Инъективная связка - Injective sheaf

В математике , инъективные пучки из абелевых групп используются для построения решения , необходимого для определения когомологий пучков (и другие производных функторов , таких как пучок Ext ).

Существует еще одна группа родственных понятий применительно к шкивов : вялая ( flasque на французском языке), штраф , мягкий ( МОВ на французском языке), ациклический . В историю предмета они были введены до « статьи Тохоку » Александра Гротендика 1957 года , которая показала, что абелева категориального понятия инъективного объекта достаточно для основания теории. Другие классы связок являются исторически более древними понятиями. Абстрактная структура для определения когомологий и производных функторов в них не нуждается. Однако в большинстве конкретных ситуаций часто проще построить разрешение по ациклическим пучкам. Следовательно, ациклические пучки служат для вычислительных целей, например, для спектральной последовательности Лере .

Инъективные пучки

Инъективны пучок является пучком , который является инъективным объектом категории абелевых пучков; другими словами, гомоморфизмы из в всегда можно продолжить на любой пучок, содержащий ${\ Displaystyle {\ mathcal {F}}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {A}}}$ ${\ Displaystyle {\ mathcal {F}}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {B}}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {A}}.}$

В категории абелевых пучков достаточно инъективных объектов: это означает, что любой пучок является подпучком инъективного пучка. Этот результат Гротендика следует из существования генератора категории (он может быть записан явно и связан с классификатором подобъектов ). Этого достаточно, чтобы показать, что производные справа функторы любого точного слева функтора существуют и единственны с точностью до канонического изоморфизма.

Для технических целей инъективные пучки обычно превосходят другие классы пучков, упомянутых выше: они могут делать почти все, что могут делать другие классы, и их теория проще и более общая. Фактически инъекционные связки бывают дряблыми ( вялыми ), мягкими и ацикличными. Однако бывают ситуации, когда другие классы пучков возникают естественным образом, и это особенно верно в конкретных вычислительных ситуациях.

Двойственное понятие проективных пучков используется нечасто, потому что в общей категории пучков их недостаточно: не каждый пучок является фактором проективного пучка, и, в частности, проективные резольвенты не всегда существуют. Так обстоит дело, например, при рассмотрении категории пучков на проективном пространстве в топологии Зарисского. Это вызывает проблемы при попытке определить левые производные функторы от точного правого функтора (например, Tor). Иногда это можно сделать специальными средствами: например, левые производные функторы Tor могут быть определены с использованием плоского разрешения, а не проективного, но требуется некоторая работа, чтобы показать, что это не зависит от разрешения. Не все категории связок сталкиваются с этой проблемой; например, категория пучков на аффинной схеме содержит достаточно проективов.

Ациклические связки

Ациклическую пучок над X является одним из таких , что все высшие группы когомологий пучков равны нулю. ${\ Displaystyle {\ mathcal {F}}}$

Группы когомологий любого пучка могут быть вычислены из любого его ациклического разрешения (это называется теоремой де Рама-Вейля ).

Мелкие снопы

Прекрасный пучок над X является один с « разбиением единицы »; точнее, для любого открытого покрытия пространства X мы можем найти семейство гомоморфизмов из пучка в себя с суммой 1 такое, что каждый гомоморфизм равен 0 вне некоторого элемента открытого покрытия.

Тонкие пучки обычно используется только над паракомпактным Хаусдорфом пространство X . Типичными примерами являются пучок ростков непрерывных вещественнозначных функций над таким пространством или гладкие функции над гладким (паракомпактным хаусдорфовым) многообразием или модули над этими пучками колец. Кроме того, мелкие пучки над паракомпактными хаусдорфовыми пространствами мягкие и ациклические.

Можно найти разрешение пучка на гладком многообразии с помощью тонких пучков, используя разрешение Александера – Спаниера.

В качестве приложения, рассмотрим реальное многообразие X . Существует следующее разрешение постоянного пучка тонкими пучками (гладких) дифференциальных форм : ${\ Displaystyle \ mathbb {R}}$

{\ displaystyle 0 \ to \ mathbb {R} \ to C_ {X} ^ {0} \ to C_ {X} ^ {1} \ to \ cdots \ to C_ {X} ^ {\ dim X} \ to 0 .}

Это резольвента, т.е. точный комплекс пучков по лемме Пуанкаре . Таким образом, когомологии X со значениями в могут быть вычислены как когомологии комплекса глобально определенных дифференциальных форм: ${\ Displaystyle \ mathbb {R}}$

{\ displaystyle H ^ {i} (X, \ mathbb {R}) = H ^ {i} (C_ {X} ^ {\ bullet} (X)).}

Мягкие связки

Мягкий пучок над X является одним из таких , что любое сечение над любым замкнутым подмножеством X может быть продолжена до глобальной секции. ${\ Displaystyle {\ mathcal {F}}}$

Мягкие пучки ацикличны над паракомпактными хаусдорфовыми пространствами.

Вялые или дряблые связки

Flasque пучок (также называемый вялый пучком ) представляет собой пучок со следующим свойством: если является база топологического пространства , на котором определен пучок и ${\ Displaystyle {\ mathcal {F}}}$ ${\ displaystyle X}$

{\ Displaystyle U \ substeq V \ substeq X}

- открытые подмножества , то отображение ограничения

{\ displaystyle r_ {U \ substeq V}: \ Gamma (V, {\ mathcal {F}}) \ to \ Gamma (U, {\ mathcal {F}})}

является сюръективны , как отображение групп ( колец , модулей и т.д.).

Пучки Flasque полезны, потому что (по определению) их секции расширяются. Это означает, что это одни из самых простых пучков, с которыми можно работать в терминах гомологической алгебры . Любой пучок имеет каноническое вложение в пучок flasque всех возможных разрывных секций пространства этале , и, повторяя это, мы можем найти каноническое разрешение flasque для любого пучка. Разрешения Flasque , то есть разрешения с помощью пучков Flasque, являются одним из подходов к определению когомологий пучков .

Пучки Flasque мягкие, ациклические.

Flasque - французское слово, которое иногда переводится на английский как дряблый .

Languages

In other projects