Вейвлет Шеннона - Shannon wavelet

В функциональном анализе , А вейвлет Шеннона может быть либо реальной или комплексного типа. Анализ сигнала с помощью идеальных полосовых фильтров определяет разложение, известное как вейвлеты Шеннона (или синк-вейвлеты ). Системы Хаара и sinc двойственны друг другу по Фурье.

Настоящий вейвлет Шеннона

Настоящий вейвлет Шеннона

Преобразование Фурье материнского вейвлета Шеннона определяется следующим образом:

${\ displaystyle \ Psi ^ {(\ operatorname {Sha})} (w) = \ prod \ left ({\ frac {w-3 \ pi / 2} {\ pi}} \ right) + \ prod \ left ( {\ frac {w + 3 \ pi / 2} {\ pi}} \ right).}$

где (нормализованная) вентильная функция определяется как

${\ displaystyle \ prod (x): = {\ begin {case} 1, & {\ mbox {if}} {| x | \ leq 1/2}, \\ 0 & {\ mbox {if}} {\ mbox {в противном случае}}. \\\ end {case}}}$

Аналитическое выражение реального вейвлета Шеннона можно найти, взяв обратное преобразование Фурье :

${\ displaystyle \ psi ^ {(\ operatorname {Sha})} (t) = \ operatorname {sinc} \ left ({\ frac {t} {2}} \ right) \ cdot \ cos \ left ({\ frac {3 \ pi t} {2}} \ right)}$

или, альтернативно, как

${\ displaystyle \ psi ^ {(\ operatorname {Sha})} (t) = 2 \ cdot \ operatorname {sinc} (2t) - \ operatorname {sinc} (t),}$

где

${\ displaystyle \ operatorname {sinc} (t): = {\ frac {\ sin {\ pi t}} {\ pi t}}}$

- обычная функция sinc, которая встречается в теореме Шеннона .

Этот вейвлет относится к классу дифференцируемости , но он медленно убывает на бесконечности и не имеет ограниченной поддержки , поскольку сигналы с ограниченной полосой не могут быть ограничены по времени. ${\ displaystyle C ^ {\ infty}}$

Функция масштабирования для MRA Шеннона (или Sinc -MRA) задается функцией образца:

${\ displaystyle \ phi ^ {(Sha)} (t) = {\ frac {\ sin \ pi t} {\ pi t}} = \ operatorname {sinc} (t).}$

Комплексный вейвлет Шеннона

В случае комплексного непрерывного вейвлета вейвлет Шеннона определяется как

${\ displaystyle \ psi ^ {(CSha)} (t) = \ operatorname {sinc} (t) \ cdot e ^ {- j2 \ pi t}}$,

Ссылки

• С.Г. Маллат, Вейвлет-тур по обработке сигналов , Academic Press, 1999, ISBN  0-12-466606-X
• К.С. Буррус , Р.А. Гопинатх, Х. Гуо, Введение в вейвлеты и вейвлет-преобразования: учебник для начинающих , Прентис-Холл, 1988, ISBN  0-13-489600-9 .