Сублинейная функция - Sublinear function
В линейной алгебре , в сублинейной функции (или функционале , как более часто используются в функциональном анализе ), также называемый квази-полунорм или ее Банах функционала , на векторном пространстве является реальной значной функцией лишь некоторые из свойств полунорме . В отличие от полунорм, сублинейная функция не обязательно должна быть неотрицательно -значной, а также не должна быть абсолютно однородной . Полунормы сами по себе являются абстракциями более известного понятия нормы , где полунорма имеет все определяющие свойства нормы, за исключением того, что не требуется отображать ненулевые векторы в ненулевые значения.
В функциональном анализе иногда используется название функционал Банаха , что свидетельствует о том, что они чаще всего используются при применении общей формулировки теоремы Хана – Банаха . Понятие сублинейной функции было введено Стефаном Банахом, когда он доказал свою версию теоремы Хана-Банаха .
В информатике также существует другое понятие , описанное ниже, которое также называется «сублинейная функция».
Определения
Позвольте быть векторным пространством над полем, где есть либо действительные числа, либо комплексные числа . Действительнозначная функция на называется сублинейной функцией (или сублинейным функционалом, если ), а также иногда называется квазиполунормой или банаховым функционалом , если он имеет эти два свойства:
- Положительная однородность / неотрицательная однородность :для любого реальногои любого; и
-
Субаддитивность / неравенство треугольника :для всех
- Это условие субаддитивности требует действительного значения.
Сублинейная функция называется положительной или неотрицательной, если для всех
Множество всех сублинейных функций в, обозначенных символом, можно частично упорядочить , объявив тогда и только тогда, когда для всех . Сублинейная функция называется минимальной, если она является минимальным элементом в этом порядке. Сублинейная функция минимальна тогда и только тогда, когда она является действительным линейным функционалом .
Примеры и достаточные условия
Каждая полунорма и норма - сублинейная функция, а каждый действительный линейный функционал - сублинейная функция. Обратное в целом неверно.
Если и являются сублинейными функциями в реальном векторном пространстве, то то же самое и карта. В более общем плане, если это любой непустой набор сублинейных функционалов в реальном векторном пространстве, и если для всех, то это сублинейный функционал в реальном векторном пространстве.
Линейный функционал on - это сублинейный функционал, который не является положительным и не является полунормой.
Характеристики
Каждая сублинейная функция является выпуклым функционалом .
Если - вещественнозначная сублинейная функция на then:
- для каждого
-
для всех
- Отображение, определяемое формулой, является полунормой на
- Это, в частности, означает, что по крайней мере одно из и неотрицательно.
- для всех
Ассоциированная полунорма
Если - вещественнозначная сублинейная функция на, то карта определяет полунорму на, называемую полунормой, связанной с
Связь с линейными функциями
Если - сублинейная функция в вещественном векторном пространстве, то следующие значения эквивалентны:
- - линейный функционал ;
- для каждого ;
- для каждого ;
- - минимальная сублинейная функция.
Если - сублинейная функция на вещественном векторном пространстве, то существует линейный функционал на таком, что
Если это вещественное векторное пространство, представляет собой линейный функционал на и положительная функция сублинеен на то на тогда и только тогда
Непрерывность
Теорема - Предположим, есть субаддитивная функция (то есть для всех ). Then является непрерывным в начале координат тогда и только тогда, когда оно равномерно непрерывно на If удовлетворяет then непрерывно тогда и только тогда, когда его абсолютное значение непрерывно. Если неотрицательно, то непрерывно тогда и только тогда, когда открыто в
Предположим, что это топологическое векторное пространство (TVS) над действительными или комплексными числами и является сублинейной функцией на Тогда следующие эквивалентны:
- непрерывно;
- непрерывна в 0;
- равномерно непрерывна на ;
и если положительный, то мы можем добавить к этому списку:
- открыт в
Если - реальная TVS, является линейным функционалом на и является непрерывной сублинейной функцией на, то на означает, что непрерывна.
Связь с функциями Минковского и открытыми выпуклыми множествами
Теорема - Если выпуклая открытая окрестность нуля в ТВС , то функционал Минковского из является непрерывной неотрицательной функция сублинейны на такое , что ; Кроме того , если в это сбалансировано , то есть полнормы на
- Отношение к открытым выпуклым множествам
Теорема - Пусть это TVS (не обязательно локально выпуклым или Хаусдорфа) над вещественными или комплексными числами. Тогда открытые выпуклые подмножества в - это в точности те, которые имеют форму для некоторой и некоторой положительной непрерывной сублинейной функции на
Доказательство
|
---|
Позвольте быть открытым выпуклым подмножеством If, то пусть и в противном случае пусть будет произвольным. Пусть будет функционалом Минковский из которых является непрерывной функцией сублинейны на так выпукло, поглощая, и открытой ( однако это не обязательно , так как полнормы не предполагались , должны быть сбалансировано). Из свойств функционалов Минковского известно то, из чего следует. Но по желанию. |
Операторы
Эту концепцию можно распространить на операторы, которые являются однородными и субаддитивными. Это требует только, чтобы область значений была, скажем, упорядоченным векторным пространством, чтобы понять условия.
Определение информатики
В информатике функция называется сублинейной if или в асимптотической записи (обратите внимание на малое ). Формально, тогда и только тогда, когда для любого данного существует такое, что для То есть растет медленнее, чем любая линейная функция. Не следует путать эти два значения: хотя банаховый функционал является выпуклым , для функций сублинейного роста верно почти обратное: каждая функция может быть ограничена сверху с помощью вогнутой функции сублинейного роста.
Смотрите также
- Асимметричная норма - Обобщение понятия нормы
- Теорема Хана-Банаха
- Линейный функционал
- Норма (математика) - Длина в векторном пространстве
- Семинорм
- Супераддитивность
Примечания
использованная литература
Список используемой литературы
- Наричи, Лоуренс ; Бекенштейн, Эдвард (2011). Топологические векторные пространства . Чистая и прикладная математика (Второе изд.). Бока-Ратон, Флорида: CRC Press. ISBN 978-1584888666. OCLC 144216834 .
- Шефер, Гельмут Х .; Вольф, Манфред П. (1999). Топологические векторные пространства . GTM . 8 (Второе изд.). Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: Springer New York Выходные данные Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0. OCLC 840278135 .
- Трев, Франсуа (2006) [1967]. Топологические векторные пространства, распределения и ядра . Минеола, Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN 978-0-486-45352-1. OCLC 853623322 .