Предел кардинала - Limit cardinal

В математике , предельные кардиналы некоторые кардинальные числа . Кардинальное число λ является слабым предельным кардиналом, если λ не является ни последующим кардиналом, ни нулем. Это означает, что нельзя «достичь» λ от другого кардинала путем повторения последующих операций. Этих кардиналов иногда называют просто «предельными кардиналами», когда контекст ясен.

Кардинал λ является сильным предельным кардиналом, если λ не может быть достигнуто повторными операциями набора мощности . Это означает, что λ отлично от нуля и для всех κ < λ , 2 ^κ < λ . Каждый сильный предельный кардинал также является слабым предельным кардиналом, потому что κ ⁺ ≤ 2 ^κ для каждого кардинала κ , где κ ⁺ обозначает последующий кардинал κ .

Первый бесконечный кардинал ( aleph-naught ) является сильным предельным кардиналом и, следовательно, также слабым предельным кардиналом. ${\ displaystyle \ aleph _ {0}}$

Конструкции

Одним из способов построения предельных кардиналов является операция объединения: это слабый предельный кардинал, определяемый как объединение всех алефов перед ним; и вообще для любого предельного ординала λ является слабым предельным кардиналом. ${\ displaystyle \ aleph _ {\ omega}}$ ${\ displaystyle \ aleph _ {\ lambda}}$

Операция ב может использоваться для получения кардиналов сильных лимитов. Эта операция представляет собой преобразование порядковых чисел в кардиналы, определяемые как

{\ displaystyle \ beth _ {0} = \ aleph _ {0},}

{\ displaystyle \ beth _ {\ alpha +1} = 2 ^ {\ beth _ {\ alpha}},}

(наименьшее порядковое равное число с powerset)

Если λ - предельный ординал,

{\ displaystyle \ beth _ {\ lambda} = \ bigcup \ {\ beth _ {\ alpha}: \ alpha <\ lambda \}.}

Кардинал

{\ displaystyle \ beth _ {\ omega} = \ bigcup \ {\ beth _ {0}, \ beth _ {1}, \ beth _ {2}, \ ldots \} = \ bigcup _ {n <\ omega} \ beth _ {n}}

является сильным предельным кардиналом конфинальности ω. В более общем смысле, для любого ординала α кардинал

{\ displaystyle \ beth _ {\ alpha + \ omega} = \ bigcup _ {n <\ omega} \ beth _ {\ alpha + n}}

кардинал с сильным пределом. Таким образом, существуют сколь угодно большие кардиналы с сильным лимитом.

Связь с порядковыми индексами

Если выбранная аксиома верна, каждое кардинальное число имеет начальный порядковый номер . Если это начальный порядковый номер, то кардинальное число имеет форму того же порядкового индекса λ . Ординал λ определяет, является ли кардинал слабого предела. Потому что, если λ - порядковый номер-преемник, то это не слабый предел. Наоборот, если кардинал κ является последующим кардиналом, скажем, тогда Таким образом, в общем случае, является слабым предельным кардиналом тогда и только тогда, когда λ равно нулю или является предельным ординалом. ${\ displaystyle \ omega _ {\ lambda} \ ,,}$ ${\ displaystyle \ aleph _ {\ lambda}}$ ${\ displaystyle \ aleph _ {\ lambda}}$ ${\ Displaystyle \ Алеф _ {\ альфа ^ {+}} = (\ Алеф _ {\ альфа}) ^ {+} \ ,,}$ ${\ displaystyle \ aleph _ {\ lambda}}$ ${\ Displaystyle \ каппа = (\ Алеф _ {\ альфа}) ^ {+} \ ,,}$ ${\ Displaystyle \ каппа = \ алеф _ {\ альфа ^ {+}} \ ,.}$ ${\ displaystyle \ aleph _ {\ lambda}}$

Хотя порядковый нижний индекс говорит нам, является ли кардинал слабым пределом, он не говорит нам, является ли кардинал сильным пределом. Например, ZFC доказывает, что это слабый кардинал лимита, но не доказывает и не опровергает, что это сильный кардинал лимита (Hrbacek and Jech 1999: 168). Обобщенный континуум гипотеза утверждает , что для любого бесконечного кардинального х . Согласно этой гипотезе понятия слабого и сильного предельных кардиналов совпадают. ${\ displaystyle \ aleph _ {\ omega}}$ ${\ displaystyle \ aleph _ {\ omega}}$ ${\ Displaystyle \ каппа ^ {+} = 2 ^ {\ каппа} \,}$

Понятие недоступности и больших кардиналов

Вышеупомянутое определяет понятие «недоступность»: мы имеем дело со случаями, когда уже недостаточно выполнить конечное число итераций операций преемника и набора мощности; отсюда фраза «недостижима» в обоих интуитивных определениях, приведенных выше. Но «операция объединения» всегда предоставляет другой способ «доступа» к этим кардиналам (и действительно, так обстоит дело и с предельными ординалами). Более сильные представления о недоступности можно определить с помощью кофинальности . Для слабого (соответственно сильного) предельного кардинала κ требуется, чтобы cf ( κ ) = κ (т.е. κ был регулярным ), так что κ не может быть выражено как сумма (объединение) меньших, чем κ кардиналов. Такой кардинал называется слабо (соответственно сильно) недоступным кардиналом . Оба предыдущих примера являются сингулярными кардиналами конфинальности ω и, следовательно, не являются недоступными.

${\ displaystyle \ aleph _ {0}}$ было бы недоступным кардиналом обеих «сильных сторон», за исключением того, что определение недоступного требует, чтобы они были неисчислимыми. Стандартная теория множеств Цермело – Френкеля с аксиомой выбора (ZFC) не может даже доказать непротиворечивость существования недоступного кардинала любого типа выше из-за теоремы Гёделя о неполноте . Точнее, если слабо недоступен, то . Они образуют первые в иерархии крупных кардиналов . ${\ displaystyle \ aleph _ {0}}$ ${\ displaystyle \ kappa}$ ${\ Displaystyle L _ {\ kappa} \ модели ZFC}$

Смотрите также

количественное числительное

Внешние ссылки

http://www.ii.com/math/cardinals/ Бесконечные чернила на кардиналах

Languages

In other projects