Теория представлений алгебр Хопфа - Representation theory of Hopf algebras

В абстрактной алгебре , представление алгебры Хопфа является представление о лежащих в его основе ассоциативной алгебры . То есть, представление алгебры Хопфа H над полем K является K - векторное пространство V с действием Н × V → V обычно обозначается сопоставлением (то есть, изображение ( ч , v ) записывается HV ). Векторное пространство V называется H -модулем.

Свойства

Модульная структура представления алгебры Хопфа H - это просто ее структура как модуля базовой ассоциативной алгебры. Основное применение рассмотрения дополнительной структуры алгебры Хопфа - рассмотрение всех H -модулей как категории. Дополнительная структура также используются для определения инвариантных элементов в H - модуль V . Элемент V в V является инвариантным при H , если для всех ч в H , HV = ε ( ч ) v , где ε является коединица из H . Подмножество всех инвариантных элементов V образует подмодуль V .

Категории представлений как мотивация алгебр Хопфа

Для ассоциативной алгебры H , в тензорное произведение V ₁ ⊗ V ₂ из двух Н - модулей V ₁ и V ₂ представляет собой векторное пространство, но не обязательно Н - модуль. Для тензорного произведения быть функториальна операцией продукта на Н -модулей, должна быть линейным бинарная операция Δ: H → H ⊗ H , что для любого V в V _- ⊗ V ₂ и любой ч в Н ,

${\ displaystyle hv = \ Delta h (v _ {(1)} \ otimes v _ {(2)}) = h _ {(1)} v _ {(1)} \ otimes h _ {(2)} v _ {(2) },}$

и для любых v в V ₁ ⊗ V ₂ и a и b в H ,

${\ Displaystyle \ Delta (ab) (v _ {(1)} \ otimes v _ {(2)}) = (ab) v = a [b [v]] = \ Delta a [\ Delta b (v _ {(1 )} \ otimes v _ {(2)})] = (\ Delta a) (\ Delta b) (v _ {(1)} \ otimes v _ {(2)}).}$

с использованием системы суммирования Свидлера , которая чем-то похожа на безиндексную форму соглашения Эйнштейна о суммировании . Это будет выполнено , если существует Δ Δ такое , что ( AB ) = Δ ( ) Δ ( б ) для всех а , б , в H .

Чтобы категория H -модулей была строгой моноидальной категорией по отношению к ⊗ и должна быть эквивалентной, и должен существовать единичный объект ε _H , называемый тривиальным модулем, такой, что ε _H ⊗ V , V и V ⊗ ε _H являются эквивалент. ${\ displaystyle V_ {1} \ otimes (V_ {2} \ otimes V_ {3})}$${\ displaystyle (V_ {1} \ otimes V_ {2}) \ otimes V_ {3}}$

Это означает, что для любого v в

${\ displaystyle V_ {1} \ otimes (V_ {2} \ otimes V_ {3}) = (V_ {1} \ otimes V_ {2}) \ otimes V_ {3}}$

и для h в H ,

${\ displaystyle ((\ Operatorname {id} \ otimes \ Delta) \ Delta h) (v _ {(1)} \ otimes v _ {(2)} \ otimes v _ {(3)}) = h _ {(1)} v _ {(1)} \ otimes h _ {(2) (1)} v _ {(2)} \ otimes h _ {(2) (2)} v _ {(3)} = hv = ((\ Delta \ otimes \ имя оператора {id}) \ Delta h) (v _ {(1)} \ otimes v _ {(2)} \ otimes v _ {(3)}).}$

Это будет справедливо для любых трех H -модулей, если ∆ удовлетворяет

${\ displaystyle (\ operatorname {id} \ otimes \ Delta) \ Delta A = (\ Delta \ otimes \ operatorname {id}) \ Delta A.}$

Тривиальный модуль должен быть одномерным, и так в алгебре гомоморфизм е: Н → Р может быть определен таким образом, что Нч = ε ( ч ) v для всех V в й _Н . Тривиальный модуль можно отождествить с F , где 1 - это элемент, такой что 1 ⊗ v = v = v ⊗ 1 для всех v . Отсюда следует, что для любого v в любом H -модуле V , любого c в ε _H и любого h в H ,

${\ displaystyle (\ varepsilon (h _ {(1)}) h _ {(2)}) cv = h _ {(1)} c \ otimes h _ {(2)} v = h (c \ otimes v) = h ( cv) = (h _ {(1)} \ varepsilon (h _ {(2)})) cv.}$

Существование гомоморфизма алгебр ε, удовлетворяющего

${\ Displaystyle \ varepsilon (час _ {(1)}) час _ {(2)} = час = час _ {(1)} \ varepsilon (час _ {(2)})}$

является достаточным условием существования тривиального модуля.

Отсюда следует, что для того, чтобы категория H -модулей была моноидальной категорией по отношению к тензорному произведению, для H достаточно иметь отображения ∆ и ε, удовлетворяющие этим условиям. Это мотивация для определения биалгебры , где Δ называется коумножение и ε называется коединицей .

Чтобы каждый H -модуль V имел двойственное представление V такое, что лежащие в его основе векторные пространства двойственны, а операция * функториальна над моноидальной категорией H -модулей, должно существовать линейное отображение S  : H → H такое, что для любых h в H , x в V и y в V * ,

${\ Displaystyle \ langle y, S (h) x \ rangle = \ langle hy, x \ rangle.}$

где - обычное спаривание двойственных векторных пространств. Если отображение, индуцированное спариванием, должно быть H -гомоморфизмом, то для любых h в H , x в V и y в V * , ${\ Displaystyle \ langle \ cdot, \ cdot \ rangle}$${\ displaystyle \ varphi: V \ otimes V ^ {*} \ rightarrow \ varepsilon _ {H}}$

${\ Displaystyle \ varphi \ left (час (x \ otimes y) \ right) = \ varphi \ left (x \ otimes S (h _ {(1)}) h _ {(2)} y \ right) = \ varphi \ left (S (h _ {(2)}) h _ {(1)} x \ otimes y \ right) = h \ varphi (x \ otimes y) = \ varepsilon (h) \ varphi (x \ otimes y),}$

который удовлетворяется, если

${\ Displaystyle S (час _ {(1)}) час _ {(2)} = \ varepsilon (h) = час _ {(1)} S (час _ {(2)})}$

для всех ч в H .

Если такое отображение S существует , то оно называется антиподом , а H - алгеброй Хопфа. Стремление к моноидальной категории модулей с функториальными тензорными произведениями и двойственными представлениями является, таким образом, одной из мотиваций концепции алгебры Хопфа.

Представления на алгебре

Алгебра Хопфа также имеет представления, которые несут дополнительную структуру, а именно, они являются алгебрами.

Пусть H - алгебра Хопфа. Если A - алгебра с операцией произведения μ: A ⊗ A → A , а ρ: H ⊗ A → A - представление H на A , то ρ называется представлением H на алгебре, если μ - H - эквивариантный . В качестве частных случаев алгебры Ли, супералгебры и группы Ли также могут иметь представления на алгебре.

Смотрите также

• Теорема о реконструкции Таннаки – Крейна