Проблема с урной - Urn problem

В теории вероятностей и статистике проблема с урной - это идеализированное мысленное упражнение, в котором некоторые объекты, представляющие реальный интерес (такие как атомы, люди, машины и т. Д.), Представлены в виде цветных шариков в урне или другом контейнере. Кто-то делает вид, что вынимает из урны один или несколько шаров; цель - определить вероятность рисования того или иного цвета или каких-то других свойств. Ниже описывается ряд важных вариаций.

Модель урны - это либо набор вероятностей, которые описывают события в проблеме урны, либо это распределение вероятностей или семейство таких распределений случайных величин, связанных с проблемами урны.

Базовая модель урны

В этой базовой модели урны в теории вероятностей урна содержит x белых и y черных шаров, хорошо перемешанных друг с другом. Из урны случайным образом вынимается один шар и наблюдается его цвет; затем он помещается обратно в урну (или нет), и процесс выбора повторяется.

Возможные вопросы, на которые можно ответить в этой модели:

• Могу ли я сделать вывод о соотношении белых и черных шаров из n наблюдений? С какой степенью уверенности?
• Зная x и y , какова вероятность выпадения определенной последовательности (например, одного белого и одного черного)?
• Если я наблюдаю только n шаров, как я могу быть уверен, что черных шаров нет? (Вариант первого вопроса)

Примеры проблем с урнами

• бета-биномиальное распределение : как указано выше, за исключением того, что каждый раз, когда наблюдается шар, в урну добавляется дополнительный шар того же цвета. Следовательно, общее количество шаров в урне растет. См. Модель урны Pólya .
• биномиальное распределение : распределение количества удачных розыгрышей (попыток), то есть извлечения белых шаров, данных n ничьих с заменой в урне с черными и белыми шарами.
• Урна Хоппе : урна Pólya с дополнительным шаром, называемым мутатором . Когда мутатор нарисован, он заменяется дополнительным шаром совершенно нового цвета.
• гипергеометрическое распределение : после извлечения шары не возвращаются в урну. Следовательно, количество шариков в урне уменьшается. Это называется «розыгрышем без замены» в отличие от «рисования с заменой».
• многомерное гипергеометрическое распределение : то же, что и выше, но с шарами более двух цветов.
• геометрическое распределение : количество розыгрышей до первого удачного (правильно окрашенного) розыгрыша.
• полиномиальное распределение : урна содержит шары более двух цветов.
• отрицательное биномиальное распределение : количество розыгрышей до того, как произойдет определенное количество неудач (розыгрыши неверного цвета).
• Проблема Заполняемость : распределение числа занятых урн после случайного распределения K шаров в п урн, связанная с проблемой купонов коллекционной и днем рождения проблемы .
• Урна Pólya : каждый раз, когда вытягивается шар определенного цвета, он заменяется дополнительным шаром того же цвета.
• Статистическая физика : вывод распределений энергии и скорости.
• Ellsberg парадокс .

Исторические заметки

В « Ars Conjectandi» (1713 г.) Якоб Бернулли рассмотрел проблему определения пропорций разноцветных камешков внутри урны по количеству камешков, извлеченных из урны. Эта проблема была известна как проблема обратной вероятности и была темой исследования в восемнадцатом веке, привлекая внимание Абрахама де Муавра и Томаса Байеса .

Бернулли использовал латинское слово urna , что в первую очередь означает глиняный сосуд, но также этот термин использовался в Древнем Риме для обозначения любого сосуда для сбора бюллетеней или жребий; Современное итальянское слово для обозначения урны - урна . Вдохновением Бернулли могли быть лотереи , выборы или азартные игры, которые предполагали извлечение шаров из контейнера, и было утверждено, что выборы в средневековой и ренессансной Венеции , в том числе выборы дожей , часто включали в себя выбор выборщиков по жребию , используя шары разного цвета, извлеченные из урны.

Смотрите также

• Шары в мусорные ведра
• Проблемы с подбрасыванием монет
• Проблема сборщика купонов
• Дирихле-полиномиальное распределение
• Нецентральные гипергеометрические распределения

использованная литература

дальнейшее чтение

• Джонсон, Норман Л .; и Котц, Самуэль (1977); Модели урн и их применение: подход к современной теории дискретной вероятности , Wiley ISBN  0-471-44630-0
• Махмуд, Хосам М. (2008); Pólya Urn Models , Chapman & Hall / CRC. ISBN  1-4200-5983-1