Стохастические процессы и краевые задачи - Stochastic processes and boundary value problems

В математике некоторые краевые задачи решаются методами стохастического анализа . Возможно, наиболее известным примером является решение Шизуо Какутани в 1944 году задачи Дирихле для оператора Лапласа с использованием броуновского движения . Однако оказывается, что для большого класса полуэллиптических дифференциальных уравнений в частных производных второго порядка соответствующая краевая задача Дирихле может быть решена с помощью процесса Itō, который решает соответствующее стохастическое дифференциальное уравнение .

Введение: решение Какутани классической проблемы Дирихле

Позвольте быть доменом ( открытым и связным множеством ) в . Пусть - оператор Лапласа , пусть - ограниченная функция на границе , и рассмотрим задачу: ${\ displaystyle D}$${\ textstyle \ mathbb {R} ^ {n}}$${\ displaystyle \ Delta}$${\ displaystyle g}$ ${\ displaystyle \ partial D}$

${\ displaystyle {\ begin {cases} - \ Delta u (x) = 0, & x \ in D \\\ displaystyle {\ lim _ {y \ to x} u (y)} = g (x), & x \ в \ partial D \ end {case}}}$

Можно показать , что если решение существует, то есть ожидаемое значение из в (случайных) точках первого выхода из для канонического броуновского движения , начиная с . См. Теорему 3 у Какутани 1944, стр. 710. ${\ displaystyle u}$${\ Displaystyle и (х)}$${\ displaystyle g (x)}$${\ displaystyle D}$${\ displaystyle x}$

Проблема Дирихле – Пуассона.

Пусть - область в и пусть - полуэллиптический дифференциальный оператор в вида: ${\ displaystyle D}$${\ textstyle \ mathbb {R} ^ {n}}$${\ displaystyle L}$${\ textstyle C ^ {2} (\ mathbb {R} ^ {n}; \ mathbb {R})}$

${\ displaystyle L = \ sum _ {i = 1} ^ {n} b_ {i} (x) {\ frac {\ partial} {\ partial x_ {i}}} + \ sum _ {i, j = 1 } ^ {n} a_ {ij} (x) {\ frac {\ partial ^ {2}} {\ partial x_ {i} \, \ partial x_ {j}}}}$

где коэффициенты и являются непрерывными функциями и все собственные значения этого матрицы неотрицательны. Пусть и . Рассмотрим проблему Пуассона : ${\ displaystyle b_ {i}}$${\ displaystyle a_ {ij}}$ ${\ Displaystyle \ альфа (х) = а_ {ij} (х)}$${\ textstyle f \ in C (D; \ mathbb {R})}$${\ textstyle г \ в C (\ partial D; \ mathbb {R})}$

${\ Displaystyle {\ begin {case} -Lu (x) = f (x), & x \ in D \\\ displaystyle {\ lim _ {y \ to x} u (y)} = g (x), & x \ in \ partial D \ end {case}} \ quad {\ mbox {(P1)}}}$

Идея стохастического метода решения этой задачи заключается в следующем. Во- первых, каждый находит диффузионные Ито которого инфинитезимальная генератор совпадает с на финитных функций . Например, можно принять решение стохастического дифференциального уравнения: ${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle A}$${\ displaystyle L}$ ${\ displaystyle C ^ {2}}$${\ displaystyle f: \ mathbb {R} ^ {n} \ rightarrow \ mathbb {R}}$${\ displaystyle X}$

${\ Displaystyle \ mathrm {d} X_ {t} = b (X_ {t}) \, \ mathrm {d} t + \ sigma (X_ {t}) \, \ mathrm {d} B_ {t}}$

где это п - мерное Броуновское движение, имеет компоненты , как указано выше, и поле матрицы выбирают таким образом, что: ${\ displaystyle B}$${\ displaystyle b}$${\ displaystyle b_ {i}}$ ${\ displaystyle \ sigma}$

${\ displaystyle {\ frac {1} {2}} \ sigma (x) \ sigma (x) ^ {\ top} = a (x), \ quad \ forall x \ in \ mathbb {R} ^ {n} }$

Для точки , пусть обозначает закон заданных исходных данных , и пусть обозначает математическое ожидание относительно . Пусть обозначат первый выход из . ${\ Displaystyle х \ в \ mathbb {R} ^ {п}}$${\ displaystyle \ mathbb {P} ^ {x}}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle X_ {0} = x}$${\ displaystyle \ mathbb {E} ^ {x}}$${\ displaystyle \ mathbb {P} ^ {x}}$${\ displaystyle \ tau _ {D}}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle D}$

В этих обозначениях возможное решение для (P1):

${\ Displaystyle и (х) = \ mathbb {E} ^ {x} \ left [g {\ big (} X _ {\ tau _ {D}} {\ big)} \ cdot \ chi _ {\ {\ tau _ {D} <+ \ infty \}} \ right] + \ mathbb {E} ^ {x} \ left [\ int _ {0} ^ {\ tau _ {D}} f (X_ {t}) \ , \ mathrm {d} t \ right]}$

при условии, что это ограниченная функция и что: ${\ displaystyle g}$

${\ displaystyle \ mathbb {E} ^ {x} \ left [\ int _ {0} ^ {\ tau _ {D}} {\ big |} f (X_ {t}) {\ big |} \, \ mathrm {d} t \ right] <+ \ infty}$

Оказывается, требуется еще одно условие:

${\ displaystyle \ mathbb {P} ^ {x} {\ big (} \ tau _ {D} <\ infty {\ big)} = 1, \ quad \ forall x \ in D}$

В любом случае процесс, начинающийся в почти наверняка, завершится через конечное время. При этом предположении приведенное выше возможное решение сводится к: ${\ displaystyle x}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle x}$ ${\ displaystyle D}$

${\ displaystyle u (x) = \ mathbb {E} ^ {x} \ left [g {\ big (} X _ {\ tau _ {D}} {\ big)} \ right] + \ mathbb {E} ^ {x} \ left [\ int _ {0} ^ {\ tau _ {D}} f (X_ {t}) \, \ mathrm {d} t \ right]}$

и решает (P1) в том смысле, что если обозначает характеристический оператор для (который согласуется с функциями on ), то: ${\ displaystyle {\ mathcal {A}}}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle C ^ {2}}$

${\ displaystyle {\ begin {case} - {\ mathcal {A}} u (x) = f (x), & x \ in D \\\ displaystyle {\ lim _ {t \ uparrow \ tau _ {D}} u (X_ {t})} = g {\ big (} X _ {\ tau _ {D}} {\ big)}, & \ mathbb {P} ^ {x} {\ mbox {-as,}} \ ; \ forall x \ in D \ end {case}} \ quad {\ mbox {(P2)}}}$

Более того, если удовлетворяет (P2) и существует такая постоянная , что для всех : ${\ textstyle v \ in C ^ {2} (D; \ mathbb {R})}$${\ displaystyle C}$${\ displaystyle x \ in D}$

${\ displaystyle | v (x) | \ leq C \ left (1+ \ mathbb {E} ^ {x} \ left [\ int _ {0} ^ {\ tau _ {D}} {\ big |} g (X_ {s}) {\ big |} \, \ mathrm {d} s \ right] \ right)}$

тогда . ${\ displaystyle v = u}$

Ссылки

• Какутани, Шизуо (1944). «Двумерное броуновское движение и гармонические функции» . Proc. Imp. Акад. Токио . 20 (10): 706–714. DOI : 10.3792 / PIA / 1195572706 .
• Какутани, Шизуо (1944). «О броуновских движениях в n- пространстве» . Proc. Imp. Акад. Токио . 20 (9): 648–652. DOI : 10.3792 / PIA / 1195572742 .
• Эксендал, Бернт К. (2003). Стохастические дифференциальные уравнения: введение с приложениями (шестое изд.). Берлин: Springer. ISBN 3-540-04758-1. (См. Раздел 9)