Спутниковый узел - Satellite knot

В математической теории узлов , спутник узел является узлом , который содержит несжимаемый , не являющийся краевой параллельный тор в его дополнении . Каждый узел является либо гиперболическим, либо тором, либо узлом-спутником. Класс спутниковых узлов включает составные узлы, кабельные узлы и двойные узлы Уайтхеда. ( См. Определения последних двух классов в разделе Базовые семейства ниже.) Спутниковая связь - это линия, которая вращается вокруг узла-компаньона K в том смысле, что она находится внутри регулярной окрестности узла -компаньона.

Пример 1: сумма соединения трилистника и узла в форме восьмерки.

Узел-спутник можно живописно описать следующим образом: начнем с нетривиального узла, лежащего внутри незаузленного полнотория . Здесь «нетривиальный» означает, что узел не может находиться внутри 3-шара и не может быть изотопным центральной кривой ядра полнотория. Затем свяжите полноторие в нетривиальный узел.

Пример 2: Двойник Уайтхеда восьмерки.

Это означает, что имеется нетривиальное вложение и . Центральная кривая ядра полнотория направляется в узел , который называется «узел-компаньон» и считается планетой, вокруг которой вращается «узел-спутник» . Конструкция гарантирует, что является неграничным параллельным несжимаемым тором в дополнении к . Составные узлы содержат определенный вид несжимаемого тора, называемого тором с проглатыванием , который можно представить как проглатывающее одно слагаемое и следующее за другим слагаемым.

Пример 3: кабель соединительной суммы.

Поскольку является полноторием без узлов, является трубчатой ​​окрестностью безузла . Двухкомпонентная связь вместе с встраиванием называется шаблоном, связанным со спутниковой операцией.

Конвенция: люди , как правило , требуют , что вложение является раскручивается в том смысле , что необходимо отправить стандартную долготу из стандартной долготы . Иначе говоря, для любых двух непересекающихся кривых , сохраняет их связывающие числа , то есть: .

Основные семьи

Когда является торическим узлом , то он называется канатным узлом. Примеры 3 и 4 - кабельные узлы.

Если является нетривиальным узлом в и если сжимающий диск для пересекается ровно в одной точке, то называется связной суммой. Другой способ сказать это: шаблон - это сумма соединений нетривиального узла со связью Хопфа.

Если ссылка является ссылкой Уайтхеда , она называется двойником Уайтхеда. Если раскручен, называется раскрученный дубль Уайтхеда.

Примеры

Пример 1: сумма соединения узла в форме восьмерки и трилистника.

Пример 2: Раскрученный дубль Уайтхеда восьмерки.

Пример 3: Кабель соединительной суммы.

Пример 4: Трос из трилистника.

Примеры 5 и 6 представляют собой варианты одной и той же конструкции. У них обоих есть два непараллельных, не гранично-параллельных несжимаемых тора в своих дополнениях, разбивающих дополнение на объединение трех многообразий. В примере 5 такими многообразиями являются: дополнение колец Борромео, дополнение трилистника и дополнение восьмерки. В примере 6 дополнение в виде восьмерки заменено другим дополнением в виде трилистника.

Пример 4: Трос трилистника.
Пример 5: Узел, который является двумерным спутником, т. Е. Имеет непараллельные торы типа ласточкиного следования.
Пример 6: Узел, который является двумерным спутником, т. Е. Он имеет непараллельные торы типа ласточкиного следования.

Происхождение

В 1949 году Хорст Шуберт доказал, что каждый ориентированный узел в разлагается как связная сумма простых узлов уникальным образом, вплоть до переупорядочения, превращая моноид ориентированных изотопических классов узлов в свободный коммутативный моноид на счетно-бесконечном множестве образующих. Вскоре после этого он понял, что может дать новое доказательство своей теоремы путем тщательного анализа несжимаемых торов, присутствующих в дополнении связной суммы. Это привело его к изучению общих несжимаемых торов в дополнениях к узлам в своей эпической работе Knoten und Vollringe , где он определил спутники и сопутствующие узлы.

Последующая работа

Доказательство Шуберта того, что несжимаемые торы играют важную роль в теории узлов, было одним из первых открытий, приведших к объединению теории трехмерных многообразий и теории узлов. Это привлекло внимание Вальдхаузена, который позже использовал несжимаемые поверхности, чтобы показать, что большой класс трехмерных многообразий гомеоморфен тогда и только тогда, когда их фундаментальные группы изоморфны. Вальдхаузен предположил, что теперь является разложением Жако – Шалена – Йохансона трехмерных многообразий, которое является разложением трехмерных многообразий по сферам и несжимаемым торам. Позже это стало основным ингредиентом в развитии геометризации , которую можно рассматривать как частичную классификацию трехмерных многообразий. Разветвления теории узлов были впервые описаны в давно неопубликованной рукописи Бонахона и Зибенмана.

Уникальность спутниковой декомпозиции

В « Knoten und Vollringe» Шуберт доказал, что в некоторых случаях существует, по сути, уникальный способ выразить узел как спутник. Но есть также много известных примеров, когда разложение не однозначно. С соответствующим расширенным понятием спутниковой операции, называемым сращиванием, разложение JSJ дает правильную теорему единственности для спутниковых узлов.

Смотрите также

Рекомендации

  1. ^ Колин Адамс, Книга узлов: элементарное введение в математическую теорию узлов , (2001), ISBN   0-7167-4219-5
  2. ^ Menasco, Уильям ; Thistlethwaite, Morwen , ред. (2005). Справочник по теории узлов . Эльзевир. ISBN   0080459544 . Проверено 18 августа 2014 .
  3. ^ Шуберт, Х. Die eindeutige Zerlegbarkeit eines Knotens в Primknoten. S.-B Heidelberger Akad. Wiss. Math.-Nat. Kl. 1949 (1949), 57–104.
  4. ^ Шуберта, H. Knoten унд Vollringe. Acta Math. 90 (1953), 131–286.
  5. ^ Вальдхаузен, Ф. О неприводимых трехмерных многообразиях, которые достаточно велики. Ann. математики. (2) 87 (1968), 56–88.
  6. ^ Ф. Бонахон, Л. Зибенманн, Новые геометрические расщепления классических узлов, а также классификация и симметрии древовидных узлов , [1]
  7. ^ Мотеги, К. Типы узлов спутниковых узлов и скрученных узлов. Лекции в узлах-96. World Scientific.
  8. ^ Эйзенбуд, Д. Нойман, В. Трехмерная теория зацепления и инварианты особенностей плоских кривых. Аня. математики. Stud. 110
  9. ^ Будни, Р. JSJ-разложения дополнений узлов и зацеплений в S ^ 3. L'enseignement Mathematique 2e Serie Tome 52 Fasc. 3–4 (2006). arXiv: math.GT/0506523