Фрактальное измерение - Fractal dimension

11,5 х 200 = 2300 км

28 х 100 = 2800 км

70 х 50 = 3500 км

Рисунок 1. По мере того, как длина измерительной линейки становится все меньше и меньше, общая длина измеряемой береговой линии увеличивается (см. Парадокс береговой линии ).

В математике , точнее во фрактальной геометрии , фрактальная размерность - это соотношение, обеспечивающее статистический индекс сложности, сравнивающий, как детали в шаблоне (строго говоря, фрактальном шаблоне) меняются с масштабом, в котором он измеряется. Он также был охарактеризован как мера заполняющей пространство способности паттерна, которая показывает, как фрактал масштабируется иначе, чем пространство, в которое он встроен; фрактальная размерность не обязательно должна быть целым числом.

Основная идея «раздробленных» измерений имеет долгую историю в математике, но сам термин был выдвинут на первый план Бенуа Мандельбротом на основе его статьи 1967 года о самоподобии, в которой он обсуждал дробные измерения . В этой статье Мандельброт процитировал предыдущую работу Льюиса Фрая Ричардсона, описывающую нелогичное представление о том, что измеренная длина береговой линии изменяется в зависимости от длины используемой измерительной линейки ( см. Рис. 1 ). В терминах этого понятия фрактальная размерность береговой линии количественно определяет, как количество масштабированных мерных стержней, необходимых для измерения береговой линии, изменяется в зависимости от шкалы, примененной к стержню. Существует несколько формальных математических определений фрактальной размерности, которые подробно основываются на этой базовой концепции изменения с изменением масштаба: см. Раздел Примеры .

В конце концов, термин фрактальное измерение стал фразой, с которой сам Мандельброт стал наиболее комфортно понимать значение слова фрактал , созданного им термина. После нескольких итераций на протяжении многих лет Мандельброт остановился на таком использовании языка: «... использовать фрактал без педантичного определения, использовать фрактальную размерность как общий термин, применимый ко всем вариантам».

Один нетривиальный пример - фрактальная размерность снежинки Коха . Ее топологическая размерность равна 1, но это ни в коем случае не спрямляемая кривая : длина кривой между любыми двумя точками на снежинке Коха бесконечна . Немалая его часть похожа на линию, а скорее состоит из бесконечного числа сегментов, соединенных под разными углами. Фрактальную размерность кривой можно объяснить интуитивно, рассматривая фрактальную линию как объект, слишком детализированный, чтобы быть одномерным, но слишком простой, чтобы быть двумерным. Следовательно, его размерность лучше всего описывать не его обычной топологической размерностью, равной единице, а его фрактальной размерностью, которая часто является числом от одного до двух; в случае снежинки Коха это около 1,262.

Вступление

Рис. 2. Квадрический фрактал из 32 сегментов, масштабированный и просматриваемый через прямоугольники разного размера. Шаблон иллюстрирует самоподобие . Теоретическая фрактальная размерность этого фрактала составляет 5/3 ≈ 1,67; его эмпирическая фрактальная размерность из анализа подсчета ящиков составляет ± 1% с использованием программного обеспечения фрактального анализа .

Фрактальная размерность является индексом для характеристики фрактальных паттернов или наборов пути количественной оценки их сложности как отношение изменения подробно к изменению масштаба. Теоретически и эмпирически можно измерить несколько типов фрактальной размерности ( см. Рис. 2 ). Фрактальные измерения используются для характеристики широкого спектра объектов, от абстрактных до практических, включая турбулентность, речные сети, рост городов, физиологию человека, медицину и рыночные тенденции. Основная идея дробной или фрактальной размерности имеет долгую историю в математике, которая восходит к 1600-м годам, но термины фрактальная и фрактальная размерность были введены математиком Бенуа Мандельбротом в 1975 году.

Впервые фрактальные измерения были применены в качестве индекса, характеризующего сложные геометрические формы, для которых детали казались более важными, чем общая картина. Для наборов, описывающих обычные геометрические формы, теоретическая фрактальная размерность равна известной евклидовой или топологической размерности набора . Таким образом, это 0 для множеств, описывающих точки (0-мерных множеств); 1 для наборов, описывающих линии (только одномерные наборы, имеющие длину); 2 для наборов, описывающих поверхности (двумерные наборы, имеющие длину и ширину); и 3 для наборов, описывающих объемы (трехмерные наборы, имеющие длину, ширину и высоту). Но это меняется для фрактальных множеств. Если теоретическая фрактальная размерность набора превышает его топологическую размерность, считается, что набор имеет фрактальную геометрию.

В отличие от топологических измерений, фрактальный индекс может принимать нецелочисленные значения, указывая на то, что набор заполняет свое пространство качественно и количественно иначе, чем это делает обычный геометрический набор. Например, кривая с фрактальной размерностью, очень близкой к 1, скажем 1,10, ведет себя совершенно как обычная линия, но кривая с фрактальной размерностью 1,9 извилисто извивается в пространстве, почти как поверхность. Точно так же поверхность с фрактальной размерностью 2,1 заполняет пространство очень похоже на обычную поверхность, но поверхность с фрактальной размерностью 2,9 складывается и течет, заполняя пространство почти как объем. Эту общую взаимосвязь можно увидеть на двух изображениях фрактальных кривых на рис.2 и рис.3 - 32-сегментный контур на рис.2, извитый и заполняющий пространство, имеет фрактальную размерность 1,67 по сравнению с заметно менее сложным Кривая Коха на рис. 3, которая имеет фрактальную размерность 1,26.

Рисунок 3. Коха кривая является классическим итерированным фрактальной кривой. Это теоретическая конструкция, которая создается путем итеративного масштабирования начального сегмента. Как показано, каждый новый сегмент масштабируется на 1/3 на 4 новых части, уложенных встык, при этом 2 средние части наклонены друг к другу между двумя другими частями, так что, если бы они были треугольником, его основание было бы длиной середины. кусок, чтобы весь новый сегмент соответствовал традиционно измеренной длине между конечными точками предыдущего сегмента. В то время как анимация показывает только несколько итераций, теоретическая кривая масштабируется таким образом бесконечно. После примерно 6 повторений такого маленького изображения детали теряются.

Связь увеличения фрактальной размерности с заполнением пространства может быть воспринята как означающая, что фрактальные измерения измеряют плотность, но это не так; эти два понятия строго не коррелируют. Вместо этого фрактальное измерение измеряет сложность, концепцию, связанную с определенными ключевыми характеристиками фракталов: самоподобие и детализация или неравномерность . Эти особенности очевидны на двух примерах фрактальных кривых. Обе кривые имеют топологическую размерность, равную 1, поэтому можно надеяться, что можно будет измерить их длину и производную так же, как и с обычными кривыми. Но мы не можем сделать ни то, ни другое, потому что фрактальные кривые имеют сложность в виде самоподобия и деталей, которых не хватает обычным кривым. В самоподобии лежит в бесконечном масштабировании, и подробно в определяющих элементах каждого набора. Длина между любыми двумя точками на этих кривых является бесконечным, независимо от того , насколько близко друг к другу эти две точки, что означает , что невозможно аппроксимировать длину такой кривой путем разбиения кривой на множество мелких сегментов. Каждый меньший кусок состоит из бесконечного числа масштабированных сегментов, которые выглядят точно так же, как в первой итерации. Это не исправляемые кривые , то есть их нельзя измерить, разбив на множество сегментов, приблизительно равных их соответствующей длине. Они не могут быть содержательно охарактеризованы путем определения их длины и производных. Однако их фрактальные размеры могут быть определены, что показывает, что оба заполняют пространство больше, чем обычные линии, но меньше, чем поверхности, и позволяет их сравнивать в этом отношении.

Две описанные выше фрактальные кривые демонстрируют тип самоподобия, который является точным с повторяющейся единицей деталей, которая легко визуализируется. Такая структура может быть расширена на другие пространства (например, фрактал, который расширяет кривую Коха в трехмерное пространство, имеет теоретическое значение D = 2,5849). Однако такая точно подсчитываемая сложность - лишь один из примеров самоподобия и детализации, присущих фракталам. Например, на примере береговой линии Британии наблюдается самоподобие приблизительного рисунка с приблизительным масштабированием. В целом фракталы демонстрируют несколько типов и степеней самоподобия и деталей, которые трудно визуализировать. К ним относятся, в качестве примеров, странные аттракторы, детали которых были описаны как скопление гладких участков, набор Джулии , который можно увидеть как сложные завитки за завитками, и частоту сердечных сокращений, которые представляют собой образцы повторяющихся грубых всплесков. и масштабируется во времени. Фрактальную сложность не всегда можно разделить на легко воспринимаемые единицы детализации и масштаба без сложных аналитических методов, но ее все же можно измерить с помощью фрактальных измерений.

История

Термины фрактальная размерность и фрактал были введены Мандельбротом в 1975 году, примерно через десять лет после того, как он опубликовал свою статью о самоподобии на побережье Великобритании. Различные исторические авторитеты приписывают ему также синтез многовековой сложной теоретической математики и инженерных работ и применение их по-новому для изучения сложных геометрий, которые не поддаются описанию в обычных линейных терминах. Самые ранние корни того, что Мандельброт синтезировал как фрактальную размерность, четко прослеживаются до работ о недифференцируемых, бесконечно самоподобных функциях, которые важны для математического определения фракталов, примерно во время открытия исчисления в середине 1600-х годов. Некоторое время после этого в опубликованных работах по таким функциям было затишье, затем возобновление, начавшееся в конце 1800-х с публикацией математических функций и множеств, которые сегодня называются каноническими фракталами (например, одноименные работы фон Коха , Серпинского , и Юлия ), но во время их формулировки часто считались антиподными математическими «монстрами». Эти работы сопровождались, пожалуй, наиболее поворотным моментом в развитии концепции фрактального измерения благодаря работам Хаусдорфа в начале 1900-х годов, который определил «дробное» измерение , которое было названо его именем и часто используется при определении. современные фракталы .

См. Дополнительную информацию в истории фракталов.

Роль масштабирования

Рисунок 4. Традиционные понятия геометрии для определения масштаба и размеров. , , , , , ,
${\ displaystyle 1}$${\ displaystyle 1 ^ {2} {=} 1}$${\ displaystyle 1 ^ {3} {=} 1}$
${\ displaystyle 2}$${\ displaystyle 2 ^ {2} {=} 4}$${\ displaystyle 2 ^ {3} {=} 8}$
${\ displaystyle 3}$${\ displaystyle 3 ^ {2} {=} 9}$${\ displaystyle 3 ^ {3} {=} 27}$

Концепция фрактальной размерности основана на нетрадиционных представлениях о масштабировании и размерности. Как показано на рис. 4 , традиционные представления о геометрии диктуют, что формы предсказуемо масштабируются в соответствии с интуитивно понятными и знакомыми представлениями о пространстве, в котором они находятся, например, при измерении линии сначала одной мерной линейкой, а затем другой 1/3 ее размера. , общая длина второй палки будет в 3 раза больше, чем у первой. Это также справедливо и в двух измерениях. Если измерить площадь квадрата, а затем снова измерить его с помощью прямоугольника со стороной, равной 1/3 размера оригинала, то получится в 9 раз больше квадратов, чем при первой мере. Такие знакомые соотношения масштабирования могут быть определены математически с помощью общего правила масштабирования в уравнении 1, где переменная обозначает количество палочек, коэффициент масштабирования и фрактальную размерность: ${\ displaystyle N}$${\ displaystyle \ varepsilon}$${\ displaystyle D}$

${\ displaystyle {N = \ varepsilon ^ {- D}}.}$

( 1 )

Это масштабирование правила типизирует обычные правила о геометрии и размерах - для линий, это квантифицирует , что, так как, когда , как и в приведенном выше примере, так и для квадратов, потому что , когда${\ Displaystyle N = 3}$${\ Displaystyle \ varepsilon = {\ tfrac {1} {3}}}$${\ Displaystyle D = 1,}$${\ displaystyle N = 9}$${\ displaystyle \ varepsilon = {\ tfrac {1} {3}}, D = 2.}$

Рисунок 5. Первые четыре итерации по снежинку Коха , который имеет приблизительный размер хаусдорфову из 1.2619.

То же правило применяется к фрактальной геометрии, но менее интуитивно. Чтобы уточнить, фрактальная линия, измеренная сначала как одна длина, при повторном измерении с использованием новой палки, масштабированной на 1/3 от старой, может быть не ожидаемой в 3, а вместо этого в 4 раза больше длины масштабированных палочек. В этом случае, когда и значение можно найти, переставив уравнение 1: ${\ Displaystyle N = 4}$${\ displaystyle \ varepsilon = {\ tfrac {1} {3}},}$${\ displaystyle D}$

${\ displaystyle {\ log _ {\ varepsilon} {N} = {- D} = {\ frac {\ log {N}} {\ log {\ varepsilon}}}}.}$

( 2 )

То есть для фрактала, описываемого, когда нецелочисленное измерение, которое предполагает, что фрактал имеет размерность, не равную пространству, в котором он находится. Масштабирование, используемое в этом примере, является таким же масштабированием кривой Коха и снежинки . Следует отметить, что показанные изображения не являются истинными фракталами, потому что масштабирование, описываемое значением, не может продолжаться бесконечно по той простой причине, что изображения существуют только до точки своего наименьшего компонента, пикселя. Однако теоретический паттерн, который представляют цифровые изображения, не имеет дискретных пиксельных частей, а скорее состоит из бесконечного числа бесконечно масштабированных сегментов, соединенных под разными углами, и действительно имеет фрактальную размерность 1,2619. ${\ Displaystyle N = 4}$${\ displaystyle \ varepsilon = {\ tfrac {1} {3}}, D = 1,2619,}$${\ displaystyle D}$

D не уникальный дескриптор

Рисунок 6 . Два ветвящихся фрактала L-системы, которые создаются путем создания 4 новых частей на каждые 1/3 масштабирования, поэтому имеют те же теоретические характеристики, что и кривая Коха, и для которых эмпирический подсчет ящиков был продемонстрирован с точностью 2%.${\ displaystyle D}$ ${\ displaystyle D}$

Как и в случае с размерами, определенными для линий, квадратов и кубов, фрактальные измерения являются общими дескрипторами, которые не определяют однозначно шаблоны. Значение D для фрактала Коха, обсужденного выше, например, количественно определяет масштаб, присущий паттерну, но не однозначно описывает и не предоставляет достаточно информации для его восстановления. Можно построить множество фрактальных структур или паттернов, которые имеют такое же соотношение масштабирования, но резко отличаются от кривой Коха, как показано на рисунке 6 .

Примеры построения фрактальных паттернов см. В разделах «Фрактал , треугольник Серпинского , множество Мандельброта» , « Агрегация с ограничением диффузии» , « L-система» .

Фрактальные поверхностные структуры

Концепция фрактальности все чаще применяется в области науки о поверхности , обеспечивая связь между характеристиками поверхности и функциональными свойствами. Многочисленные дескрипторы поверхностей используются для интерпретации структуры номинально плоских поверхностей, которые часто демонстрируют самоаффинные особенности в нескольких масштабах длины. Средняя шероховатость поверхности , обычно обозначаемая R _A , является наиболее часто применяемым дескриптором поверхности, однако регулярно применяются многочисленные другие дескрипторы, включая средний наклон, среднеквадратичную шероховатость ( _RMS ) и другие. Однако обнаружено, что многие физические поверхностные явления не могут быть легко интерпретированы со ссылкой на такие дескрипторы, поэтому фрактальная размерность все чаще применяется для установления корреляций между структурой поверхности с точки зрения масштабирования и производительности. Фрактальные размеры поверхностей использовались для объяснения и лучшего понимания явлений в областях механики контактов , поведения трения , электрического контактного сопротивления и прозрачных проводящих оксидов .

Рисунок 7: Иллюстрация увеличения фрактальности поверхности. Самоаффинные поверхности (слева) и соответствующие профили поверхностей (справа), демонстрирующие возрастающую фрактальную размерность D _f

Примеры

Концепция фрактальной размерности, описанная в этой статье, является основным видом сложной конструкции. Обсуждаемые здесь примеры были выбраны для ясности, а единица масштабирования и соотношения были известны заранее. На практике, однако, фрактальные размеры могут быть определены с использованием методов, которые аппроксимируют масштабирование и детализацию на основе пределов, оцененных по линиям регрессии на графиках логарифмических и логарифмических размеров и масштаба. Ниже перечислены несколько формальных математических определений различных типов фрактальной размерности. Хотя для некоторых классических фракталов все эти измерения совпадают, в целом они не эквивалентны:

• Box размер счета : D это оценивается как экспоненты степенного закона .

${\ displaystyle D_ {0} = \ lim _ {\ varepsilon \ to 0} {\ frac {\ log N (\ varepsilon)} {\ log {\ frac {1} {\ varepsilon}}}}.}$

• Информационное измерение : D рассматривает, как средняя информация, необходимая для идентификации занятого блока, масштабируется с размером блока; это вероятность.${\ displaystyle p}$

${\ displaystyle D_ {1} = \ lim _ {\ varepsilon \ to 0} {\ frac {- \ langle \ log p _ {\ varepsilon} \ rangle} {\ log {\ frac {1} {\ varepsilon}}} }}$

• Корреляционная размерность : D определяется как количество точек, используемых для создания представления фрактала, и g _ε , количество пар точек, расположенных ближе, чем ε друг к другу.${\ displaystyle M}$

${\ displaystyle D_ {2} = \ lim _ {M \ to \ infty} \ lim _ {\ varepsilon \ to 0} {\ frac {\ log (g _ {\ varepsilon} / M ^ {2})} {\ журнал \ varepsilon}}}$

• Обобщенные измерения или измерения Реньи: измерения подсчета ящиков, информации и корреляции можно рассматривать как частные случаи непрерывного спектра обобщенных измерений порядка α, определяемого:

${\ displaystyle D _ {\ alpha} = \ lim _ {\ varepsilon \ to 0} {\ frac {{\ frac {1} {\ alpha -1}} \ log (\ sum _ {i} p_ {i} ^ {\ alpha})} {\ log \ varepsilon}}}$

• Измерение Хигучи

${\ Displaystyle D = {\ гидроразрыва {d \ \ log (L (k))} {d \ \ log (k)}}}$

• Ляпуновское измерение
• Мультифрактальные измерения: особый случай измерений Реньи, в которых поведение масштабирования варьируется в разных частях паттерна.
• Показатель неопределенности
• Хаусдорфова размерность : Для любого подмножества метрического пространства и , то д - мерное содержание Хаусдорфовы из S определяются${\ displaystyle S}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle d \ geq 0}$

${\ displaystyle C_ {H} ^ {d} (S): = \ inf {\ Bigl \ {} \ sum _ {i} r_ {i} ^ {d}: {\ text {есть обложка}} S {\ text {шарами с радиусами}} r_ {i}> 0 {\ Bigr \}}.}$

Хаусдорфова из S определяется

${\ displaystyle \ dim _ {\ operatorname {H}} (X): = \ inf \ {d \ geq 0: C_ {H} ^ {d} (X) = 0 \}.}$

• Размер упаковки
• Измерение Ассуада
• Локальное подключенное измерение

Оценка на основе реальных данных

Многие явления реального мира демонстрируют ограниченные или статистические фрактальные свойства и фрактальные размерности, которые были оценены на основе выборочных данных с использованием компьютерных методов фрактального анализа . Практически на измерения фрактальной размерности влияют различные методологические проблемы, они чувствительны к числовому или экспериментальному шуму и ограничениям в объеме данных. Тем не менее, эта область быстро растет, поскольку оценочные фрактальные размерности для статистически самоподобных явлений могут иметь множество практических применений в различных областях, включая астрономию, акустику, геологию и науки о Земле, диагностическую визуализацию, экологию, электрохимические процессы, анализ изображений, биологию и медицину, нейробиология, сетевой анализ , физиология, физика и дзета-нули Римана. Также было показано, что оценки фрактальной размерности коррелируют со сложностью Лемпеля-Зива в реальных наборах данных из психоакустики и нейробиологии.

Альтернативой прямому измерению является рассмотрение математической модели, которая напоминает формирование реального фрактального объекта. В этом случае проверка также может быть выполнена путем сравнения свойств, отличных от фрактальных, подразумеваемых моделью, с данными измерений. В коллоидной физике возникают системы, состоящие из частиц с различной фрактальной размерностью. Для описания этих систем удобно говорить о распределении фрактальных размерностей и, в конечном итоге, о их временной эволюции: процессе, который управляется сложным взаимодействием между агрегацией и слиянием .

Фрактальные измерения сетей и пространственных сетей

Было обнаружено, что многие сети реального мира самоподобны и могут характеризоваться фрактальной размерностью. Более того, модели сетей, встроенные в пространство, могут иметь непрерывную фрактальную размерность, которая зависит от распределения дальних связей.

Смотрите также

• Список фракталов по размерности Хаусдорфа  - статья со списком в Википедии
• Лакунарность  - термин в геометрии и фрактальном анализе
• Фрактальная производная  - Обобщение производной на фракталы

Примечания

использованная литература

дальнейшее чтение

• Мандельброт, Бенуа Б .; Хадсон, Ричард Л. (2010). (Не) поведение рынков: фрактальный взгляд на риск, разорение и вознаграждение . Профильные книги. ISBN 978-1-84765-155-6.

внешние ссылки

• Программное обеспечение для фрактального анализа TruSoft Benoit вычисляет фрактальные размерности и показатели скорости.
• Java-апплет для вычисления фрактальных измерений
• Введение в фрактальный анализ
• Боули, Роджер (2009). «Фрактальное измерение» . Шестьдесят символов . Brady Харан для Ноттингемского университета .
• « Фракталы обычно не самоподобны» . 3Синий1Коричневый .