Теорема Рота - Roth's theorem

Джозеф Лиувиль

Фриман Дайсон в 2005 году

Аксель Туэ

Карл Сигель в 1975 году

В математике , Roth это теорема является основным результатом в диофантовом приближении к алгебраическим числам . Это качественный тип, утверждающий, что алгебраические числа не могут иметь много «очень хороших» приближений рациональных чисел . За полвека значение слова очень хорошо здесь было уточнено рядом математиков, начиная с Джозефа Лиувилля в 1844 году и продолжая работы Акселя Туэ ( 1909 ), Карла Людвига Сигеля ( 1921 ), Фримена Дайсона ( 1947 ) и Клаус Рот ( 1955 ).

Заявление

Теорема Рота утверждает, что каждое иррациональное алгебраическое число имеет показатель приближения, равный 2. Это означает, что для любого неравенства ${\ displaystyle \ alpha}$ ${\ displaystyle \ varepsilon> 0}$

{\ displaystyle \ left | \ alpha - {\ frac {p} {q}} \ right | <{\ frac {1} {q ^ {2+ \ varepsilon}}}}

может иметь только конечное число решений в взаимно простых целых числах и . Доказательство этого факта Ротом разрешило гипотезу Сигеля. Отсюда следует, что любое иррациональное алгебраическое число α удовлетворяет ${\ displaystyle p}$ ${\ displaystyle q}$

{\ displaystyle \ left | \ alpha - {\ frac {p} {q}} \ right |> {\ frac {C (\ alpha, \ varepsilon)} {q ^ {2+ \ varepsilon}}}}

с положительным числом, зависящим только от и . ${\ Displaystyle С (\ альфа, \ varepsilon)}$ ${\ displaystyle \ varepsilon> 0}$ ${\ displaystyle \ alpha}$

Обсуждение

Первым результатом в этом направлении является теорема Лиувилля о приближении алгебраических чисел, которая дает показатель приближения d для алгебраического числа α степени d ≥ 2. Этого уже достаточно, чтобы продемонстрировать существование трансцендентных чисел . Туэ понял, что показатель меньше d будет иметь приложения к решению диофантовых уравнений, и в теореме Туэ 1909 года установил показатель степени . Теорема Зигеля улучшает это до показателя порядка 2 √ d , а теорема Дайсона 1947 года имеет показатель порядка √ 2 d . ${\ Displaystyle д / 2 + 1 + \ varepsilon}$

Результат Рота с показателем степени 2 в некотором смысле является наилучшим из возможных, потому что это утверждение не сработает при установке : по теореме Дирихле о диофантовом приближении в этом случае существует бесконечно много решений. Однако есть более сильная гипотеза Сержа Ланга, что ${\ displaystyle \ varepsilon = 0}$

{\ displaystyle \ left | \ alpha - {\ frac {p} {q}} \ right | <{\ frac {1} {q ^ {2} \ log (q) ^ {1+ \ varepsilon}}}}

может иметь только конечное число решений в целых числах p и q . Если позволить α пробегать весь набор действительных чисел, а не только алгебраические действительные числа, то и вывод Рота, и заключение Лэнга справедливы почти для всех . Таким образом, и теорема, и гипотеза утверждают, что определенное счетное множество не соответствует определенному множеству нулевой меры. ${\ displaystyle \ alpha}$

Теорема не является в настоящее время эффективная : то есть, там не связана известно о возможных значениях р , д данного . Давенпорт и Рот (1955) показали, что методы Рота могут быть использованы для получения эффективной оценки числа p / q, удовлетворяющих неравенству, с использованием принципа «разрыва». Тот факт, что мы на самом деле не знаем C (ε), означает, что проект решения уравнения или ограничения размера решений недостижим. ${\ displaystyle \ alpha}$

Техника доказательства

Техника доказательства включает построение вспомогательного многомерного полинома от сколь угодно большого числа переменных в зависимости от , что приводит к противоречию при наличии слишком большого количества хороших приближений. Более конкретно, можно найти определенное количество рациональных приближений к рассматриваемому иррациональному алгебраическому числу, а затем применить функцию к каждому из них одновременно (т.е. каждое из этих рациональных чисел служит входом для уникальной переменной в выражении, определяющем нашу функцию ). По своей природе он был неэффективным (см. Эффективные результаты в теории чисел ); это представляет особый интерес, поскольку основное применение результатов этого типа состоит в ограничении числа решений некоторых диофантовых уравнений . ${\ displaystyle \ varepsilon}$

Обобщения

Существует многомерная версия основного результата - теорема Шмидта о подпространстве . Также существует множество расширений, например, с использованием p-адической метрики , основанной на методе Рота.

Уильям Дж. Левек обобщил результат, показав, что аналогичная оценка верна, когда аппроксимирующие числа берутся из фиксированного поля алгебраических чисел . Определим высоту H (ξ) алгебраического числа ξ как максимум абсолютных значений коэффициентов его минимального многочлена . Зафиксируем κ> 2. Для заданного алгебраического числа α и поля алгебраических чисел K уравнение

{\ Displaystyle | \ альфа - \ xi | <{\ гидроразрыва {1} {H (\ xi) ^ {\ kappa}}}}

имеет лишь конечное число решений в элементах £ из K .

Смотрите также

Примечания

дальнейшее чтение

Бейкер, Алан (1975). Теория трансцендентных чисел . Издательство Кембриджского университета . ISBN 0-521-20461-5 . Zbl 0297.10013 .
Бейкер, Алан ; Вюстхольц, Гисберт (2007). Логарифмические формы и диофантова геометрия . Новые математические монографии. 9 . Издательство Кембриджского университета . ISBN 978-0-521-88268-2 . Zbl 1145.11004 .
Бомбьери, Энрико ; Габлер, Вальтер (2006). Высоты в диофантовой геометрии . Новые математические монографии. 4 . Издательство Кембриджского университета . ISBN 978-0-521-71229-3 . Zbl 1130.11034 .
Войта, Пол (1987). Диофантовы приближения и теория распределения ценностей . Конспект лекций по математике. 1239 . Springer-Verlag . ISBN 3-540-17551-2 . Zbl 0609.14011 .

Languages

In other projects