Кольцо Стэнли – Рейснера - Stanley–Reisner ring

В математике кольцо Стэнли – Райснера или кольцо граней - это фактор алгебры многочленов над полем по бесквадратному мономиальному идеалу . Такие идеалы описываются более геометрически в терминах конечных симплициальных комплексов . Конструкция кольца Стэнли – Райснера является основным инструментом алгебраической комбинаторики и комбинаторной коммутативной алгебры . Его свойства исследовали Ричард Стэнли , Мелвин Хохстер и Джеральд Райснер в начале 1970-х годов.

Определение и свойства

Для абстрактного симплициального комплекса ∆ на множестве вершин { x ₁ , ..., x _n } и поля k соответствующее кольцо Стэнли – Рейснера или кольцо граней , обозначенное k [∆], получается из кольца многочленов k [ x ₁ , ..., x _n ] путем выделения идеала I _Δ, порожденного бесквадратными одночленами, соответствующими неграням Δ:

${\ Displaystyle I _ {\ Delta} = (x_ {i_ {1}} \ ldots x_ {i_ {r}}: \ {i_ {1}, \ ldots, i_ {r} \} \ notin \ Delta), \ quad k [\ Delta] = k [x_ {1}, \ ldots, x_ {n}] / I _ {\ Delta}.}$

Идеал I _Δ называется идеалом Стэнли – Райснера или гранным идеалом Δ.

Свойства

• Стенли-Райснер к [Δ] является мультиградуированным по Z ^п , где степень переменного х _я это я й стандартного базиса вектор е _я из  Z ^н .
• Как векторное пространство над k кольцо Стэнли – Райснера кольца ∆ допускает разложение в прямую сумму

${\ Displaystyle к [\ Delta] = \ bigoplus _ {\ sigma \ in \ Delta} k [\ Delta] _ {\ sigma},}$

слагаемые k [Δ] _{σ которого} имеют базис из одночленов (не обязательно бесквадратных) с носителями на гранях σ многогранника Δ.

• Размерность Крулля из к [Δ] на единицу больше , чем размерность симплициальном комплекса Д.
• Мультиградуированная, или в порядке , ряд Гильберта из K [А] дается формулой

${\ Displaystyle H (к [\ Delta]; x_ {1}, \ ldots, x_ {n}) = \ sum _ {\ sigma \ in \ Delta} \ prod _ {i \ in \ sigma} {\ frac { x_ {i}} {1-x_ {i}}}.}$

• Обычный или грубый ряд Гильберта k [Δ] получается из его мультиградуированного ряда Гильберта, устанавливая степень каждой переменной x _i равной 1:

${\ Displaystyle H (к [\ Delta]; t, \ ldots, t) = {\ frac {1} {(1-t) ^ {n}}} \ sum _ {i = 0} ^ {d} f_ {i-1} t ^ {i} (1-t) ^ {ni},}$

где d = dim (Δ) + 1 - размерность Крулля k [Δ], а f _i - количество i- граней Δ. Если это записано в виде

${\ displaystyle H (k [\ Delta]; t, \ ldots, t) = {\ frac {h_ {0} + h_ {1} t + \ cdots + h_ {d} t ^ {d}} {(1- t) ^ {d}}}}$

тогда коэффициенты ( h ₀ , ..., h _d ) числителя образуют h -вектор симплициального комплекса Δ.

Примеры

Принято считать, что каждая вершина { x _i } является симплексом в Δ. Таким образом, ни одна из переменных не принадлежит идеалу Стэнли – Райснера  I _Δ .

• Δ - симплекс { x ₁ , ..., x _n }. Тогда I _Δ - нулевой идеал и

${\ Displaystyle к [\ Delta] = к [x_ {1}, \ ldots, x_ {n}]}$

является алгеброй многочленов от n переменных над  k .

• Симплициальный комплекс Δ состоит из n изолированных вершин { x ₁ }, ..., { x _n }. затем

${\ Displaystyle I _ {\ Delta} = \ {x_ {i} x_ {j}: 1 \ leq i <j \ leq n \}}$

а кольцо Стэнли – Райснера - это следующее усечение кольца многочленов от n переменных над k :

${\ displaystyle k [\ Delta] = k \ oplus \ bigoplus _ {1 \ leq i \ leq n} x_ {i} k [x_ {i}].}$

• Обобщая предыдущие два примера, пусть ∆ будет d -скелетом симплекса { x ₁ , ..., x _n }, таким образом, он состоит из всех ( d  + 1) -элементных подмножеств { x ₁ , ..., x _n }. Тогда кольцо Стэнли – Райснера является следующим усечением кольца многочленов от n переменных над k :

${\ Displaystyle к [\ Delta] = к \ oplus \ bigoplus _ {0 \ leq r \ leq d} \ bigoplus _ {i_ {0} <\ ldots <i_ {r}} x_ {i_ {0}} \ ldots x_ {i_ {r}} k [x_ {i_ {0}}, \ ldots, x_ {i_ {r}}].}$

• Предположим, что абстрактный симплициальный комплекс Δ является симплициальным соединением абстрактных симплициальных комплексов Δ ^′ на x ₁ , ..., x _m и Δ ^{′ ′} на x _{m +1} , ..., x _n . Тогда кольцо Стэнли – Райснера кольца ∆ является тензорным произведением над k колец Стэнли – Райснера колец ∆ ^′ и ∆ ^{′ ′} :

${\ displaystyle k [\ Delta] \ simeq k [\ Delta '] \ otimes _ {k} k [\ Delta' '].}$

Условие Коэна – Маколея и гипотеза о верхней оценке

Кольцо граней k [∆] является мультиградуированной алгеброй над k, все компоненты которой относительно тонкой градуировки имеют размерность не больше 1. Следовательно, его гомологии можно изучать комбинаторными и геометрическими методами. Абстрактный симплициальный комплекс Δ называется кольцом Коэна – Маколея над k, если его кольцо граней является кольцом Коэна – Маколея . В своей диссертации 1974 г. Джеральд Рейснер дал полную характеристику таких комплексов. Вскоре за этим последовали более точные гомологические результаты о лицевых кольцах Мелвина Хохстера. Затем Ричард Стэнли нашел способ доказать гипотезу о верхней границе для симплициальных сфер , которая была открыта в то время, используя конструкцию кольца граней и критерий Коэна – Маколея Райснера. Идея Стэнли о переводе сложных гипотез алгебраической комбинаторики в утверждения коммутативной алгебры и их доказательстве с помощью гомологической техники стала источником быстро развивающейся области комбинаторной коммутативной алгебры .

Критерий Рейснера

Симплициальный комплекс ∆ называется Коэном – Маколеем над k тогда и только тогда, когда для всех симплексов σ ∈ ∆ все редуцированные симплициальные группы гомологий линка σ в ∆ с коэффициентами в k равны нулю, кроме топ-размерной:

${\ displaystyle {\ tilde {H}} _ {i} (\ operatorname {link} _ {\ Delta} (\ sigma); k) = 0 \ quad {\ text {для всех}} \ quad i <\ dim \ operatorname {link} _ {\ Delta} (\ sigma).}$

Результат, полученный Мункресом, показывает, что коэново-маколейность Δ над k является топологическим свойством: она зависит только от класса гомеоморфизма симплициального комплекса Δ. А именно, пусть | Δ | - геометрическая реализация Δ. Тогда обращение в нуль симплициальных групп гомологий в критерии Рейснера равносильно следующему утверждению о редуцированных и относительных группах особых гомологий | ∆ |:

${\ displaystyle {\ text {для всех}} p \ in | \ Delta | {\ text {и для всех}} i <\ dim | \ Delta | = d-1, \ quad {\ tilde {H}} _ {i} (\ operatorname {|} \ Delta |; k) = H_ {i} (\ operatorname {|} \ Delta |, \ operatorname {|} \ Delta | -p; k) = 0.}$

В частности, если комплекс Δ является симплициальной сферой , то есть | Δ | гомеоморфно сфере , то оно коэна – Маколея над любым полем. Это ключевой шаг в доказательстве гипотезы о верхней границе Стэнли. Напротив, существуют примеры симплициальных комплексов, коэн-маколейность которых зависит от характеристики поля  k .

Ссылки

• Мелвин Хохстер , кольца Коэна-Маколея, комбинаторика и симплициальные комплексы . Теория колец, II (Proc. Second Conf., Univ. Oklahoma, Norman, Okla., 1975), pp. 171–223. Конспект лекций в Pure и Appl. Math., Vol. 26, Деккер, Нью-Йорк, 1977.
• Стэнли, Ричард (1996). Комбинаторика и коммутативная алгебра . Успехи в математике. 41 (Второе изд.). Бостон, Массачусетс: Birkhäuser Boston. ISBN 0-8176-3836-9. Zbl  0838.13008 .
• Брунс, Винфрид; Герцог, Юрген (1993). Кольца Коэна – Маколея . Кембриджские исследования в области высшей математики. 39 . Издательство Кембриджского университета . ISBN 0-521-41068-1. Zbl  0788.13005 .
• Миллер, Эзра; Штурмфельс, Бернд (2005). Комбинаторная коммутативная алгебра . Тексты для выпускников по математике. 227 . Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: Springer-Verlag . ISBN 0-387-23707-0. Zbl  1090.13001 .

дальнейшее чтение

• Панов, Тарас Э. (2008). «Когомологии колец граней и действия тора». В Янге Николай; Чой, Йемон (ред.). Обзоры по современной математике . Серия лекций Лондонского математического общества. 347 . Издательство Кембриджского университета . С. 165–201. ISBN 978-0-521-70564-6. Zbl  1140.13018 .

внешние ссылки

• "Кольцо Стэнли – Райснера" , Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]