Тангенциальный угол - Tangential angle

Тангенциальное угол

φ

для произвольной кривой

Р

.

В геометрии , то тангенциальное угол кривой в декартовой плоскости, в определенной точке, это угол между касательной к кривой в данной точке а $х$ Оу. (Обратите внимание, что некоторые авторы определяют угол как отклонение от направления кривой в некоторой фиксированной начальной точке. Это эквивалентно определению, данному здесь, путем добавления константы к углу или путем поворота кривой.)

Уравнения

Если кривая задается параметрически как $(x (t), y (t))$ , то тангенциальный угол $φ в$ точке $t$ определяется (с точностью до $2π$ ) следующим образом:

{\ displaystyle {\ frac {{\ big (} x '(t), \ y' (t) {\ big)}} {{\ big |} x '(t), \ y' (t) {\ большой |}}} = (\ cos \ varphi, \ \ sin \ varphi).}

Здесь штрих означает производную по $t$ . Таким образом, тангенциальный угол определяет направление вектора скорости $(x (t), y (t))$ , а скорость определяет его величину. Вектор

{\ displaystyle {\ frac {{\ big (} x '(t), \ y' (t) {\ big)}} {{\ big |} x '(t), \ y' (t) {\ большой |}}}}

называется единичным касательным вектором , поэтому эквивалентное определение состоит в том, что тангенциальный угол в $t$ - это угол $φ,$ такой что $(cos φ, sin φ)$ - единичный касательный вектор в $t$ .

Если кривая параметризована длиной дуги $s$ , то $| x' (s), y' (s) | = 1$ , то определение упрощается до

{\ displaystyle {\ big (} x '(s), \ y' (s) {\ big)} = (\ cos \ varphi, \ \ sin \ varphi).}

В этом случае кривизна $κ$ определяется выражением $φ' (s)$ , где $κ$ считается положительным, если кривая изгибается влево, и отрицательным, если кривая изгибается вправо.

Если кривая задана формулой $y = f (x)$ , то мы можем взять $(x, f (x))$ в качестве параметризации и предположить, что $φ$ находится между $- π / 2$ и $π / 2$ . Это дает явное выражение

{\ displaystyle \ varphi = \ arctan f '(x).}

Полярный тангенциальный угол

В полярных координатах , то полярный угол тангенциальная определяется как угол между касательной к кривой в данной точке и луча от начала координат до точки. Если $ψ$ обозначает полярный тангенциальный угол, то $ψ = φ - θ$ , где $φ$ , как указано выше, а $θ$ , как обычно, полярный угол.

Если кривая определяется в полярных координатах как $r = f (θ)$ , то полярный тангенциальный угол $ψ в$ точке $θ$ определяется (с точностью до $2π$ ) следующим образом:

{\ displaystyle {\ frac {{\ big (} f '(\ theta), \ f (\ theta) {\ big)}} {{\ big |} f' (\ theta), \ f (\ theta) {\ big |}}} = (\ cos \ psi, \ \ sin \ psi)}

.

Если кривая параметризована длиной дуги $s$ как $r = r (s)$ , $θ = θ (s)$ , то $| r' (s), rθ' (s) | = 1$ , то определение принимает вид

{\ displaystyle {\ big (} r '(s), \ r \ theta' (s) {\ big)} = (\ cos \ psi, \ \ sin \ psi)}

.

Логарифмическая спираль может быть определена кривой, полярным углом тангенциальной постоянна.

Смотрите также

Ссылки

дальнейшее чтение

«Обозначения» . Encyclopédie des Formes Mathématiques Remarquables (на французском языке).
Йетс, Р. К. (1952). Справочник по кривым и их свойствам . Анн-Арбор, Мичиган: Дж. В. Эдвардс. С. 123–126.

Languages

In other projects