Теория возможностей - Possibility theory

Теория возможностей - это математическая теория для работы с определенными типами неопределенности и альтернатива теории вероятностей . Он использует меры возможности и необходимости от 0 до 1, от невозможного до возможного и от ненужного до необходимого, соответственно. Профессор Лотфи Заде впервые представил теорию возможностей в 1978 году как расширение своей теории нечетких множеств и нечеткой логики . Дидье Дюбуа и Анри Прад внесли свой вклад в его развитие. Ранее в 1950-х годах экономист GLS Shackle предложил алгебру минимума / максимума для описания степени потенциальной неожиданности.

Формализация возможности

Для простоты предположим, что универсум дискурса Ω является конечным множеством. Возможная мера - это функция от до [0, 1] такая, что: ${\ displaystyle \ operatorname {pos}}$${\ displaystyle 2 ^ {\ Omega}}$

Аксиома 1: ${\ displaystyle \ operatorname {pos} (\ varnothing) = 0}$

Аксиома 2: ${\ Displaystyle \ OperatorName {pos} (\ Omega) = 1}$

Аксиома 3: для любых непересекающихся подмножеств и .${\ Displaystyle \ OperatorName {pos} (U \ cup V) = \ max \ left (\ operatorname {pos} (U), \ Operatorname {pos} (V) \ right)}$${\ displaystyle U}$${\ displaystyle V}$

Отсюда следует, что, как и вероятность, мера возможности определяется ее поведением на одиночных объектах:

${\ displaystyle \ operatorname {pos} (U) = \ max _ {\ omega \ in U} \ operatorname {pos} (\ {\ omega \})}$

при условии, что U конечно или счетно бесконечно.

Аксиому 1 можно интерпретировать как предположение о том, что Ω является исчерпывающим описанием будущих состояний мира, потому что это означает, что элементы вне Ω не имеют веса убеждений.

Аксиому 2 можно интерпретировать как допущение, что доказательства, на основе которых были построены, свободны от каких-либо противоречий. Технически это означает, что в Ω есть хотя бы один элемент с возможностью 1. ${\ displaystyle \ operatorname {pos}}$

Аксиома 3 соответствует аксиоме аддитивности в вероятностях. Однако есть важное практическое отличие. Теория возможностей вычислительно более удобна, потому что аксиомы 1–3 подразумевают, что:

${\ Displaystyle \ OperatorName {pos} (U \ cup V) = \ max \ left (\ operatorname {pos} (U), \ Operatorname {pos} (V) \ right)}$для любых подмножеств и .${\ displaystyle U}$${\ displaystyle V}$

Поскольку о возможности объединения можно узнать из возможности каждого компонента, можно сказать, что возможность является композиционной по отношению к оператору объединения. Однако обратите внимание, что он не является композиционным по отношению к оператору пересечения. В целом:

${\ Displaystyle \ OperatorName {pos} (U \ cap V) \ leq \ min \ left (\ operatorname {pos} (U), \ Operatorname {pos} (V) \ right) \ leq \ max \ left (\ Operatorname {pos} (U), \ operatorname {pos} (V) \ right).}$

Когда Ω не конечно, аксиому 3 можно заменить на:

Для всех наборов индексов , если подмножества попарно не пересекаются,${\ displaystyle I}$${\ Displaystyle U_ {я, \, я \ в I}}$${\ displaystyle \ operatorname {pos} \ left (\ cup _ {i \ in I} U_ {i} \ right) = \ sup _ {i \ in I} \ operatorname {pos} (U_ {i}).}$

Необходимость

В то время как теория вероятностей использует одно число, вероятность, для описания вероятности того, что событие должно произойти, теория возможностей использует две концепции: возможность и необходимость события. Для любого набора мера необходимости определяется выражением ${\ displaystyle U}$

${\ displaystyle \ operatorname {nec} (U) = 1- \ operatorname {pos} ({\ overline {U}})}$

В приведенной выше формуле, означает дополнение , то есть элементы, которым не принадлежат . Несложно показать, что: ${\ displaystyle {\ overline {U}}}$${\ displaystyle U}$${\ displaystyle \ Omega}$${\ displaystyle U}$

${\ Displaystyle \ OperatorName {nec} (U) \ Leq \ OperatorName {pos} (U)}$ для любой ${\ displaystyle U}$

и что:

${\ Displaystyle \ OperatorName {nec} (U \ cap V) = \ min (\ Operatorname {nec} (U), \ operatorname {nec} (V))}$

Обратите внимание, что вопреки теории вероятностей, возможность не самодвойственна. То есть для любого события у нас есть только неравенство: ${\ displaystyle U}$

${\ displaystyle \ operatorname {pos} (U) + \ operatorname {pos} ({\ overline {U}}) \ geq 1}$

Однако справедливо следующее правило двойственности:

Для любого события либо , либо${\ displaystyle U}$${\ displaystyle \ operatorname {pos} (U) = 1}$${\ displaystyle \ operatorname {nec} (U) = 0}$

Соответственно, представления о событии могут быть представлены числом и битом.

Интерпретация

Есть четыре случая, которые можно интерпретировать следующим образом:

${\ displaystyle \ operatorname {nec} (U) = 1}$значит, что необходимо. конечно верно. Это подразумевает это . ${\ displaystyle U}$${\ displaystyle U}$${\ displaystyle \ operatorname {pos} (U) = 1}$

${\ displaystyle \ operatorname {pos} (U) = 0}$означает, что это невозможно. конечно ложно. Это подразумевает это . ${\ displaystyle U}$${\ displaystyle U}$${\ displaystyle \ operatorname {nec} (U) = 0}$

${\ displaystyle \ operatorname {pos} (U) = 1}$означает, что это возможно. Я бы совсем не удивился, если это произойдет. Он уходит непринужденно. ${\ displaystyle U}$${\ displaystyle U}$${\ displaystyle \ operatorname {nec} (U)}$

${\ displaystyle \ operatorname {nec} (U) = 0}$означает, что в этом нет необходимости. Я бы совсем не удивился, если этого не произойдет. Он уходит непринужденно. ${\ displaystyle U}$${\ displaystyle U}$${\ displaystyle \ operatorname {pos} (U)}$

Пересечение двух последних случаев и это означает , что я не считаю , вообще ничего о . Поскольку она допускает такую ​​неопределенность, теория возможностей связана с градацией многозначной логики, такой как интуиционистская логика , а не классической двузначной логики. ${\ displaystyle \ operatorname {nec} (U) = 0}$${\ displaystyle \ operatorname {pos} (U) = 1}$${\ displaystyle U}$

Обратите внимание, что в отличие от возможности, нечеткая логика является композиционной по отношению как к объединению, так и к оператору пересечения. Связь с нечеткой теорией можно пояснить на следующем классическом примере.

• Нечеткая логика: когда бутылка наполовину полна, можно сказать, что уровень истинности утверждения «Бутылка полна» составляет 0,5. Слово «полный» рассматривается как нечеткое предикат, описывающий количество жидкости в бутылке.
• Теория возможности: есть одна бутылка, либо полностью полная, либо полностью пустая. Утверждение «уровень вероятности того, что бутылка полна, составляет 0,5», описывает степень уверенности. Один из способов интерпретировать 0,5 в этом предложении - определить его значение следующим образом: я готов поспорить, что он пуст, пока шансы равны (1: 1) или выше, и я бы ни в коем случае не ставил, что он полон.

Теория возможностей как неточная теория вероятностей

Существует обширное формальное соответствие между теориями вероятности и возможностей, где оператор сложения соответствует оператору максимума.

Мера возможности может рассматриваться как мера правдоподобия согласного в теории свидетельств Демпстера – Шафера . Операторы теории возможностей можно рассматривать как сверхосторожную версию операторов переносимой модели убеждений , современного развития теории свидетельств.

Возможность можно рассматривать как верхнюю вероятность : любое распределение возможности определяет уникальный credal набор набор допустимых вероятностных распределений по

${\ displaystyle K = \ left \ {\, p: \ forall S \ p (S) \ leq \ operatorname {pos} (S) \, \ right \}.}$

Это позволяет изучать теорию возможностей, используя инструменты неточных вероятностей .

Логика необходимости

Мы называем обобщенной возможностью любую функцию, удовлетворяющую аксиоме 1 и аксиоме 3. Мы называем обобщенную необходимость двойственной обобщенной возможности. Обобщенные потребности связаны с очень простой и интересной нечеткой логикой, которую мы называем логикой необходимости . В дедуктивном аппарате логики необходимости логические аксиомы являются обычными классическими тавтологиями . Кроме того, существует только правило нечеткого вывода, расширяющее обычный Modus Ponens. Такое правило гласит, что если α и α → β доказаны на степени λ и μ соответственно, то мы можем утверждать β на степени min {λ, μ}. Легко видеть, что теории такой логики являются обобщенными потребностями и что полностью согласованные теории совпадают с потребностями (см., Например, Gerla 2001).

Смотрите также

• Теория нечеткой меры
• Логическая возможность
• Модальная логика
• Вероятностная логика
• Случайно-нечеткая переменная
• Переносимая модель убеждений
• Верхняя и нижняя вероятности

использованная литература

• Дюбуа, Дидье и Прад, Анри, " Теория возможностей, теория вероятностей и многозначная логика: разъяснение ", Annals of Mathematics and Artificial Intelligence 32: 35–66, 2002.
• Герла Джиангакомо, Нечеткая логика: математические инструменты для приближенного рассуждения , Kluwer Academic Publishers, Dordrecht 2001.
• Ладислав Дж. Кохоут, " Теории возможностей: метааксиоматика и семантика ", нечеткие множества и системы 25: 357-367, 1988.
• Заде, Лотфи , "Нечеткие множества как основа теории возможностей", Нечеткие множества и системы 1: 3–28, 1978 г. (перепечатано в Fuzzy Sets and Systems 100 (Дополнение): 9–34, 1999.)
• Брайан Р. Гейнс и Ладислав Дж. Кохут, «Возможные автоматы» , в материалах Международного симпозиума по многозначной логике, стр. 183–192, Блумингтон, Индиана, 13–16 мая 1975 г.