Эволюция Шрамма – Лёвнера - Schramm–Loewner evolution
В теории вероятностей , то эволюция Шрамм-Лёвнер с параметром х , также известным как эволюция стохастического Лёвнера (SLE х ) представляет собой семейство случайных плоских кривых , которые были доказаны , чтобы быть пределом масштабирования из множества двумерный моделей решетки в статистическая механика . Учитывая параметр κ и область в комплексной плоскости U , он дает семейство случайных кривых в U , где κ контролирует, насколько кривая поворачивается. Существует два основных варианта SLE: хордовый SLE, который дает семейство случайных кривых из двух фиксированных граничных точек, и радиальный SLE , который дает семейство случайных кривых от фиксированной граничной точки до фиксированной внутренней точки. Эти кривые определены так, чтобы удовлетворять конформной инвариантности и марковскому свойству области .
Он был открыт Одедом Шраммом ( 2000 ) как предполагаемый предел масштабирования вероятностных процессов плоского равномерного остовного дерева (UST) и плоского случайного блуждания со стиранием петель (LERW) и разработан им вместе с Грегом Лоулером и Венделином Вернером в серия совместных работ.
Кроме ЕСН и LERW, эволюция Шрамм-Левнер Предполагает или доказано , чтобы описать предел масштабирования различных стохастических процессов в плоскости, например, критическая перколяции , в критической модели Изинга , в двойной-димере модели , самоизбегающие прогулки , и другая модели критической статистической механики , демонстрирующие конформную инвариантность. Кривые SLE представляют собой пределы масштабирования интерфейсов и других несамопересекающихся случайных кривых в этих моделях. Основная идея состоит в том, что конформная инвариантность и определенное марковское свойство, присущее таким случайным процессам, вместе позволяют кодировать эти плоские кривые в одномерное броуновское движение, бегущее по границе области (движущая функция в дифференциальном уравнении Лёвнера) . Таким образом, многие важные вопросы о планарных моделях могут быть переведены в упражнения по исчислению Itō . Действительно, с помощью этой стратегии было доказано несколько математически нестрогих предсказаний, сделанных физиками с использованием конформной теории поля .
Уравнение Лёвнера
Если D является односвязны , открыт комплекс домена не равно C , а γ является простой кривой в D , начиная на границе (непрерывная функция Г (0) на границе области D и Г ((0, ∞)) подмножество D ), то для каждого т ≥ 0, комплемента D т из Г ([0, T ]) односвязна и , следовательно , конформно изоморфны к D по теореме Римана . Если ƒ t - подходящий нормализованный изоморфизм из D в D t , то он удовлетворяет дифференциальному уравнению, найденному Лёвнером (1923 , стр. 121) в его работе над гипотезой Бибербаха . Иногда более удобно использовать обратную функцию г т о ƒ т , что конформное отображение D т к D .
В уравнении Лёвнера z находится в области D , t ≥ 0, а граничные значения в момент времени t = 0 равны ƒ 0 ( z ) = z или g 0 ( z ) = z . Уравнение зависит от функции возбуждения z , ( т ) принимает значения в границе D . Если D - единичный круг, а кривая γ параметризована «емкостью», то уравнение Лёвнера имеет вид
- или
Когда D - верхняя полуплоскость, уравнение Лёвнера отличается от него заменами переменной и имеет вид
- или
Движущая функция ζ и кривая γ связаны соотношением
где и продолжаются по непрерывности.
Пример
Пусть D - верхняя полуплоскость, и рассмотрим SLE 0 , так что движущая функция ζ является броуновским движением с нулевым коэффициентом диффузии. Таким образом, функция ζ тождественно равна нулю почти наверное и
- - верхняя полуплоскость с удаленной линией от 0 до .
Эволюция Шрамма – Лёвнера
Эволюция Шрамма – Лёвнера - это случайная кривая γ, заданная уравнением Лёвнера, как и в предыдущем разделе, для управляющей функции
где B ( t ) - броуновское движение на границе D , масштабируемое некоторым вещественным κ . Другими словами, эволюция Шрамма – Лёвнера - это вероятностная мера на плоских кривых, заданная как образ меры Винера под этим отображением.
В общем случае кривая γ не обязательно должна быть простой, и область D t не является дополнением к γ ([0, t ]) в D , но вместо этого является неограниченной компонентой дополнения.
Есть две версии SLE, использующие два семейства кривых, каждое из которых зависит от неотрицательного действительного параметра κ :
- Хордовый SLE κ , который связан с кривыми, соединяющими две точки на границе области (обычно в верхней полуплоскости с точками, равными 0 и бесконечностью).
- Радиальный SLE κ , который связан с кривыми, соединяющими точку на границе области с точкой во внутренней части (часто кривые, соединяющие 1 и 0 в единичном круге).
SLE зависит от выбора броуновского движения на границе области, и существует несколько вариантов в зависимости от того, какой тип броуновского движения используется: например, оно может начинаться в фиксированной точке или начинаться в равномерно распределенной точке на устройстве. круг, или может иметь встроенный дрейф и т. д. Параметр κ контролирует скорость распространения броуновского движения, и поведение SLE критически зависит от его значения.
Две области, наиболее часто используемые в эволюции Шрамма – Лёвнера, - это верхняя полуплоскость и единичная окружность. Хотя дифференциальное уравнение Лёвнера в этих двух случаях выглядит по-разному, они эквивалентны с точностью до замен переменных, поскольку единичный круг и верхняя полуплоскость конформно эквивалентны. Однако конформная эквивалентность между ними не сохраняет броуновское движение на их границах, которое использовалось для эволюции Шрамма – Лёвнера.
Особые значения κ
- При 0 ≤ κ <4 кривая γ ( t ) простая (с вероятностью 1).
- При 4 < κ <8 кривая γ ( t ) пересекает себя, и каждая точка содержится в петле, но кривая не заполняет пространство (с вероятностью 1).
- При κ ≥ 8 кривая γ ( t ) заполняет пространство (с вероятностью 1).
- κ = 2 соответствует случайному блужданию со стиранием петель или, что эквивалентно, ветвям равномерного остовного дерева.
- Для κ = 8/3, SLE κ обладает свойством ограничения и, как предполагается, является масштабным пределом случайных блужданий, избегающих самопроизвольных блужданий . Его разновидность - внешняя граница броуновского движения .
- κ = 3 - предел интерфейсов для модели Изинга .
- κ = 4 соответствует пути проводника гармоник и изолиний свободного поля Гаусса .
- При κ = 6 SLE κ обладает свойством локальности. Это возникает в скейлинговом пределе критической перколяции на треугольной решетке и, предположительно, на других решетках.
- κ = 8 соответствует пути, отделяющему равномерное остовное дерево от двойственного к нему.
Когда SLE соответствует некоторой конформной теории поля, параметр κ связан с центральным зарядом c конформной теории поля соотношением
Каждое значение c <1 соответствует двум значениям κ , одному значению κ между 0 и 4 и «двойному» значению 16 / κ больше 4. (см. Bauer & Bernard (2002a) Bauer & Bernard (2002b) ).
Беффара (2008) показал, что размерность Хаусдорфа путей (с вероятностью 1) равна min (2, 1 + κ / 8).
Формулы вероятности левого перехода для СЛЭ κ
Вероятность того, что хордальная СКВ κ γ находится слева от неподвижной точки, была вычислена Шраммом (2001a).
где это гамма - функция и является гипергеометрической функцией . Это было получено с использованием свойства мартингейла
и леммы Ито, чтобы получить следующее уравнение в частных производных для
Для κ = 4, RHS - это , который использовался при построении проводника гармоник, а для κ = 6 мы получаем формулу Карди , которую использовал Смирнов для доказательства конформной инвариантности в перколяции .
Приложения
Лоулер, Шрамм и Вернер (2001b) использовали SLE 6 для доказательства гипотезы Мандельброта (1982) о том, что граница плоского броуновского движения имеет фрактальную размерность 4/3.
Критическая перколяция на треугольной решетке была доказана, связанно с SLE 6 по Станиславу Смирнову . В сочетании с более ранними работами Гарри Кестена это привело к определению многих критических показателей перколяции. Этот прорыв, в свою очередь, позволил провести дальнейший анализ многих аспектов этой модели.
Лоулер, Шрамм и Вернер показали, что случайное блуждание со стиранием цикла сходится к SLE 2 . Это позволило вывести многие количественные свойства случайного блуждания со стиранием цикла (некоторые из которых были получены ранее Ричардом Кеньоном). Связанная случайная кривая Пеано, очерчивающая однородное остовное дерево, сходится к SLE 8 .
Роде и Шрамм показали, что κ связано с фрактальной размерностью кривой следующим соотношением
Моделирование
Компьютерные программы (Matlab) представлены в этом репозитории GitHub для моделирования плоских кривых Schramm Loewner Evolution.
использованная литература
дальнейшее чтение
- Беффара, Винсент (2008), «Размерность кривых SLE», The Annals of Probability , 36 (4): 1421–1452, arXiv : math / 0211322 , doi : 10.1214 / 07-AOP364 , MR 2435854 , S2CID 226992
- Карди, Джон (2005), "SLE для физиков-теоретиков", Annals of Physics , 318 (1): 81–118, arXiv : cond-mat / 0503313 , Bibcode : 2005AnPhy.318 ... 81C , doi : 10.1016 / j .aop.2005.04.001 , S2CID 17747133
- Голузина, EG (2001) [1994], "Метод Лёвнера" , Энциклопедия математики , EMS Press
- Гутлянский, В.Я. (2001) [1994], "Уравнение Лёвнера" , Энциклопедия математики , EMS Press
- Кагер, Воутер; Nienhuis, Bernard (2004), "Руководство по стохастической эволюции Лёвнера и ее приложениям", J. Stat. Phys. , 115 (5/6): 1149–1229, arXiv : math-ph / 0312056 , Bibcode : 2004JSP ... 115.1149K , doi : 10.1023 / B: JOSS.0000028058.87266.be , S2CID 7239233
- Лоулер, Грегори Ф. (2004), «Введение в стохастическую эволюцию Лёвнера» , в Кайманович, Вадим А. (ред.), Случайные блуждания и геометрия , Walter de Gruyter GmbH & Co. KG, Берлин, стр. 261– 293, ISBN 978-3-11-017237-9, MR 2087784 , архивируются с оригинала на 18 сентября 2009
- Лоулер, Грегори Ф. (2005), Конформно-инвариантные процессы на плоскости , Математические обзоры и монографии, 114 , Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество , ISBN 978-0-8218-3677-4, Руководство по ремонту 2129588
- Лоулер, Грегори Ф. (2007), "Schramm – Loewner Evolution", arXiv : 0712.3256 [ math.PR ]
- Лоулер, Грегори Ф. , Стохастическая эволюция Лёвнера
- Лоулер, Грегори Ф. (2009), "Конформная инвариантность и двумерная статистическая физика", Bull. Амер. Математика. Soc. , 46 : 35–54, DOI : 10.1090 / S0273-0979-08-01229-9
- Лоулер, Грегори Ф .; Шрамм, Одед ; Вернер, Венделин (2001b), «Размерность плоской броуновской границы составляет 4/3» , Mathematical Research Letters , 8 (4): 401–411, arXiv : math / 0010165 , doi : 10.4310 / mrl.2001.v8. n4.a1 , MR 1849257 , S2CID 5877745
- Лёвнер, К. (1923), "Untersuchungen über schlichte konforme Abbildungen des Einheitskreises. I" (PDF) , Math. Анна. , 89 (1-2): 103-121, DOI : 10.1007 / BF01448091 , СУЛ 49.0714.01 , S2CID 121752388
- Мандельброт, Бенуа (1982), Фрактальная геометрия природы , WH Freeman, ISBN 978-0-7167-1186-5
- Норрис, Дж. Р. (2010), Введение в эволюцию Шрамма – Лёвнера (PDF)
- Поммеренке, Кристиан (1975), Однолистные функции, с главой о квадратичных дифференциалах Герда Йенсена , Studia Mathematica / Mathematische Lehrbücher, 15 , Vandenhoeck & Ruprecht (Глава 6 посвящена классической теории уравнения Лёвнера)
- Schramm, Oded (2000), «Пределы масштабирования случайных блужданий со стиранием петель и однородных остовных деревьев», Израильский математический журнал , 118 : 221–288, arXiv : math.PR/9904022 , doi : 10.1007 / BF02803524 , MR 1776084 , S2CID 17164604 Оригинальная статья Шрамма, вводящая SLE
- Шрамм, Одед (2007), «Конформно-инвариантные пределы масштабирования: обзор и сборник задач», Международный конгресс математиков. Vol. I , Eur. Математика. Soc., Zürich, стр. 513–543, arXiv : math / 0602151 , Bibcode : 2006math ...... 2151S , doi : 10.4171 / 022-1 / 20 , ISBN 978-3-03719-022-7, Руководство по ремонту 2334202
- Вернер, Венделин (2004), «Случайные плоские кривые и эволюция Шрамма – Лёвнера», Лекции по теории вероятностей и статистике , Lecture Notes in Math., 1840 , Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , стр. 107–195, arXiv : math.PR/0303354 , DOI : 10.1007 / b96719 , ISBN 978-3-540-21316-1, Руководство по ремонту 2079672
- Вернер, Венделин (2005), "Конформная рестрикция и смежные вопросы", Вероятность обследование , 2 : 145-190, DOI : 10,1214 / 154957805100000113 , МР 2178043
- Бауэр, Мишель ; Бернар, Денис (2002a), Процессы роста $ SLE_ \ kappa $ и конформные теории поля , arXiv : math / 0206028
- Бауэр, Мишель ; Бернар, Денис (2002b), Теории конформного поля стохастических эволюций Лёвнера , arXiv : math / 0210015
внешние ссылки
- Лоулер; Шрамм; Вернер (2001), Учебное пособие: SLE , Зал науки Лоуренса , Калифорнийский университет, Беркли (видео лекции ИИГС)
- Шрамм, Одед (2001), Конформно инвариантные пределы масштабирования и СКВ , ИИГС (Слайды из выступления.)