Троичная квадратичная форма Рамануджана - Ramanujan's ternary quadratic form
В математике , в теории чисел , троичная квадратичная форма Рамануджана - это алгебраическое выражение x 2 + y 2 + 10 z 2 с целыми значениями для x , y и z . Шриниваса Рамануджан рассмотрел это выражение в сноске в статье, опубликованной в 1916 году, и кратко обсудил представимость целых чисел в этой форме. Приведя необходимые и достаточные условия, что целое число не может быть представлено в форме ax 2 + посредством 2 + cz 2 для определенных конкретных значений a , b и c , Рамануджан заметил в сноске: «(Эти) результаты могут побудить нас предположить что есть аналогичные простые результаты для формы ax 2 + на 2 + cz 2, какими бы ни были значения a , b и c . Однако оказывается, что в большинстве случаев таких простых результатов нет ». Чтобы подтвердить это наблюдение, Рамануджан обсудил форму, которая теперь называется тернарной квадратичной формой Рамануджана.
Недвижимость, обнаруженная Рамануджаном
В своей статье 1916 года Рамануджан сделал следующие наблюдения относительно формы x 2 + y 2 + 10 z 2 .
- Четные числа, не имеющие вида x 2 + y 2 + 10 z 2, равны 4 λ (16 μ + 6).
- Нечетные числа, которые не имеют формы x 2 + y 2 + 10 z 2 , а именно. 3, 7, 21, 31, 33, 43, 67, 79, 87, 133, 217, 219, 223, 253, 307, 391, ... похоже, не подчиняются никакому простому закону.
Нечетные числа больше 391
Поставив многоточие в конец списка нечетных чисел, не представимых как x 2 + y 2 + 10 z 2 , Рамануджан указал, что его список был неполным. Было неясно, хотел ли Рамануджан сделать его конечным или бесконечным списком. Это побудило других искать такие нечетные числа. В 1927 году Бертон У. Джонс и Гордон Полл обнаружили, что число 679 не может быть выражено в форме x 2 + y 2 + 10 z 2, и они также подтвердили, что не существует других таких чисел ниже 2000. Это привело к раннему Предположение, что семнадцать чисел - шестнадцать чисел в списке Рамануджана и число, обнаруженное ими - были единственными нечетными числами, которые нельзя представить как x 2 + y 2 + 10 z 2 . Однако в 1941 году Х. Гупта показал, что число 2719 не может быть представлено как x 2 + y 2 + 10 z 2 . Он также подтвердил, что таких чисел ниже 20000 не существует. Дальнейший прогресс в этом направлении произошел только после появления современных компьютеров. У. Голуэй написал компьютерную программу для определения нечетных целых чисел, которые нельзя выразить как x 2 + y 2 + 10 z 2 . Голуэй подтвердил, что есть только восемнадцать чисел меньше 2 × 10 10, не представимых в форме x 2 + y 2 + 10 z 2 . Основываясь на расчетах Голуэя, Кен Оно и К. Соундарараджан сформулировали следующую гипотезу :
- Нечетные положительные целые числа, которые не имеют формы x 2 + y 2 + 10 z 2 : 3, 7, 21, 31, 33, 43, 67, 79, 87, 133, 217, 219, 223, 253, 307. , 391, 679, 2719 .
Некоторые известные результаты
Гипотеза Кена Оно и Соундарараджана не была полностью решена. Однако, помимо результатов, изложенных Рамануджаном, было установлено несколько более общих результатов о форме. Доказательства некоторых из них довольно просты, в то время как доказательства других связаны с довольно сложными концепциями и аргументами.
- Каждое целое число в форме 10 n + 5 представлено тернарной квадратичной формой Рамануджана.
- Если n - нечетное целое число, не свободное от квадратов, то его можно представить в виде x 2 + y 2 + 10 z 2 .
- Существует лишь конечное число нечетных целых чисел, которые нельзя представить в виде x 2 + y 2 + 10 z 2 .
- Если обобщенная гипотеза Римана верна, то гипотеза Оно и Соундарараджана также верна.
- Тернарная квадратичная форма Рамануджана не является правильной в смысле Л. Е. Диксона .