Число Скьюза - Skewes's number

В теории чисел , число скьюза является одной из нескольких больших чисел , используемых в ЮАР математику Станли Скус в качестве верхних границ для наименьшего натурального числа , для которых ${\ displaystyle x}$

${\ Displaystyle \ пи (х)> \ OperatorName {li} (х),}$

где π - функция счета простых чисел, а li - логарифмическая интегральная функция . Число Скьюза намного больше, но теперь известно, что рядом есть перекресток. Неизвестно, наименьшее ли оно. ${\ displaystyle e ^ {727.95133} <1,397 \ times 10 ^ {316}.}$

Числа Скьюза

Джон Эденсор Литтлвуд , который был научным руководителем Скьюза, доказал в Littlewood (1914), что такое число существует (а значит, первое такое число); и действительно обнаружил, что знак разности меняется бесконечно много раз. Все доступные тогда числовые свидетельства, казалось, предполагали, что это всегда было меньше, чем доказательство Литтлвуда, однако не показывало конкретного такого числа . ${\ displaystyle \ pi (x) - \ operatorname {li} (x)}$${\ Displaystyle \ пи (х)}$${\ displaystyle \ operatorname {li} (x).}$${\ displaystyle x}$

Скьюс (1933) доказал, что, если предположить, что гипотеза Римана верна, существует число, которое ниже нарушается.${\ displaystyle x}$${\ Displaystyle \ пи (х) <\ OperatorName {li} (х),}$

${\ displaystyle e ^ {e ^ {e ^ {79}}} <10 ^ {10 ^ {10 ^ {34}}}.}.}$

В Skewes (1955) , не принимая гипотезу Римана, Skewes доказал, что должно существовать значение ниже ${\ displaystyle x}$

${\ displaystyle e ^ {e ^ {e ^ {e ^ {7.705}}}} <10 ^ {10 ^ {10 ^ {964}}}.}.}$

Задача Скьюза заключалась в том, чтобы сделать доказательство существования Литтлвуда эффективным : показать некоторую конкретную верхнюю границу для первой смены знака. По словам Георга Крайзеля , в то время это даже в принципе не считалось очевидным.

Более свежие оценки

Эти верхние границы с тех пор были значительно сокращены с помощью масштабных компьютерных расчетов нулей в дзета - функции Римана . Первую оценку фактического значения точки пересечения дал Леман (1966) , который показал, что где-то между и есть более чем последовательные целые числа с . Не принимая гипотезу Римана, HJJ te Riele  ( 1987 ) доказал верхнюю границу . Лучшая оценка была обнаружена Bays & Hudson (2000) , которые показали, что есть по крайней мере последовательные целые числа где-то рядом с этим значением где . Отсеки и Хадсон нашли несколько гораздо меньших значений , где приближаются к ; возможность того, что рядом с этими значениями есть точки пересечения, еще не исключена, хотя компьютерные расчеты показывают, что они вряд ли существуют. Chao & Plymen (2010) дали небольшое улучшение и корректировку результата Бэйса и Хадсона. Саутер и Демичел (2010) нашли меньший интервал для пересечения, который был немного улучшен Зеговицем (2010) . Тот же источник показывает , что существует число нарушения ниже . Это можно свести к предположению гипотезы Римана. Stoll & Demichel (2011) дали . ${\ displaystyle 1.53 \ times 10 ^ {1165}}$${\ displaystyle 1.65 \ times 10 ^ {1165}}$${\ displaystyle 10 ^ {500}}$ ${\ displaystyle x}$${\ Displaystyle \ pi (x)> \ OperatorName {li} (x)}$${\ displaystyle 7 \ times 10 ^ {370}}$${\ displaystyle 1.39822 \ times 10 ^ {316}}$${\ displaystyle 10 ^ {153}}$${\ Displaystyle \ pi (x)> \ OperatorName {li} (x)}$${\ displaystyle x}$${\ Displaystyle \ пи (х)}$${\ displaystyle \ operatorname {li} (x)}$${\ displaystyle x}$${\ Displaystyle \ пи (х) <\ OperatorName {li} (х),}$${\ displaystyle e ^ {727.9513468} <1,39718 \ times 10 ^ {316}}$${\ displaystyle e ^ {727.9513386} <1,39717 \ times 10 ^ {316}}$${\ displaystyle 1.39716 \ times 10 ^ {316}}$

Год	около x	# использованных комплексных нулей	к
2000 г.	1,39822 × 10 316	1 × 10 6	Бэйс и Гудзон
2010 г.	1,39801 × 10 316	1 × 10 7	Чао и Плимен
2010 г.	1.397166 × 10 316	2,2 × 10 7	Саутер и Демишель
2011 г.	1.397162 × 10 316	2,0 × 10 11	Столл и Демишель

Неукоснительно, Rosser & Schoenfeld (1962) доказала , что нет точек кроссовера ниже , доработанных Brent (1975) до , по Kotnik (2008) до , по Platt & Trudgian (2014) до , и Бута (2015) в . ${\ displaystyle x = 10 ^ {8}}$${\ displaystyle 8 \ times 10 ^ {10}}$${\ displaystyle 10 ^ {14}}$${\ displaystyle 1.39 \ times 10 ^ {17}}$${\ displaystyle 10 ^ {19}}$

Не существует точного значения, которое наверняка обладает этим свойством, хотя компьютерные расчеты предлагают некоторые явные числа, которые вполне могут удовлетворить это свойство . ${\ displaystyle x}$${\ Displaystyle \ пи (х)> \ OperatorName {li} (х),}$

Несмотря на то, что естественная плотность положительных целых чисел не существует, Винтнер (1941) показал, что логарифмическая плотность этих положительных целых чисел действительно существует и является положительной. Рубинштейн и Сарнак (1994) показали, что эта пропорция составляет около 0,00000026, что удивительно велико, учитывая, как далеко нужно зайти, чтобы найти первый пример. ${\ Displaystyle \ pi (x)> \ OperatorName {li} (x)}$

Формула Римана

Риман дал явную формулу для , главные члены которой (игнорируя некоторые тонкие вопросы сходимости) ${\ Displaystyle \ пи (х)}$

${\ displaystyle \ pi (x) = \ operatorname {li} (x) - {\ tfrac {1} {2}} \ operatorname {li} ({\ sqrt {x \,}}) - \ sum _ {\ rho} \ operatorname {li} (x ^ {\ rho}) + {\ text {меньшие термины}}}$

где сумма складывается из множества нетривиальных нулей дзета-функции Римана . ${\ displaystyle \ rho}$

Самый большой член ошибки в приближении (если гипотеза Римана верна) отрицательный , показывая, что обычно больше, чем . Остальные термины, приведенные выше, несколько меньше и, кроме того, имеют разные, кажущиеся случайными сложные аргументы , поэтому в большинстве случаев они сокращаются. Иногда, однако, у нескольких более крупных аргументов может быть примерно один и тот же сложный аргумент, и в этом случае они будут усиливать друг друга, а не отменять, и подавляют термин . ${\ Displaystyle \ пи (х) \ приблизительно \ имя оператора {li} (х)}$${\ displaystyle {\ tfrac {1} {2}} \ operatorname {li} ({\ sqrt {x \,}})}$${\ displaystyle \ operatorname {li} (x)}$${\ Displaystyle \ пи (х)}$${\ displaystyle {\ tfrac {1} {2}} \ operatorname {li} ({\ sqrt {x \,}})}$

Причина, по которой число Скьюза настолько велико, заключается в том, что эти меньшие члены намного меньше, чем главный член ошибки, в основном потому, что первый комплексный нуль дзета-функции имеет довольно большую мнимую часть , поэтому большое число (несколько сотен) из них необходимо иметь примерно одинаковые аргументы, чтобы подавить доминирующий термин. Вероятность того, что случайные комплексные числа будут иметь примерно такой же аргумент, составляет около 1 дюйма . Это объясняет, почему иногда больше, а также почему это случается редко. Это также показывает, почему поиск мест, где это происходит, зависит от крупномасштабных вычислений миллионов высокоточных нулей дзета-функции Римана. ${\ displaystyle N}$${\ displaystyle 2 ^ {N}}$${\ Displaystyle \ пи (х)}$${\ displaystyle \ operatorname {li} (x),}$

Приведенный выше аргумент не является доказательством, поскольку он предполагает, что нули дзета-функции Римана случайны, что неверно. Грубо говоря, доказательство Литтлвуда состоит из аппроксимационной теоремы Дирихле, показывающей, что иногда многие члены имеют примерно одинаковые аргументы. В случае, если гипотеза Римана неверна, аргумент намного проще, в основном потому, что члены для нулей нарушают гипотезу Римана (с действительной частью больше, чем${\ Displaystyle \ OperatorName {li} (х ^ {\ rho})}$1/2) в конечном итоге больше, чем . ${\ Displaystyle \ OperatorName {li} (х ^ {1/2})}$

Причина использования этого термина в том, что, грубо говоря, на самом деле учитываются степени простых чисел , а не сами простые числа, с взвешиванием по . Этот термин примерно аналогичен поправке второго порядка, учитывающей квадраты простых чисел. ${\ Displaystyle {\ tfrac {1} {2}} \ mathrm {li} (х ^ {1/2})}$${\ Displaystyle \ mathrm {li} (х)}$${\ displaystyle p ^ {n}}$${\ displaystyle {\ frac {1} {n}}}$${\ Displaystyle {\ tfrac {1} {2}} \ mathrm {li} (х ^ {1/2})}$

Эквивалент для простых k -элементов

Эквивалентное определение числа Скьюза существует для простых k -наборов ( Tóth (2019) ). Пусть обозначит штрих ( K  + 1) -кратные, число простых чисел ниже таких , что все простой, пусть и пусть обозначит его Харди-Литтлвуд постоянного (см Первого Hardy-Литтлвуд гипотезы ). Тогда первое простое число , нарушающее неравенство Харди-Литтлвуда для ( k  + 1) -набора , т. Е. Первое простое число такое, что ${\ displaystyle P = (p, p + i_ {1}, p + i_ {2}, ..., p + i_ {k})}$${\ Displaystyle \ pi _ {P} (х)}$${\ displaystyle p}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle p, p + i_ {1}, p + i_ {2}, ..., p + i_ {k}}$${\ displaystyle \ operatorname {li_ {P}} (x) = \ int _ {2} ^ {x} {\ frac {dt} {(\ ln t) ^ {k + 1}}}}$${\ displaystyle C_ {P}}$${\ displaystyle p}$${\ displaystyle P}$${\ displaystyle p}$

${\ displaystyle \ pi _ {P} (p)> C_ {P} \ operatorname {li} _ {P} (p),}$

(если такое простое число существует) - это число Скьюза для${\ displaystyle P.}$

В таблице ниже показаны известные в настоящее время числа Скьюза для простых k -элементов:

Prime к -кратному	Число перекосов	Найдено
( р , р  + 2)	1369391	Волк (2011)
( р , р  + 4)	5206837	Тот (2019)
( р , р  + 2, р  + 6)	87613571	Тот (2019)
( р , р  + 4, р  + 6)	337867	Тот (2019)
( р , р  + 2, р  + 6, р  + 8)	1172531	Тот (2019)
( р , р  + 4, р  +6, р  + 10)	827929093	Тот (2019)
( p , p  + 2, p  + 6, p  + 8, p  + 12)	21432401	Тот (2019)
( p , p  +4, p  +6, p  + 10, p  + 12)	216646267	Тот (2019)
( p , p  + 4, p  + 6, p  + 10, p  + 12, p  + 16)	251331775687	Тот (2019)
( p , p +2, p +6, p +8, p +12, p +18, p +20)	7572964186421	Пфертнер (2020)
( p , p +2, p +8, p +12, p +14, p +18, p +20)	214159878489239	Пфертнер (2020)
( p , p +2, p +6, p +8, p +12, p +18, p +20, p +26)	1203255673037261	Пфертнер / Лун (2021)
( p , p +2, p +6, p +12, p +14, p +20, p +24, p +26)	523250002674163757	Лун / Пфертнер (2021 г.)
( p , p +6, p +8, p +14, p +18, p +20, p +24, p +26)	750247439134737983	Пфертнер / Лун (2021)

Число Скьюза (если оно существует) для сексуальных простых чисел до сих пор неизвестно. ${\ displaystyle (p, p + 6)}$

Также неизвестно, всем ли допустимым k -наборам соответствует число Скьюиса.

использованная литература

внешние ссылки

• Демичелс, Патрик. «Функция подсчета простых чисел и связанные предметы» (PDF) . Демишель . Архивировано из оригинала (PDF) на 8 сентября 2006 года . Проверено 29 сентября 2009 .
• Азимов И. (1976). «Шашлык!». О большом и малом . Нью-Йорк: Ace Books. ISBN 978-0441610723.