Автоморфный номер - Automorphic number
В математике , автоморфное число (иногда называют круговое числом ) представляет собой натуральное число в данной системе счисления , чей квадрат «концы» в тех же цифрах, само числа.
Определение и свойства
Принимая во внимании ряда базы , натуральное число с цифрами является автоморфным числом , если это фиксированная точка полинома функции над , то кольцом из целых чисел по модулю . В качестве обратного предела из IS , кольцо -адических чисел , автоморфный номер используется для нахождения числовых представлений неподвижных точек над .
Например, имеется четыре 10-адических фиксированных точки , последние 10 цифр которых равны
Таким образом, автоморфные числа в базе 10 - это 0, 1, 5, 6, 25, 76, 376, 625, 9376, ... (последовательность A003226 в OEIS ).
Неподвижная точка - это нуль функции . В кольце из целых чисел по модулю , есть нули , где основная функция омеги является числом различных простых факторов . Элемент в равен нулю тогда и только тогда или для всех . Поскольку есть два возможных значения в , и такие есть, есть нули и, следовательно, есть неподвижные точки . Согласно лемме Гензеля , если есть нули или неподвижные точки полиномиальной функции по модулю , то существуют соответствующие нули или неподвижные точки той же функции по модулю любой степени , и это остается верным в обратном пределе . Таким образом, в любой данной базе есть -адические неподвижные точки .
Поскольку 0 всегда является делителем нуля , 0 и 1 всегда являются неподвижными точками , а 0 и 1 являются автоморфными числами в каждой базе. Эти решения называются тривиальными автоморфными числами . Если - степень простого числа , то кольцо -адических чисел не имеет делителей нуля, кроме 0, поэтому единственными фиксированными точками являются 0 и 1. В результате нетривиальные автоморфные числа , отличные от 0 и 1, существуют только тогда, когда база имеет по крайней мере два различных простых фактора.
Автоморфные числа в базе
Все -адические числа представлены в базе с использованием A-Z для представления цифровых значений от 10 до 35.
Основные факторы | Неподвижные точки в из | -адические неподвижные точки | Автоморфные числа в базе | |
---|---|---|---|---|
6 | 2, 3 | 0, 1, 3, 4 |
|
0 1 3, 13, 213, 50213, 350213, 1350213, 21350213, 221350213, 3334205344 ... 4, 44, 344, 5344, 205344, 4205344, 34205344, 334205344, 2221350213 ... |
10 | 2, 5 | 0, 1, 5, 6 |
|
0, 1, 5, 6, 25, 76, 376, 625, 9376, 90625, 109376, 890625, 2890625, 7109376, 12890625, 87109376, 212890625, 787109376, 1787109376, 8212890625 ... |
12 | 2, 3 | 0, 1, 4, 9 |
|
0, 1, 4, 9, 54, 69, 369, 854, 3854, 8369, B3854, 1B3854, A08369, 5A08369, 61B3854, B61B3854, 1B61B3854, A05A08369, 21B61B3854, 9A05A08369 ... |
14 | 2, 7 | 0, 1, 7, 8 |
|
0, 1, 7, 8, 37, A8, 1A8, C37, D1A8, 3D1A8, A0C37, 33D1A8, AA0C37, 633D1A8, 7AA0C37, 37AA0C37, A633D1A8, 337AA0C37, AA633D1A8, 7331AAA8, 7337AAA8, 7337AAA8 |
15 | 3, 5 | 0, 1, 6, 10 |
|
0, 1, 6, A, 6A, 86, 46A, A86, 146A, DA86, 3146A, BDA86, 4BDA86, A3146A, 1A3146A, D4BDA86, 4D4BDA86, A1A3146A, 24D4BDA86, CA1A3146A, 624D4BDA86, 8CA6 |
18 | 2, 3 | 9, 10 |
... 1249 ... GFDA |
|
20 | 2, 5 | 5, 16 |
... B6B5 ... 8D8G |
|
21 год | 3, 7 | 7, 15 |
... H7G7 ... 3D4F |
|
22 | 2, 11 | 11, 12 |
... 185B ... КДГК |
|
24 | 2, 3 | 9, 16 |
... D0L9 ... AN2G |
|
26 | 2, 13 | 13, 14 |
... 1G6D ... O9JE |
|
28 | 2, 7 | 8, 21 | ||
30 | 2, 3, 5 | 6, 10, 15, 16, 21, 25 |
... B2J6 ... H13A ... 1Q7F ... S3MG ... CSQL ... IRAP |
|
33 | 3, 11 | 12, 22 | ||
34 | 2, 17 | 17, 18 | ||
35 год | 5, 7 | 15, 21 | ||
36 (6 2 ) | 2, 3 | 9, 28 (13, 44 в основании 6) |
... DN29 (... 21350213 в основании 6) ... MCXS (... 34205344 в базе 6) |
Расширения
Автоморфные числа могут быть расширены до любой такой полиномиальной функции степени с b-адическими коэффициентами . Эти обобщенные автоморфные числа образуют дерево .
-автоморфные номера
- автоморфное число возникает , когда полиномиальная функция является
Например, с и , поскольку есть две неподвижные точки для in ( и ), согласно лемме Гензеля существуют две 10-адические неподвижные точки для ,
поэтому 2-автоморфные числа в базе 10 - это 0, 8, 88, 688, 4688 ...
Триморфные числа
Триморфное число или сферическое число происходит тогда , когда многочлен функция . Все автоморфные номера триморфны. Термины круговой и сферический раньше использовались для немного другого случая числа, все степени которого имеют ту же последнюю цифру, что и само число.
Для базы триморфные числа:
- 0, 1, 4, 5, 6, 9, 24, 25, 49, 51, 75, 76, 99, 125, 249, 251, 375, 376, 499, 501, 624, 625, 749, 751, 875, 999, 1249, 3751, 4375, 4999, 5001, 5625, 6249, 8751, 9375, 9376, 9999, ... (последовательность A033819 в OEIS )
Для базы триморфные числа:
- 0, 1, 3, 4, 5, 7, 8, 9, B, 15, 47, 53, 54, 5B, 61, 68, 69, 75, A7, B3, BB, 115, 253, 368, 369, 4A7, 5BB, 601, 715, 853, 854, 969, AA7, BBB, 14A7, 2369, 3853, 3854, 4715, 5BBB, 6001, 74A7, 8368, 8369, 9853, A715, BBBB, ...
Пример программирования
def hensels_lemma(polynomial_function, base: int, power: int):
"""Hensel's lemma."""
if power == 0:
return [0]
if power > 0:
roots = hensels_lemma(polynomial_function, base, power - 1)
new_roots = []
for root in roots:
for i in range(0, base):
new_i = i * base ** (power - 1) + root
new_root = polynomial_function(new_i) % pow(base, power)
if new_root == 0:
new_roots.append(new_i)
return new_roots
base = 10
digits = 10
def automorphic_polynomial(x):
return x ** 2 - x
for i in range(1, digits + 1):
print(hensels_lemma(automorphic_polynomial, base, i))
Смотрите также
Ссылки
- ^ См. Статью Жерара Мишона на
- ^ "сферическое число" . Оксфордский словарь английского языка (3-е изд.). Издательство Оксфордского университета. Сентябрь 2005 г. (Требуется подписка или членство в публичной библиотеке Великобритании .)