Аксиома разделения - Separation axiom

Иллюстрация некоторых аксиом разделения. Серые аморфные области с прерывистым контуром обозначают открытые множества, окружающие непересекающиеся замкнутые множества или точки: красные сплошные круги обозначают закрытые множества, а черные точки представляют точки.

В топологии и смежных областях математики существует несколько ограничений, которые часто накладываются на типы топологических пространств, которые нужно рассматривать. Некоторые из этих ограничений задаются аксиомами разделения . Их иногда называют аксиомами тихоновского разделения в честь Андрея Тихонова .

Аксиомы разделения являются аксиомами только в том смысле, что при определении понятия топологического пространства можно было бы добавить эти условия в качестве дополнительных аксиом, чтобы получить более ограниченное представление о том, что такое топологическое пространство. Современный подход состоит в том, чтобы раз и навсегда зафиксировать аксиоматизацию топологического пространства, а затем говорить о разновидностях топологических пространств. Однако термин «аксиома разделения» прижился. Аксиомы разделения обозначаются буквой «T» после немецкого Trennungsaxiom , что означает «аксиома разделения».

Точные значения терминов, связанных с аксиомами разделения, со временем менялись, как объясняется в Истории аксиом разделения . Важно понимать определение авторами каждого упомянутого состояния, чтобы точно знать, что они имеют в виду, особенно при чтении старой литературы.

Предварительные определения

Прежде чем мы определим сами аксиомы разделенности, мы дадим конкретный смысл концепции разделенных множеств (и точек) в топологических пространствах . (Разделенные наборы не то же самое, что разделенные пробелы , определенные в следующем разделе.)

Аксиомы разделения касаются использования топологических средств для различения непересекающихся множеств и различных точек. Недостаточно, чтобы элементы топологического пространства были различными (т.е. неравными ); мы можем захотеть, чтобы они были топологически различимы . Точно так же недостаточно, чтобы подмножества топологического пространства не пересекались; мы можем захотеть их разделить (любым из способов). Все аксиомы разделения так или иначе говорят о том, что точки или множества, которые различимы или разделены в некотором слабом смысле, также должны быть различимы или разделены в каком-то более сильном смысле.

Пусть X - топологическое пространство. Тогда две точки х и у в X являются топологически различимы , если они не имеют точно такие же районы (или , что эквивалентно те же открытые окрестности); то есть, по крайней мере, одна из них имеет окрестность, которая не является окрестностью другой (или, что то же самое, есть открытое множество, которому одна точка принадлежит, а другая нет).

Две точки х и у являются разделены , если каждый из них имеет окрестность, не окрестность другого; то есть ни один из них не принадлежит закрытию другого . В более общем смысле , два подмножества A и B из X являются разделены , если каждый не пересекается с замыканием другого. (Сами замыкания не обязательно должны быть непересекающимися.) Все оставшиеся условия для разделения множеств могут также применяться к точкам (или к точке и множеству) с помощью одноэлементных множеств. Точки x и y будут считаться разделенными окрестностями, замкнутыми окрестностями, непрерывной функцией, а именно функцией, тогда и только тогда, когда их одноэлементные множества { x } и { y } разделены согласно соответствующему критерию.

Подмножества и B являются отделены друг от окрестностей , если они имеют непересекающиеся окрестности. Они разделяются замкнутыми окрестностями, если у них есть непересекающиеся замкнутые окрестности. Они разделяются непрерывной функцией, если существует непрерывная функция f из пространства X в вещественную прямую R такая, что изображение f ( A ) равно {0}, а f ( B ) равно {1}. И, наконец, они точно разделены непрерывной функцией , если существует непрерывная функция F из X в R такой , что прообраз F ^-1 ({0}) равна A и F ^-1 ({1}) равна B .

Эти условия даются в порядке возрастания силы: любые две топологически различимые точки должны быть различными, и любые две разделенные точки должны быть топологически различимы. Любые два разделенных набора должны быть не пересекающимися, любые два набора, разделенные окрестностями, должны быть разделены, и так далее.

Дополнительные сведения об этих условиях (включая их использование вне аксиом разделения) см. В статьях Разделенные множества и Топологическая различимость .

Основные определения

Все эти определения в основном используют предварительные определения, приведенные выше.

Многие из этих имен имеют альтернативные значения в некоторой математической литературе, как объясняется в Истории аксиом разделения ; например, значения «нормальный» и «Т ₄ » иногда меняются местами, аналогично «обычный» и «Т ₃ » и т. д. Многие из понятий также имеют несколько названий; однако тот, который указан первым, всегда наименее вероятно будет двусмысленным.

У большинства этих аксиом есть альтернативные определения с тем же значением; приведенные здесь определения образуют единый образец, который связывает различные понятия разделения, определенные в предыдущем разделе. Другие возможные определения можно найти в отдельных статьях.

Во всех следующих определениях X снова является топологическим пространством .

• Х является Т ₀ , либо Колмогорова , если любые две различные точки X являются топологически различимы . (Среди аксиом разделения будет общей темой иметь одну версию аксиомы, которая требует T _0, и одну версию, которая этого не делает.)
• X является R ₀ или симметричным , если любые две топологически различимые точки в X разделены.
• X есть T ₁ , или доступный, или Фреше, или Тихонов , если любые две различные точки в X разделены. Эквивалентно, каждый одноточечный набор является замкнутым набором. Таким образом, X является T ₁ тогда и только тогда, когда он одновременно является T ₀ и R ₀ . (Хотя вы можете говорить такие вещи, как « пространство T ₁ », «топология Фреше» и «предположим, что топологическое пространство X - это пространство Фреше»; не говорите в этом контексте «пространство Фреше», поскольку существует еще одно совершенно иное понятие Фреше пространство в функциональном анализе .)
• X является R ₁ или предрегулярным , если любые две топологически различимые точки в X разделены окрестностями. Каждое пространство R ₁ также является R ₀ .
• Х является Хаусдорфово или Т ₂ или разделены , если любые две различные точки X отделены друг от друга районах. Таким образом, X хаусдорфово тогда и только тогда, когда оно одновременно является T ₀ и R ₁ . Каждое хаусдорфово пространство также является T ₁ .
• X есть T _2½ или Урысон , если любые две различные точки в X разделены замкнутыми окрестностями. Каждое пространство T _2½ также хаусдорфово.
• Х является полностью Хаусдорфово или полностью Т ₂ , если любые две различные точки X отделены друг от друга непрерывной функции. Каждое полностью хаусдорфово пространство также является T _2½ .
• X является регулярным, если для любой точки x и замкнутого множества F в X такое, что x не принадлежит F , они разделены окрестностями. (Фактически, в регулярном пространстве любые такие x и F также будут разделены замкнутыми окрестностями.) Каждое регулярное пространство также является R ₁ .
• X является правильным Хаусдорфом или T ₃ , если он одновременно T ₀ и регулярный. Каждое регулярное хаусдорфово пространство также является T _2½ .
• X является полностью регулярным, если для любой точки x и замкнутого множества F в X такое, что x не принадлежит F , они разделены непрерывной функцией. Любое вполне регулярное пространство также является правильным.
• X - Тихонов , или T _3½ , полностью T ₃ , или полностью регулярный Хаусдорф , если он одновременно T ₀ и полностью регулярный. Каждое тихоновское пространство одновременно является регулярным хаусдорфовым и полностью хаусдорфовым.
• Х является нормальным , если любые два непересекающихся замкнутых подмножеств X отделены друг от друга районах. (На самом деле пространство является нормальным тогда и только тогда, когда любые два непересекающихся замкнутых множества можно разделить непрерывной функцией; это лемма Урысона .)
• X является нормальным нормальным, если он одновременно R ₀ и нормальный. Каждое нормальное регулярное пространство регулярно.
• X - нормальный Хаусдорф , или T ₄ , если он одновременно T ₁ и нормальный. Каждое нормальное хаусдорфово пространство одновременно тихоновское и нормальное регулярное.
• Х является совершенно нормальным , если любые два разделенных множества отделены друг от друга районах. Любое совершенно нормальное пространство тоже нормально.
• X - это полностью нормальный Хаусдорф , или T _5, или полностью T ₄ , если он одновременно полностью нормален и T ₁ . Всякое вполне нормальное хаусдорфово пространство также является нормальным хаусдорфом.
• Х является совершенно нормальным , если любые два непересекающиеся замкнутые множества точно отделены друг от непрерывной функции. Любое совершенно нормальное пространство также совершенно нормально.
• X - это совершенно нормальный Хаусдорф , или T _6, или совершенно T ₄ , если он одновременно совершенно нормален и T ₁ . Всякое совершенно нормальное хаусдорфово пространство также вполне нормальное хаусдорфово.

Следующая таблица суммирует аксиомы разделения, а также последствия между ними: объединенные ячейки представляют эквивалентные свойства, каждая аксиома подразумевает те, что находятся в ячейках слева от нее, и если мы принимаем аксиому T ₁ , то каждая аксиома также подразумевает единицы в ячейках над ним (например, все нормальные пространства T ₁ также полностью регулярны).

Связь между аксиомами

Аксиома T ₀ особенная в том, что ее можно не только добавить к свойству (так что полностью регулярный плюс T ₀ - это Тихонов), но также вычесть из свойства (так что Хаусдорф минус T ₀ равен R ₁ ) в достаточно точное чувство; см. коэффициент Колмогорова для получения дополнительной информации. Применительно к аксиомам разделения это приводит к отношениям в таблице слева ниже. В этой таблице вы переходите от правой стороны к левой, добавляя требование T ₀ , и вы идете от левой стороны к правой, удаляя это требование, используя операцию частного Колмогорова. (Имена в скобках, приведенные в левой части этой таблицы, как правило, неоднозначны или, по крайней мере, менее известны; но они используются на диаграмме ниже.)

Помимо включения или исключения T ₀ , отношения между аксиомами разделения показаны на диаграмме справа. На этой диаграмме, не-Т ₀ версия условия находится на левой стороне от косых черт, а Т ₀ версии находится на правой стороне. Для сокращения используются следующие буквы : «P» = «идеально», «C» = «полностью», «N» = «нормальный» и «R» (без нижнего индекса) = «обычный». Маркер указывает, что в этом месте нет специального названия для пробела. Прочерк внизу означает отсутствие условий.

Вы можете объединить два свойства, используя эту диаграмму, следуя по диаграмме вверх, пока обе ветви не встретятся. Например, если пространство одновременно полностью нормальное («CN») и полностью хаусдорфово («CT ₂ »), то, пройдя вверх по обеим ветвям, вы найдете точку «• / T ₅ ». Поскольку полностью хаусдорфовы пространства T ₀ (даже если полностью нормальные пространства могут и не быть), вы берете сторону T ₀ косой черты, поэтому полностью нормальное полностью хаусдорфово пространство - это то же самое, что и пространство T ₅ (менее неоднозначно известное как полностью нормальное хаусдорфово пространство, как вы можете видеть в таблице выше).

Как видно из диаграммы, normal и R ₀ вместе подразумевают множество других свойств, поскольку объединение этих двух свойств приводит вас к тому, что вы проследуете путь через множество узлов на правой ветви. Так как регулярность является наиболее известной из них, пространства, которые являются как нормальными, так и R ₀ , обычно называют «нормальными регулярными пространствами». В некоторой степени похожим образом, пространства, которые одновременно являются нормальными и T ₁ , часто называются «нормальными хаусдорфовыми пространствами» людьми, которые хотят избежать неоднозначного обозначения «T». Эти соглашения могут быть обобщены на другие регулярные пространства и хаусдорфовы пространства.

Другие аксиомы разделения

Существуют и другие условия топологических пространств, которые иногда классифицируются с помощью аксиом разделения, но они не полностью соответствуют обычным аксиомам разделения. Помимо их определений, они здесь не обсуждаются; посмотреть их отдельные статьи.

• Х является трезвым , если для любого замкнутого множества С , который не является (возможно nondisjoint) объединением двух замкнутых множеств меньше, существует единственная точка р такое , что замыкание { р } равно С . Короче говоря, каждое неприводимое замкнутое множество имеет единственную точку общего положения. Любое хаусдорфово пространство должно быть трезвым, а любое трезвое пространство должно быть T ₀ .
• X является слабым Хаусдорфом , если для любого непрерывного отображения F в X от бикомпакта, образ F замкнуто в X . Любое хаусдорфово пространство должно быть слабым хаусдорфовым пространством, а любое слабое хаусдорфово пространство должно быть T ₁ .
• X является полурегулярны , если регулярные открытые множества образуют базу открытых множеств в X . Любое регулярное пространство также должно быть полуправильным.
• Х является квазирегулярным , если для любого непустого открытого множества G , существует непустое открытое множество Н такое , что замыкание Н содержится в G .
• X является полностью нормальным , если каждое открытое покрытие имеет открытую звезду утонченность . X - это полностью T ₄ или полностью нормальный Хаусдорф , если он одновременно T ₁ и полностью нормальный. Каждый полностью нормальное пространство нормально и каждый полностью T ₄ пространство T ₄ . Более того, можно показать, что любое полностью T ₄ пространство паракомпактно . Фактически, полностью нормальные пространства на самом деле больше связаны с паракомпактностью, чем с обычными аксиомами разделения.
• Аксиома о том, что все компактные подмножества замкнуты, имеет силу строго между T ₁ и T ₂ (по Хаусдорфу). Пространство, удовлетворяющее этой аксиоме, обязательно T _1, потому что каждое одноточечное множество обязательно компактно и, следовательно, замкнуто, но обратное не обязательно; для кофинитной топологии на бесконечном множестве точек, то есть T ₁ , каждое подмножество компактно, но не каждое подмножество замкнуто. Более того, каждое T ₂ (хаусдорфово) пространство удовлетворяет аксиоме, что все компактные подмножества замкнуты, но обратное не обязательно; для сосчетной топологии на несчетном числе точек все компакты конечны и, следовательно, все замкнуты, но пространство не является T ₂ (Хаусдорф).

Смотрите также

• Общая топология

Примечания

Рекомендации

• Шехтер, Эрик (1997). Справочник по анализу и его основам . Сан-Диего: Academic Press. ISBN   0126227608 . ( среди прочего имеет аксиомы R _i )
• Уиллард, Стивен (1970). Общая топология . Ридинг, Массачусетс: Эддисон-Уэсли Паб. Co. ISBN   0-486-43479-6 . (имеет все аксиомы, не относящиеся к R _i, упомянутые в основных определениях, с этими определениями)
• Меррифилд, Ричард Э .; Симмонс, Ховард Э. (1989). Топологические методы в химии . Нью-Йорк: Вили. ISBN   0-471-83817-9 . (дает читаемое введение в аксиомы разделения с акцентом на конечные пространства)

внешняя ссылка

• Аксиомы разделения в ProvenMath
• Таблица аксиом разделения и метризуемости от Шехтера