Верхняя и нижняя вероятности - Upper and lower probabilities

Верхняя и нижняя вероятности являются представлениями неточной вероятности . В то время как теория вероятности использует одно число, вероятность , для описания вероятности того, что событие может произойти, в этом методе используются два числа: верхняя вероятность события и нижняя вероятность события.

Поскольку частотная статистика не допускает метавероятностей , частотникам пришлось предлагать новые решения. Седрик Смит и Артур Демпстер разработали теорию верхней и нижней вероятностей. Гленн Шафер развил теорию Демпстера, и теперь она известна как теория Демпстера – Шейфера или теория Шоке (1953). Точнее, в работе этих авторов одна рассматривает в наборе мощности , , масса функция , удовлетворяющая условиям ${\ Displaystyle P (S) \, \!}$${\ Displaystyle m: P (S) \ rightarrow R}$

${\ Displaystyle м (\ varnothing) = 0 \, \, \, \, \, \, \!; \, \, \, \, \, \, м (А) \ GEQ 0 \, \, \, \, \, \, \!; \, \, \, \, \, \, \ sum _ {A \ in P (X)} m (A) = 1. \, \!}$

В свою очередь, масса связана с двумя неаддитивными непрерывными мерами, называемыми убеждением и правдоподобием, определяемыми следующим образом:

${\ Displaystyle \ OperatorName {bel} (A) = \ sum _ {B \ mid B \ substeq A} m (B) \, \, \, \,; \, \, \, \, \ Operatorname {pl} (A) = \ sum _ {B \ mid B \ cap A \ neq \ varnothing} m (B)}$

В случае, когда бесконечно, может быть такое, что не существует ассоциированной функции масс. См. Стр. 36 из Halpern (2003). Вероятностные меры - это частный случай функций доверия, в которых функция масс приписывает положительную массу только одиночным элементам пространства событий. ${\ displaystyle S}$${\ displaystyle \ operatorname {bel}}$

Другое представление о верхней и нижней вероятностях дает нижняя и верхняя огибающие, полученные из класса распределений вероятностей C путем задания

${\ Displaystyle \ OperatorName {env_ {1}} (A) = \ Inf _ {p \ in C} p (A) \, \, \, \,; \, \, \, \, \ Operatorname {env_ { 2}} (A) = \ sup _ {p \ in C} p (A)}$

Верхняя и нижняя вероятности также связаны с вероятностной логикой : см. Герла (1994).

Отметим также, что мера необходимости может рассматриваться как меньшая вероятность, а мера возможности - как верхняя вероятность.

Смотрите также

• Теория возможностей
• Теория нечеткой меры
• Интервальный конечный элемент
• Анализ вероятностных границ

Рекомендации

• Шоке, Г. (1953). «Теория емкостей» . Annales de l'Institut Fourier . 5 : 131–295. DOI : 10,5802 / aif.53 .
• Герла, Г. (1994). «Выводы в вероятностной логике». Искусственный интеллект . 70 (1–2): 33–52. DOI : 10.1016 / 0004-3702 (94) 90102-3 .
• Халперн, JY (2003). Рассуждения о неопределенности . MIT Press. ISBN   978-0-262-08320-1 .
• Халперн, JY; Фэгин, Р. (1992). «Два взгляда на веру: вера как обобщенная вероятность и вера как свидетельство». Искусственный интеллект . 54 (3): 275–317. CiteSeerX   10.1.1.70.6130 . DOI : 10.1016 / 0004-3702 (92) 90048-3 .
• Хубер, П.Дж. (1980). Надежная статистика . Нью-Йорк: Вили. ISBN   978-0-471-41805-4 .
• Саффиотти, А. (1992). «Логика функции убеждения». Материалы 10-й конференции AAAI . Сан-Хосе, Калифорния. С. 642–647. ISBN   978-0-262-51063-9 .
• Шафер, Г. (1976). Математическая теория доказательств . Принстон: Издательство Принстонского университета. ISBN   978-0-691-08175-5 .
• Walley, P .; Хорошо, Т.Л. (1982). «К частотной теории верхней и нижней вероятности» . Анналы статистики . 10 (3): 741–761. DOI : 10.1214 / AOS / 1176345868 . JSTOR   2240901 .