства- время pp-волн всюду имеют тип N ,
• в модели FLRW везде типа O .

В более общем плане любое сферически-симметричное пространство-время должно быть типа D (или O ). Известны все алгебраически специальные пространства-времени, имеющие различные типы тензоров энергии-импульса , например все вакуумные решения типа D.

Некоторые классы решений могут быть инвариантно охарактеризованы с использованием алгебраических симметрий тензора Вейля: например, класс неконформно плоских нулевых электровакуумных или нулевых пылевых решений, допускающих расширяющуюся, но не крутящуюся нулевую конгруэнцию, и есть класс пространств-времени Робинсона / Траутмана . Обычно они относятся к типу II , но включают примеры типа III и типа N.

Обобщение на более высокие измерения

A. Coley, R. Milson, V. Pravda и A. Pravdová (2004) разработали обобщение алгебраической классификации на произвольную размерность пространства-времени . Их подход использует подход на основе нулевого кадра , то есть на основе кадра, содержащего два нулевых вектора и вместе с пространственноподобными векторами. Компоненты базиса фрейма тензора Вейля классифицируются по их свойствам преобразования при локальных бустах Лоренца . Если определенные компоненты Вейля исчезают, то и / или называются выровненными по Вейлю нулевыми направлениями (WAND). В четырех измерениях является ЖЕЛЕЗОМ тогда и только тогда, когда это главное нулевое направление в смысле, определенном выше. Этот подход дает естественное многомерное расширение каждого из различных алгебраических типов II , D и т.д., определенных выше. ${\ displaystyle d}$${\ displaystyle l}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle d-2}$${\ displaystyle l}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle l}$

Альтернативное, но неэквивалентное обобщение было ранее определено де Сметом (2002) на основе спинорного подхода . Однако подход де Смета ограничен только 5 измерениями.

Смотрите также

• Классификация электромагнитных полей
• Точные решения в общей теории относительности
• Классификация Сегре
• Теорема пилинга
• Тензор Плебанского

Ссылки

• Coley, A .; и другие. (2004). «Классификация тензора Вейля в высших измерениях». Классическая и квантовая гравитация . 21 (7): L35 – L42. arXiv : gr-qc / 0401008 . Bibcode : 2004CQGra..21L..35C . DOI : 10.1088 / 0264-9381 / 21/7 / L01 .
• де Смет, П. (2002). «Черные дыры на цилиндрах не являются алгебраически особенными». Классическая и квантовая гравитация . 19 (19): 4877–4896. arXiv : hep-th / 0206106 . Bibcode : 2002CQGra..19.4877D . DOI : 10.1088 / 0264-9381 / 19/19/307 .
• д'Инверно, Рэй (1992). Введение в теорию относительности Эйнштейна . Оксфорд: Издательство Оксфордского университета . ISBN 0-19-859686-3. См. Разделы 21.7, 21.8.
• Холл, Грэм (2004). Симметрии и структура кривизны в общей теории относительности (Всемирные научные лекции по физике) . Сингапур: World Scientific Pub. Co. ISBN 981-02-1051-5. См. Разделы 7.3, 7.4 для всестороннего обсуждения классификации Петрова .
• МакКаллум, Массачусетс (2000). «Примечание редактора: Классификация пространств, определяющих гравитационные поля». Общая теория относительности и гравитации . 32 (8): 1661–1663. Bibcode : 2000GReGr..32.1661P . DOI : 10,1023 / A: 1001958823984 .
• Пенроуз, Роджер (1960). «Спинорный подход к общей теории относительности». Анналы физики . 10 : 171–201. Bibcode : 1960AnPhy..10..171P . DOI : 10.1016 / 0003-4916 (60) 90021-X .
• Петров, АЗ (1954). "Классификация пространств определяющих поля тяготения". Уч. Записки Казань. Гос. Univ . 114 (8): 55–69. Английский перевод Петров, АЗ (2000). «Классификация пространств, определяемых гравитационными полями». Общая теория относительности и гравитации . 32 (8): 1665–1685. Bibcode : 2000GReGr..32.1665P . DOI : 10,1023 / A: 1001910908054 .
• Петров, АЗ (1969). Пространства Эйнштейна . Оксфорд: Пергамон. ISBN 0080123155., перевод RF Kelleher & J. Woodrow.
• Stephani, H .; Kramer, D .; MacCallum, M .; Hoenselaers, C. & Herlt, E. (2003). Точные решения уравнений поля Эйнштейна (2-е изд.) . Кембридж: Издательство Кембриджского университета . ISBN 0-521-46136-7. См. Главы 4, 26.