Рациональная поверхность - Rational surface

В алгебраической геометрии , разделе математики , рациональная поверхность - это поверхность, бирационально эквивалентная проективной плоскости , или, другими словами, рациональное многообразие размерности два. Рациональные поверхности являются простейшими из 10 или около того классов поверхностей в классификации Энриквеса – Кодаиры сложных поверхностей, и они были первыми поверхностями, которые были исследованы.

Состав

Каждая невырожденная рациональная поверхность может быть получена путем многократного раздутия с минимальной рациональной поверхностью . Минимальные рациональные поверхности - это проективная плоскость и поверхности Хирцебруха Σ _r при r = 0 или r ≥ 2.

Инварианты: В plurigenera все 0 и фундаментальная группа тривиальна.

Алмаз Ходжа :

где n равно 0 для проективной плоскости, 1 для поверхностей Хирцебруха и больше 1 для других рациональных поверхностей.

Группа Пикара - это нечетная унимодулярная решетка I _{1, n} , за исключением поверхностей Хирцебруха Σ _{2 m,} когда это четная унимодулярная решетка II _1,1 .

Теорема Кастельнуово

Гвидо Кастельнуово доказал, что любая комплексная поверхность такая, что q и P ₂ (нерегулярность и второе множественное число) равны нулю, рациональна. Это используется в классификации Энриквеса – Кодаира для определения рациональных поверхностей. Зариский (1958) доказал, что теорема Кастельнуово верна и для полей положительной характеристики.

Теорема Кастельнуово также подразумевает, что любая унирациональная комплексная поверхность является рациональной, потому что если комплексная поверхность унирациональна, то ее нерегулярность и плюрироды ограничены таковыми из рациональной поверхности и, следовательно, все равны 0, поэтому поверхность рациональна. Большинство унирациональных сложных разновидностей размерности 3 или больше нерациональны. В характеристике p > 0 Зариский (1958) нашел примеры унирациональных поверхностей ( поверхностей Зарисского ), которые не являются рациональными.

Когда-то было неясно, рациональна ли сложная поверхность, в которой q и P ₁ оба равны нулю, но Федериго Энрикес нашел контрпример ( поверхность Энриквеса ) .

Примеры рациональных поверхностей

• Поверхности Бордиги : вложение проективной плоскости в P ⁴ степени 6, определяемое квартиками, через 10 точек общего положения.
• Поверхности Шатле
• Брусчатка
• Кубические поверхности Неособые кубические поверхности изоморфны проективной плоскости, раздуваемой в 6 точках, и являются поверхностями Фано. Названные примеры включают кубику Ферма , кубическую поверхность Кэли и диагональную поверхность Клебша .
• поверхности дель Пеццо (поверхности Фано)
• Эннепер поверхность
• Поверхности Хирцебруха Σ _n
• P ¹ × P ¹ Произведение двух проективных прямых - это поверхность Хирцебруха Σ ₀ . Это единственная поверхность с двумя разными линейками.
• Проективная плоскость
• Поверхность Сегре Пересечение двух квадрик, изоморфных проективной плоскости, раздуваемой в 5 точках.
• Поверхность Штейнера Поверхность в P ⁴ с особенностями, бирациональная проективной плоскости.
• Белые поверхности , обобщение поверхностей Бордиги.
• Поверхность Веронезе Вложение проективной плоскости в P ⁵ .

Смотрите также

• Список алгебраических поверхностей

Рекомендации

• Barth, Wolf P .; Хулек, Клаус; Питерс, Крис AM; Ван де Вен, Антониус (2004), Компактные сложные поверхности , Ergebnisse der Mathematik и ихрер Гренцгебиете. 3. Folge., 4 , Springer-Verlag, Берлин, ISBN 978-3-540-00832-3, MR  2030225
• Бовиль, Арно (1996), Комплексные алгебраические поверхности , Студенческие тексты Лондонского математического общества, 34 (2-е изд.), Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-49510-3, Руководство по ремонту  1406314
• Зариски, Оскар (1958), «О критерии рациональности Кастельнуово p _a = P ₂ = 0 алгебраической поверхности», Illinois Journal of Mathematics , 2 : 303–315, ISSN  0019-2082 , MR  0099990

Внешние ссылки

• Le Superficie Algebriche : инструмент для визуального изучения географии (минимальных) сложных алгебраических гладких поверхностей